公務(wù)員考試數(shù)理知識整理

1、總結(jié)的幾個年齡問題總結(jié)的幾個年齡問題例1 爸爸今年35歲，女兒年齡是5歲，多少年后，爸爸的年恰好是女兒的3倍？分析與解爸爸和女兒的年齡總是相差35-5=30歲，當(dāng)爸爸的年齡是女兒的3倍時，即爸爸的年齡與女兒的年齡相差2倍，相差歲數(shù)正好是30歲，所以可以這樣解答：（35-5）÷（3-1）=15歲，15-5=10年答：10年后爸爸的年齡是女兒的3倍。試一試 媽媽今年43歲，女兒今年11歲，問幾年后媽媽的年齡是女兒的3倍？幾年前媽媽的年齡是女兒的5倍？例2 今年爺爺?shù)哪挲g是孫子的8倍，5年前爺爺和孫子的年齡和是62歲。問爺爺，孫子今年各是多少歲？分析與解從5年前到今年，爺爺，孫子各長了10

2、歲，那么到今年兩人年齡之和是62+5×2=72歲，根據(jù)“今年爺爺?shù)哪挲g是孫子的8倍”，可以推出兩人年齡之和是孫子的年齡的（8+1）倍孫子的年齡：72÷（8+1）=8歲爺爺?shù)哪挲g：8×8=64歲答：爺爺今年64歲，孫子今年9歲。試一試今年父親的年齡是女兒的4倍，3年前，父親和女兒年齡的和是49歲。問父親，女兒今年各是多少歲？例3 爸爸15年前的年齡相當(dāng)于兒子12年后的年齡，當(dāng)爸爸的年齡是兒子的4倍時，問爸爸多少歲？分析與解根據(jù)“爸爸15年前的年齡相當(dāng)于兒子12年后的年齡”，可以推出爸爸和兒子的年齡差為15+12歲，正好相當(dāng)于兒子的年齡的（4-1）倍，這樣可以先求出兒

3、子的年齡，再求爸爸的年齡。（15+12）÷（4-1）×4=36歲答：爸爸的年齡是兒子的4倍時，爸爸36歲。試一試小明問老師今年幾歲，老師說：“你20年后的年齡，還比我現(xiàn)在小5歲，老師考考你，你幾歲時，老師的年齡是你的6倍？”你能幫小明算嗎？例4 一家三口人，三個人年齡之和是72歲，媽媽和爸爸同歲，媽媽的年齡是孩子的4倍。問三人各多少歲？分析與解媽媽的年齡是孩子的4倍，因為媽媽和爸爸同歲，所以，爸爸的年齡是孩子的4倍，三人年齡之和是72歲，相當(dāng)于孩子年齡的1+4+4=9倍?？梢韵惹蟪龊⒆拥哪挲g，再求爸爸，媽媽的年齡。1+4+4=9，72÷9=8歲，8×4=

4、32歲答：孩子的年齡是8歲，媽媽爸爸的年齡是32歲。試一試爺爺，爸爸，小蘭三人的年齡一共128歲，爺爺?shù)哪挲g是爸爸的2倍，爸爸的年齡是小蘭的5倍，爺爺今年多大年紀？例5 兄弟兩人的年齡相差5歲，哥哥3年后的年齡為弟弟4年前的3倍。問兄弟兩人今年各多少歲？分析與解可以看出，哥哥3年后的年齡比弟弟4年前的年齡大5+3+4=12歲，由差倍問題解得，弟弟4年前的年齡為（5+3+4）÷（3-1）=6歲。由此得到弟弟今年是6+4=10歲，哥哥今年10+5=15歲。答：兄弟兩人今年分別是15歲、10歲。試一試哥哥5年前的年齡等于妹妹7年后的年齡，哥哥4年后與妹妹3年前年齡的和是35歲。求哥哥、妹妹

5、今年的年齡。例6 今年兄弟兩人年齡的和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請問哥哥今年多少歲？分析與解在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟的歲數(shù)看成一份a，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份a。又因為那一年哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相等，所以今年弟弟的歲數(shù)為2份2a，今年哥哥的歲數(shù)為2a+1a=3a。由和倍問題解得，哥哥今年的歲數(shù)為55÷（3a+2a）×3a=33歲。答：哥哥今年33歲。試一試甲的年齡比乙的年齡的3倍少4歲，甲7年前的年齡和乙9年后的年齡相等。問甲、乙現(xiàn)在各是多少歲？例7 1994

6、年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍，2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問父親出生在哪一年？分析與解如果用a表示兄弟兩人1994年的年齡和，則父親1944年的年齡要用4a來表示。父親在2000年的年齡應(yīng)是4a再加6歲，而兄弟兩人在2000年的年齡之和是a再加2×6=12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2a+3歲。即a +12歲=2a+3歲推知1段線表示9歲。所以，父親1994年的年齡是9×4=36（歲），而1994-36=1958（年）。答：父親出生于1958年。試一試已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，

