2022年一元二次方程知識(shí)點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)

1、一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理（1）含有個(gè)未知數(shù)。（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是1、概念（3）是方程。（4）一元二次方程的一般形式是。（1）法，適用于能化為0)2nnmx的一元。二次方程（2）法，即把方程變形為ab=0的形式，2、解法（a，b 為兩個(gè)因式） , 則 a=0或（3）法（4）法，其中求根公式是當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（5）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)時(shí)，方程有沒(méi)有的實(shí)數(shù)根。可用于解某些求值題（1）一元二次方程的應(yīng)用（2）（3）可用于解決實(shí)際問(wèn)題的步驟（4）（5）（6）知識(shí)點(diǎn)歸類建立一元二次方程模型知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的定義如果一個(gè)方程通過(guò)移項(xiàng)可以使右邊為0，而左邊只含有一

2、個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)：方程是整式方程。 它只含有一個(gè)未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。例下列關(guān)于x的方程，哪些是一元二次方程？3522x； 062xx；（3）5xx；（4）02x；（5）12)3(22xxx知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為02cbxax（a，b，c 是已知數(shù)，0a） 。其中 a，b，c 分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。一元二次方程精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 12

3、 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -注意： （1）二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。（2）要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式。（3）形如02cbxax不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng)0a時(shí)是一元二次方程。例 1 將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（1）xx2752；（2）832 xx； （3）22343xxx例 2 已知關(guān)于x的方

4、程021122xmxmm是一元二次方程時(shí)，則m知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程的解使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)2x時(shí)，0232xx所以2x是0232xx方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知識(shí)點(diǎn)四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。注意： （1）審題過(guò)程是找出已知量、未知量及等量關(guān)系； （2）設(shè)未知數(shù)要帶單位； （3）建立一元二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找出等量關(guān)系。例 如圖（ 1） ，有一個(gè)面積為 150 的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)一邊靠墻（墻長(zhǎng)18m） ，另三邊用竹籬笆圍成，若竹籬笆的長(zhǎng)為 35m，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？雞場(chǎng)（只設(shè)未知數(shù)

5、，列出方程，并將它化成一般形式。）因式分解法、直接開(kāi)平方法知識(shí)點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于0，即若 pq=0時(shí)，則 p=0 或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0； （2）將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。 （3）令每個(gè)因式分別為0，得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

6、 - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -關(guān)鍵點(diǎn)： （1）要將方程右邊化為0； （2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例用因式分解法解下列方程：（ 1 ）xx452；（ 2 ）025)32(2x；（ 3 ）222596xxx。知識(shí)點(diǎn)二直接開(kāi)平方法解一元二次方程若02aax，則x叫做 a 的平方根，表示為ax，這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法。（ 1）02aax的 解是ax； （ 2）02nnmx的 解 是mnx； （3）0,02cmcnmx且的解是mncx。例用直接開(kāi)平方法解下

7、列一元二次方程（1）01692x； （2）01652x； （3）22135xx知識(shí)點(diǎn)三靈活運(yùn)用因式分解法和直接開(kāi)平方法解一元二次方程形如002kkbax的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開(kāi)平方法解。例運(yùn)用因式分解法和直接開(kāi)平方法解下列一元二次方程。（1）036542x；（2）03212x精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -知識(shí)點(diǎn)四用

8、提公因式法解一元二次方程把方程左邊的多項(xiàng)式（方程右邊為0 時(shí)）的公因式提出，將多項(xiàng)式寫(xiě)出因式的乘積形式，然后利用“若pq=0 時(shí)，則 p=0 或 q=0”來(lái)解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。如 ：0201.02tt， 將 原 方 程 變 形 為0201.0tt， 由 此 可 得 出200,0020.0021tttt，即或注意： 在解方程時(shí)，千萬(wàn)注意不能把方程兩邊都同時(shí)除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方程的根。知識(shí)點(diǎn)五形如“為 常 數(shù)babxbax,02”的方程的解法。對(duì)于形如“為常數(shù)babxbax,02”的方程（或通過(guò)整理符合 其 形 式 的 ） ， 可 將 左 邊 分 解 因 式

