LDA線性判別分析

1、1 PCA 和LDALDA：    LDA的全稱是Linear Discriminant Analysis（線性判別分析），是一種supervised learning。有些資料上也稱為是Fishers Linear Discriminant，因為它被Ronald Fisher發(fā)明自1936年，Discriminant這次詞我個人的理解是，一個模型，不需要去通過概率的方法來訓(xùn)練、預(yù)測數(shù)據(jù)，比如說各種貝葉斯方法，就需要獲取數(shù)據(jù)的先驗、后驗概率等等。LDA是在目前機器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域經(jīng)典且熱門的一個算法，據(jù)我所知，百度的商務(wù)搜索部里面就用了不少這方面的算法。

2、0;   LDA的原理是，將帶上標簽的數(shù)據(jù)（點），通過投影的方法，投影到維度更低的空間中，使得投影后的點，會形成按類別區(qū)分，一簇一簇的情況，相同類別的點，將會在投影后的空間中更接近。要說明白LDA，首先得弄明白線性分類器(Linear Classifier)：因為LDA是一種線性分類器。對于K-分類的一個分類問題，會有K個線性函數(shù)：     當滿足條件：對于所有的j，都有Yk > Yj,的時候，我們就說x屬于類別k。對于每一個分類，都有一個公式去算一個分值，在所有的公式得到的分值中，找一個最大的，就是所屬的分類了。 &

3、#160;  上式實際上就是一種投影，是將一個高維的點投影到一條高維的直線上，LDA最求的目標是，給出一個標注了類別的數(shù)據(jù)集，投影到了一條直線之后，能夠使得點盡量的按類別區(qū)分開，當k=2即二分類問題的時候，如下圖所示：     紅色的方形的點為0類的原始點、藍色的方形點為1類的原始點，經(jīng)過原點的那條線就是投影的直線，從圖上可以清楚的看到，紅色的點和藍色的點被原點明顯的分開了，這個數(shù)據(jù)只是隨便畫的，如果在高維的情況下，看起來會更好一點。下面我來推導(dǎo)一下二分類LDA問題的公式：     假設(shè)用來區(qū)分二分類的直

4、線（投影函數(shù))為：    LDA分類的一個目標是使得不同類別之間的距離越遠越好，同一類別之中的距離越近越好，所以我們需要定義幾個關(guān)鍵的值。    類別i的原始中心點為：（Di表示屬于類別i的點)    類別i投影后的中心點為：    衡量類別i投影后，類別點之間的分散程度（方差）為：    最終我們可以得到一個下面的公式，表示LDA投影到w后的損失函數(shù)：   我們分類的目標是，使得類別內(nèi)的點距離越近越好（集中），類別間的點越遠

5、越好。分母表示每一個類別內(nèi)的方差之和，方差越大表示一個類別內(nèi)的點越分散，分子為兩個類別各自的中心點的距離的平方，我們最大化J(w)就可以求出最優(yōu)的w了。想要求出最優(yōu)的w，可以使用拉格朗日乘子法，但是現(xiàn)在我們得到的J(w)里面，w是不能被單獨提出來的，我們就得想辦法將w單獨提出來。   我們定義一個投影前的各類別分散程度的矩陣，這個矩陣看起來有一點麻煩，其實意思是，如果某一個分類的輸入點集Di里面的點距離這個分類的中心店mi越近，則Si里面元素的值就越小，如果分類的點都緊緊地圍繞著mi，則Si里面的元素值越更接近0.   帶入Si，將J(w)分母化為：&#

6、160;  同樣的將J(w)分子化為：   這樣損失函數(shù)可以化成下面的形式：    這樣就可以用最喜歡的拉格朗日乘子法了，但是還有一個問題，如果分子、分母是都可以取任意值的，那就會使得有無窮解，我們將分母限制為長度為1（這是用拉格朗日乘子法一個很重要的技巧，在下面將說的PCA里面也會用到，如果忘記了，請復(fù)習(xí)一下高數(shù)），并作為拉格朗日乘子法的限制條件，帶入得到：   這樣的式子就是一個求特征值的問題了。   對于N(N>2)分類的問題，我就直接寫出下面的結(jié)論了：   這同

7、樣是一個求特征值的問題，我們求出的第i大的特征向量，就是對應(yīng)的Wi了。   這里想多談?wù)勌卣髦?，特征值在純?shù)學(xué)、量子力學(xué)、固體力學(xué)、計算機等等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，特征值表示的是矩陣的性質(zhì)，當我們?nèi)〉骄仃嚨那癗個最大的特征值的時候，我們可以說提取到的矩陣主要的成分（這個和之后的PCA相關(guān)，但是不是完全一樣的概念）。在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，不少的地方都要用到特征值的計算，比如說圖像識別、pagerank、LDA、還有之后將會提到的PCA等等。   下圖是圖像識別中廣泛用到的特征臉（eigen face），提取出特征臉有兩個目的，首先是為了壓縮數(shù)據(jù)，對于一張圖片，只需

8、要保存其最重要的部分就是了，然后是為了使得程序更容易處理，在提取主要特征的時候，很多的噪聲都被過濾掉了。跟下面將談到的PCA的作用非常相關(guān)。    特征值的求法有很多，求一個D * D的矩陣的時間復(fù)雜度是O(D3), 也有一些求Top M的方法，比如說power method，它的時間復(fù)雜度是O(D2 * M), 總體來說，求特征值是一個很費時間的操作，如果是單機環(huán)境下，是很局限的。PCA：    主成分分析（PCA）與LDA有著非常近似的意思，LDA的輸入數(shù)據(jù)是帶標簽的，而PCA的輸入數(shù)據(jù)是不帶標簽的，所以PCA是一種unsuper

9、vised learning。LDA通常來說是作為一個獨立的算法存在，給定了訓(xùn)練數(shù)據(jù)后，將會得到一系列的判別函數(shù)（discriminate function），之后對于新的輸入，就可以進行預(yù)測了。而PCA更像是一個預(yù)處理的方法，它可以將原本的數(shù)據(jù)降低維度，而使得降低了維度的數(shù)據(jù)之間的方差最大（也可以說投影誤差最小，具體在之后的推導(dǎo)里面會談到）。    方差這個東西是個很有趣的，有些時候我們會考慮減少方差（比如說訓(xùn)練模型的時候，我們會考慮到方差-偏差的均衡），有的時候我們會盡量的增大方差。方差就像是一種信仰（強哥的話），不一定會有很嚴密的證明，從實踐來說，通過盡量增

10、大投影方差的PCA算法，確實可以提高我們的算法質(zhì)量。    說了這么多，推推公式可以幫助我們理解。我下面將用兩種思路來推導(dǎo)出一個同樣的表達式。首先是最大化投影后的方差，其次是最小化投影后的損失（投影產(chǎn)生的損失最?。?。    最大化方差法：    假設(shè)我們還是將一個空間中的點投影到一個向量中去。首先，給出原空間的中心點：    假設(shè)u1為投影向量，投影之后的方差為：    上面這個式子如果看懂了之前推導(dǎo)LDA的過程，應(yīng)該比較容易理解，如果線性代數(shù)里

11、面的內(nèi)容忘記了，可以再溫習(xí)一下，優(yōu)化上式等號右邊的內(nèi)容，還是用拉格朗日乘子法：    將上式求導(dǎo)，使之為0，得到：    這是一個標準的特征值表達式了，對應(yīng)的特征值，u對應(yīng)的特征向量。上式的左邊取得最大值的條件就是1最大，也就是取得最大的特征值的時候。假設(shè)我們是要將一個D維的數(shù)據(jù)空間投影到M維的數(shù)據(jù)空間中（M < D)， 那我們?nèi)∏癕個特征向量構(gòu)成的投影矩陣就是能夠使得方差最大的矩陣了。    最小化損失法：    假設(shè)輸入數(shù)據(jù)x是在D維空間中的點，那么，我們可以用D個

12、正交的D維向量去完全的表示這個空間（這個空間中所有的向量都可以用這D個向量的線性組合得到）。在D維空間中，有無窮多種可能找這D個正交的D維向量，哪個組合是最合適的呢？    假設(shè)我們已經(jīng)找到了這D個向量，可以得到：    我們可以用近似法來表示投影后的點：    上式表示，得到的新的x是由前M 個基的線性組合加上后D - M個基的線性組合，注意這里的z是對于每個x都不同的，而b對于每個x是相同的，這樣我們就可以用M個數(shù)來表示空間中的一個點，也就是使得數(shù)據(jù)降維了。但是這樣降維后的數(shù)據(jù)，必然會產(chǎn)生一些扭曲，我