9、 ， 方 程 變 形 為0bxax， 則00bxax或，即bxax21,。注意 ：應(yīng) 用 這種 方法 解 一 元二次 方 程 時(shí)， 要 熟 悉“為常數(shù)babxbax,02”型方程的特征。例 解下列方程：（1）0652xx；（2）0122xx配方法知識(shí)點(diǎn)一配方法解一元二次方程時(shí)， 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方， 配方后就可以用因式分解法或直接開(kāi)平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意： 用配方法解一元二次方程02qpxx， 當(dāng)對(duì)方程的左邊配方時(shí)，一定記住在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)

10、。例用配方法解下列方程：（1）0562xx；（2）02272xx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -知識(shí)點(diǎn)二用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1 的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1 的一元二次方程的步驟：（1） 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；（2） 把原方程變?yōu)閚mx2的形式。（3） 若0n，用直接開(kāi)平方法求出x的值，若

11、n0，原方程無(wú)解。例 解下列方程：0342xx知識(shí)點(diǎn)三用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1 的一元二次方程當(dāng)一元二次方程的形式為1,002aacbxax時(shí)，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）先把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1：方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)；(2) 移項(xiàng)：在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，把原方程化為nmx2的形式；（3）若0n，用直接開(kāi)平方法或因式分解法解變形后的方程。例用配方法解下列方程：（1）02932xx；（2）0342xx公式法知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的求根公式一元二次方程002acbxax的求根公式是：aacbbx242用求根公式法解一元二次方程的步驟是： （1）

12、把方程化為002acbxax的形式，確定的值cba.,（注意符號(hào)）； （2）求出acb42的值； （3）若042acb，則.,ba把及acb42的值代人求根公式aacbbx242，求出21, xx。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -例用公式法解下列方程（1）01322xx； （2）0122xx；（3）0252xx知識(shí)點(diǎn)二選擇適合的方法解

13、一元二次方程直接開(kāi)平方法 用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)或也是一個(gè)含未知數(shù)的平方式的方程因式分解 要求方程右邊必須是0，左邊能分解因式；公式法 是由配方法推導(dǎo)而來(lái)的，要比配方法簡(jiǎn)單。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開(kāi)平方法或因式分解法， 不能用這兩種特殊方法時(shí)， 再選用公式法， 沒(méi)有特殊要求，一般不采用配方法，因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。例用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）2232932xx； （2）0682xx； （3）0)1(2xx知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程根的判別式一元二次方程002acbxax根的判別式=acb42運(yùn)用根的判別式，不解方

14、程，就可以判定一元二次方程的根的情況：（1） =acb420方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2） =acb42=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3） =acb420方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定cba.,的值；計(jì)算acb42的值；根據(jù)acb42的符號(hào)判定方程根的情況。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - -

15、 - - - - - -例不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：（1）05322xx； （2）253092xx； （3）01062xx知識(shí)點(diǎn)四根的判別式的逆用在方程002acbxax中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根acb420（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根acb42=0（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根acb420 注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為 0 這一條件。例m為何值時(shí)，方程0324122mmxxm的根滿足下列情況：（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)；（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根；知識(shí)點(diǎn)五一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若21, xx是一元二次方程00

16、2acbxax的兩個(gè)根，則有abxx21，abxx21根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：（1）2122122212xxxxxx（2）21212111xxxxxx（3）2212121)(axxaxxaxax；（4）21xx=221xx=212214xxxx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -例已知方程03522xx的兩根為

17、21, xx，不解方程，求下列各式的值。（1）2221xx；（2）221xx。知識(shí)點(diǎn)六根據(jù)代數(shù)式的關(guān)系列一元二次方程利用一元二次方程解決有關(guān)代數(shù)式的問(wèn)題時(shí)，要善于用一元二次方程表示題中的數(shù)量關(guān)系（即列出方程） ，然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。例當(dāng)x取什么值時(shí)，代數(shù)式062xx與代數(shù)式23 x的值相等？一元二次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1） 審題， （2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程， （5）檢驗(yàn)， （6）作答。關(guān)鍵點(diǎn) ：找出題中的等量關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)二用一元二次方程解與增長(zhǎng)率（或降低率）有關(guān)得到問(wèn)題增長(zhǎng)率問(wèn)題與降低率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示法： （1）若基數(shù)