13、們用J描述這種扭曲，我們的目標是，使得J最?。?#160;   上式的意思很直觀，就是對于每一個點，將降維后的點與原始的點之間的距離的平方和加起來，求平均值，我們就要使得這個平均值最小。我們令：    將上面得到的z與b帶入降維的表達式：    將上式帶入J的表達式得到：     再用上拉普拉斯乘子法（此處略），可以得到，取得我們想要的投影基的表達式為：    這里又是一個特征值的表達式，我們想要的前M個向量其實就是這里最大的M個特征值所對應(yīng)的特

14、征向量。證明這個還可以看看，我們J可以化為：    也就是當誤差J是由最小的D - M個特征值組成的時候，J取得最小值。跟上面的意思相同。    下圖是PCA的投影的一個表示，黑色的點是原始的點，帶箭頭的虛線是投影的向量，Pc1表示特征值最大的特征向量，pc2表示特征值次大的特征向量，兩者是彼此正交的，因為這原本是一個2維的空間，所以最多有兩個投影的向量，如果空間維度更高，則投影的向量會更多。 總結(jié)：    本次主要講了兩種方法，PCA與LDA，兩者的思想和計算方法非常類似，但是一個是作為獨立的

15、算法存在，另一個更多的用于數(shù)據(jù)的預(yù)處理的工作。另外對于PCA和LDA還有核方法，本次的篇幅比較大了，先不說了，以后有時間再談：2 LDA1. 問題     之前我們討論的PCA、ICA也好，對樣本數(shù)據(jù)來言，可以是沒有類別標簽y的?；叵胛覀冏龌貧w時，如果特征太多，那么會產(chǎn)生不相關(guān)特征引入、過度擬合等問題。我們可以使用PCA來降維，但PCA沒有將類別標簽考慮進去，屬于無監(jiān)督的。     比如回到上次提出的文檔中含有“l(fā)earn”和“study”的問題，使用PCA后，也許可以將這兩個特征合并為一個，降了維度。但假設(shè)我們的

16、類別標簽y是判斷這篇文章的topic是不是有關(guān)學(xué)習(xí)方面的。那么這兩個特征對y幾乎沒什么影響，完全可以去除。     再舉一個例子，假設(shè)我們對一張100*100像素的圖片做人臉識別，每個像素是一個特征，那么會有10000個特征，而對應(yīng)的類別標簽y僅僅是0/1值，1代表是人臉。這么多特征不僅訓(xùn)練復(fù)雜，而且不必要特征對結(jié)果會帶來不可預(yù)知的影響，但我們想得到降維后的一些最佳特征（與y關(guān)系最密切的），怎么辦呢？2. 線性判別分析（二類情況）     回顧我們之前的logistic回歸方法，給定m個n維特征的訓(xùn)練樣例（i從1到

17、m），每個對應(yīng)一個類標簽。我們就是要學(xué)習(xí)出參數(shù)，使得（g是sigmoid函數(shù)）。     現(xiàn)在只考慮二值分類情況，也就是y=1或者y=0。     為了方便表示，我們先換符號重新定義問題，給定特征為d維的N個樣例，其中有個樣例屬于類別，另外個樣例屬于類別。     現(xiàn)在我們覺得原始特征數(shù)太多，想將d維特征降到只有一維，而又要保證類別能夠“清晰”地反映在低維數(shù)據(jù)上，也就是這一維就能決定每個樣例的類別。     我們將這個最佳的向量稱為w（

18、d維），那么樣例x（d維）到w上的投影可以用下式來計算          這里得到的y值不是0/1值，而是x投影到直線上的點到原點的距離。     當x是二維的，我們就是要找一條直線（方向為w）來做投影，然后尋找最能使樣本點分離的直線。如下圖：          從直觀上來看，右圖比較好，可以很好地將不同類別的樣本點分離。     接下來

19、我們從定量的角度來找到這個最佳的w。     首先我們尋找每類樣例的均值（中心點），這里i只有兩個          由于x到w投影后的樣本點均值為          由此可知，投影后的的均值也就是樣本中心點的投影。     什么是最佳的直線（w）呢？我們首先發(fā)現(xiàn)，能夠使投影后的兩類樣本中心點盡量分離的直線是好的直線，定量表示就是：

20、60;         J(w)越大越好。     但是只考慮J(w)行不行呢？不行，看下圖          樣本點均勻分布在橢圓里，投影到橫軸x1上時能夠獲得更大的中心點間距J(w)，但是由于有重疊，x1不能分離樣本點。投影到縱軸x2上，雖然J(w)較小，但是能夠分離樣本點。因此我們還需要考慮樣本點之間的方差，方差越大，樣本點越難以分離。    

21、; 我們使用另外一個度量值，稱作散列值（scatter），對投影后的類求散列值，如下          從公式中可以看出，只是少除以樣本數(shù)量的方差值，散列值的幾何意義是樣本點的密集程度，值越大，越分散，反之，越集中。     而我們想要的投影后的樣本點的樣子是：不同類別的樣本點越分開越好，同類的越聚集越好，也就是均值差越大越好，散列值越小越好。正好，我們可以使用J(w)和S來度量，最終的度量公式是      

22、;    接下來的事就比較明顯了，我們只需尋找使J(w)最大的w即可。     先把散列值公式展開          我們定義上式中中間那部分          這個公式的樣子不就是少除以樣例數(shù)的協(xié)方差矩陣么，稱為散列矩陣（scatter matrices）     我們繼續(xù)定義  

23、60;       稱為Within-class scatter matrix。     那么回到上面的公式，使用替換中間部分，得               然后，我們展開分子          稱為Between-class scatter，是兩

24、個向量的外積，雖然是個矩陣，但秩為1。     那么J(w)最終可以表示為          在我們求導(dǎo)之前，需要對分母進行歸一化，因為不做歸一的話，w擴大任何倍，都成立，我們就無法確定w。因此我們打算令，那么加入拉格朗日乘子后，求導(dǎo)          其中用到了矩陣微積分，求導(dǎo)時可以簡單地把當做看待。     如果可逆，那么將求導(dǎo)后的結(jié)

25、果兩邊都乘以，得          這個可喜的結(jié)果就是w就是矩陣的特征向量了。     這個公式稱為Fisher linear discrimination。     等等，讓我們再觀察一下，發(fā)現(xiàn)前面的公式          那么         

26、代入最后的特征值公式得          由于對w擴大縮小任何倍不影響結(jié)果，因此可以約去兩邊的未知常數(shù)和，得到          至此，我們只需要求出原始樣本的均值和方差就可以求出最佳的方向w，這就是Fisher于1936年提出的線性判別分析。     看上面二維樣本的投影結(jié)果圖：     3. 線性判別分析（多類情況）

27、0;    前面是針對只有兩個類的情況，假設(shè)類別變成多個了，那么要怎么改變，才能保證投影后類別能夠分離呢？我們之前討論的是如何將d維降到一維，現(xiàn)在類別多了，一維可能已經(jīng)不能滿足要求。假設(shè)我們有C個類別，需要K維向量（或者叫做基向量）來做投影。     將這K維向量表示為。     我們將樣本點在這K維向量投影后結(jié)果表示為，有以下公式成立            

28、0;  為了像上節(jié)一樣度量J(w)，我們打算仍然從類間散列度和類內(nèi)散列度來考慮。     當樣本是二維時，我們從幾何意義上考慮：          其中和與上節(jié)的意義一樣，是類別1里的樣本點相對于該類中心點的散列程度。變成類別1中心點相對于樣本中心點的協(xié)方差矩陣，即類1相對于的散列程度。     為         &

29、#160;的計算公式不變，仍然類似于類內(nèi)部樣本點的協(xié)方差矩陣          需要變，原來度量的是兩個均值點的散列情況，現(xiàn)在度量的是每類均值點相對于樣本中心的散列情況。類似于將看作樣本點，是均值的協(xié)方差矩陣，如果某類里面的樣本點較多，那么其權(quán)重稍大，權(quán)重用Ni/N表示，但由于J(w)對倍數(shù)不敏感，因此使用Ni。          其中      

30、    是所有樣本的均值。     上面討論的都是在投影前的公式變化，但真正的J(w)的分子分母都是在投影后計算的。下面我們看樣本點投影后的公式改變：     這兩個是第i類樣本點在某基向量上投影后的均值計算公式。               下面兩個是在某基向量上投影后的和     &#