18、為 a，增長(zhǎng)率x為，則一次增長(zhǎng)后的值為xa 1，兩次增長(zhǎng)后的值為21xa； （2）若基數(shù)為 a，降低率x為，則一次降低后的值為xa 1，兩次降低后的值為21xa。例 某農(nóng)場(chǎng)糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)由3000 噸增加到 3630 噸，設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x，列出關(guān)于x的方程為知識(shí)點(diǎn)三用一元二次方程解與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問(wèn)題與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問(wèn)題：如：營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題、水電問(wèn)題、水利問(wèn)題等。與利潤(rùn)相關(guān)的常用關(guān)系式有：（1）每件利潤(rùn) =銷(xiāo)售價(jià) -成本價(jià)； （2）利潤(rùn)率 =（銷(xiāo)售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）進(jìn)貨價(jià) 100%； （3）銷(xiāo)售額 =售價(jià)銷(xiāo)售量例 某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為8 元的商品每件 10 元售出，每天可售200 件，現(xiàn)在采取提

19、高售價(jià)，減少進(jìn)貨價(jià)的方法增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲價(jià)0.5 元，其銷(xiāo)量減少 10 件。（1）要使每天獲得 700 元，請(qǐng)你幫忙確定售價(jià)。（2）當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，能使每天獲得的利潤(rùn)最多？并求出最大利潤(rùn)。易錯(cuò)知識(shí)辨析：（1）判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元二次方程一般形式中0a. （2）用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式. （3）用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1. （4）用直接開(kāi)平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù). 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - -

20、- - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -一元二次方程測(cè)試題一、選擇題1、若關(guān)于 x 的一元二次方程 (m-1)x2+5x+m2-3m+2=0 有一個(gè)根為 0，則 m 的值等于（）a、1 b、2 c、1 或 2 d、0 2、巴中日?qǐng)?bào)訊： 今年我市小春糧油再獲豐收，全市產(chǎn)量預(yù)計(jì)由前年的45 萬(wàn)噸提升到 50 萬(wàn)噸，設(shè)從前年到今年我市的糧油產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x ，則可列方程為（）a 45250 xb245(1)50 xc250(1)45xd45(12 )50 x3、已知 ab，是

21、關(guān)于 x的一元二次方程210 xnx的兩實(shí)數(shù)根， 則式子baab的值是（）a22nb22nc22nd22n4、 已知 a、b、c 分別是三角形的三邊，則方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)0的根的情況是（）a沒(méi)有實(shí)數(shù)根b可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根d有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5、已知nm,是方程0122xx的兩根，且8)763)(147(22nnamm，則 a的值等于（）a5 b.5 c.-9 d.9 6、已知方程20 xbxa有一個(gè)根是(0)a a，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）a abbabc abd ab7、112,022xxxx下面對(duì)的一較小根為的估計(jì)正確的

22、是（）a121xb011xc101xd211x8、關(guān)于 x 的一元二次方程2210 xmxm的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是12xx、，且22127xx，則212()xx的值是（）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -a1 b12 c13 d 25 9、某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了2450張相片，

23、如果全班有x 名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為 ( )a、2450)1(xxb、2450)1(xxc、2450)1(2xxd、24502)1(xx10、若關(guān)于x的一元二次方程0122kxxk的一個(gè)根為1，則k的值為( ) a1 b0c1 d0或111、設(shè) ab， 是方程220090 xx的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則22aab的值為（）a2006 b2007 c 2008 d2009 12、對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=o(a0)，下列說(shuō)法：若 a+c=0，方程 ax2+bx+c=o必有實(shí)數(shù)根；若 b2+4ac0，則方程 ax2+bx+c=o一定有實(shí)數(shù)根；若 a-b+c=0，則方程 ax2+bx+c=o一定

24、有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；若方程 ax2+bx+c=o有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 則方程 cx2+bx+a=0一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根其中正確的是 ( ) a b c d二、填空題1、 若一元二次方程x2(a+2)x+2a=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是3、 b， 則 a+b= 2、設(shè) x1、x2 是一元二次方程 x2+4x3=0的兩個(gè)根，2x1(x22+5x23)+a =2 ，則 a= 3、方程（ x1） （x + 2 ）= 2（x + 2 ）的根是4、已知關(guān)于 x 的一元二次方程)0(012abxax有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求4)2(222baab的值為 _ 5、在等腰 abc中，三邊分別為a、b、c，其中5a，若關(guān)于x的方程精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 12 頁(yè) - -