31、160;         其實就是將換成了。     綜合各個投影向量（w）上的和，更新這兩個參數(shù)，得到               W是基向量矩陣，是投影后的各個類內(nèi)部的散列矩陣之和，是投影后各個類中心相對于全樣本中心投影的散列矩陣之和。     回想我們上節(jié)的公式J(w)，分子是兩類中心距，分母

32、是每個類自己的散列度?，F(xiàn)在投影方向是多維了（好幾條直線），分子需要做一些改變，我們不是求兩兩樣本中心距之和（這個對描述類別間的分散程度沒有用），而是求每類中心相對于全樣本中心的散列度之和。     然而，最后的J(w)的形式是          由于我們得到的分子分母都是散列矩陣，要將矩陣變成實數(shù)，需要取行列式。又因為行列式的值實際上是矩陣特征值的積，一個特征值可以表示在該特征向量上的發(fā)散程度。因此我們使用行列式來計算（此處我感覺有點牽強，道理不是那么有說服力）。&

33、#160;    整個問題又回歸為求J(w)的最大值了，我們固定分母為1，然后求導(dǎo)，得出最后結(jié)果（我翻查了很多講義和文章，沒有找到求導(dǎo)的過程）          與上節(jié)得出的結(jié)論一樣          最后還歸結(jié)到了求矩陣的特征值上來了。首先求出的特征值，然后取前K個特征向量組成W矩陣即可。     注意：由于中的 秩為1，因此

34、的秩至多為C（矩陣的秩小于等于各個相加矩陣的秩的和）。由于知道了前C-1個后，最后一個可以有前面的來線性表示，因此的秩至多為C-1。那么K最大為C-1，即特征向量最多有C-1個。特征值大的對應(yīng)的特征向量分割性能最好。     由于不一定是對稱陣，因此得到的K個特征向量不一定正交，這也是與PCA不同的地方。4. 實例      將3維空間上的球體樣本點投影到二維上，W1相比W2能夠獲得更好的分離效果。         

35、   PCA與LDA的降維對比：            PCA選擇樣本點投影具有最大方差的方向，LDA選擇分類性能最好的方向。      LDA既然叫做線性判別分析，應(yīng)該具有一定的預(yù)測功能，比如新來一個樣例x，如何確定其類別？      拿二值分來來說，我們可以將其投影到直線上，得到y(tǒng)，然后看看y是否在超過某個閾值y0，超過是某一類，否則是另一類。而怎么尋找這個y0呢

36、？      看            根據(jù)中心極限定理，獨立同分布的隨機變量和符合高斯分布，然后利用極大似然估計求            然后用決策理論里的公式來尋找最佳的y0，詳情請參閱PRML。      這是一種可行但比較繁瑣的選取方法，可以看第7節(jié)（一些問題）來得到簡單

37、的答案。5. 使用LDA的一些限制      1、 LDA至多可生成C-1維子空間      LDA降維后的維度區(qū)間在1,C-1，與原始特征數(shù)n無關(guān)，對于二值分類，最多投影到1維。      2、 LDA不適合對非高斯分布樣本進行降維。            上圖中紅色區(qū)域表示一類樣本，藍色區(qū)域表示另一類，由于是2類，所以最多投影到1維上

38、。不管在直線上怎么投影，都難使紅色點和藍色點內(nèi)部凝聚，類間分離。      3、 LDA在樣本分類信息依賴方差而不是均值時，效果不好。            上圖中，樣本點依靠方差信息進行分類，而不是均值信息。LDA不能夠進行有效分類，因為LDA過度依靠均值信息。      4、 LDA可能過度擬合數(shù)據(jù)。6. LDA的一些變種1、 非參數(shù)LDA   

39、0;  非參數(shù)LDA使用本地信息和K臨近樣本點來計算,使得是全秩的，這樣我們可以抽取多余C-1個特征向量。而且投影后分離效果更好。2、 正交LDA      先找到最佳的特征向量，然后找與這個特征向量正交且最大化fisher條件的向量。這種方法也能擺脫C-1的限制。3、 一般化LDA      引入了貝葉斯風(fēng)險等理論4、 核函數(shù)LDA      將特征，使用核函數(shù)來計算。7. 一些問題      上面在多值分類中使用的            是帶權(quán)重的各類樣本中心到全樣本中心的散列矩陣。如果