7、明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問祖孫三人今年各多少歲？例8 今年父親的年齡為兒子年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子年齡的2倍。問父子倆今年各多少歲？如果用a表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4a來表示。20年后，父親的年齡就是4a再加上20歲，而兒子的年齡應(yīng)是a再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是a+20=2a+10，求得a是10歲，即兒子今年10歲，父親今年40歲。答：父親今年40歲，兒子今年10歲。數(shù)字推理規(guī)律總結(jié)專業(yè)知識 數(shù)字推理的主要是通過加、減、乘、除、平方、開方等方法來尋找數(shù)列中各個數(shù)字之間的規(guī)律，從而得出最后的答案。 在實際解題過程中，根據(jù)相鄰數(shù)之間的關(guān)系分為

8、兩大類： 一、相鄰數(shù)之間通過加、減、乘、除、平方、開方等方式發(fā)生聯(lián)系，產(chǎn)生規(guī)律，主要有以下幾種規(guī)律： 1、 相鄰兩個數(shù)加、減、乘、除等于第三數(shù) 2、 相鄰兩個數(shù)加、減、乘、除后再加或者減一個常數(shù)等于第三數(shù) 3、 等差數(shù)列：數(shù)列中各個數(shù)字成等差數(shù)列 4、 二級等差：數(shù)列中相鄰兩個數(shù)相減后的差值成等差數(shù)列 5、 等比數(shù)列 ：數(shù)列中相鄰兩個數(shù)的比值相等 6、 二級等比：數(shù)列中相鄰兩個數(shù)相減后的差值成等比數(shù)列 7、 前一個數(shù)的平方等于第二個數(shù) 8、 前一個數(shù)的平方再加或者減一個常數(shù)等于第二個數(shù)； 9、 前一個數(shù)乘一個倍數(shù)加減一個常數(shù)等于第二個數(shù)； 10、 隔項數(shù)列：數(shù)列相隔兩項呈現(xiàn)一定規(guī)律， 11、

9、全奇 、全偶數(shù)列 12、 排序數(shù)列 二、數(shù)列中每一個數(shù)字本身構(gòu)成特點形成各個數(shù)字之間的規(guī)律。 1、 數(shù)列中每一個數(shù)字都是n 的平方構(gòu)成或者是n 的平方加減一個常數(shù)構(gòu)成，或者是n的平方加減n構(gòu)成 2、 每一個數(shù)字都是n的立方構(gòu)成或者是n的立方加減一個常數(shù)構(gòu)成，或者是n的立方加減n 3、 數(shù)列中每一個數(shù)字都是n的倍數(shù)加減一個常數(shù) 以上是數(shù)字推理的一些基本規(guī)律，必須掌握。但掌握這些規(guī)律后，怎樣運用這些規(guī)律以最快的方式來解決問題呢？ 這就需要在對各種題型認真練習(xí)的基礎(chǔ)上，應(yīng)逐步形成自己的一套解題思路和技巧。 第一步，觀察數(shù)列特點，看是否存隔項數(shù)列，如果是，那么相隔各項按照數(shù)列的各種規(guī)律來解答 第二步，

10、如果不是隔項數(shù)列，那么從數(shù)字的相鄰關(guān)系入手，看數(shù)列中相鄰數(shù)字在加減乘除后符合上述的哪種規(guī)律，然后得出答案。 第三步，如果上述辦法行不通，那么尋找數(shù)列中每一個數(shù)字在構(gòu)成上的特點，尋找規(guī)律。 當(dāng)然，也可以先尋找數(shù)字構(gòu)成的規(guī)律，在從數(shù)字相鄰關(guān)系上規(guī)律。這里所介紹的是數(shù)字推理的一般規(guī)律，在對各種基本題型和規(guī)律掌握后，很多題是可以直接通過觀察和心算得出答案數(shù)字推理題的一些經(jīng)驗 1)等差，等比這種最簡單的不用多說，深一點就是在等差，等比上再加、減一個數(shù)列，如24,70,208,622，規(guī)律為a*3-2=b2)深一點模式，各數(shù)之間的差有規(guī)律，如 1、2、5、10、17。它們之間的差為1、3、5、7

11、，成等差數(shù)列。這些規(guī)律還有差之間成等比之類。b，各數(shù)之間的和有規(guī)律，如1、2、3、5、8、13，前兩個數(shù)相加等于后一個數(shù)。3)看各數(shù)的大小組合規(guī)律，做出合理的分組。如 7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436這三組各自是大致處于同一大小級，那規(guī)律就要從組方面考慮，即不把它們看作6個數(shù)，而應(yīng)該看作3個組。而組和組之間的差距不是很大，用乘法就能從一個組過渡到另一個組。所以7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 , 74*74-40=5436，這就是規(guī)律。4)如根據(jù)大小不能分組的，a，看首尾關(guān)系，如7，10，9，12，11，14，

12、這組數(shù)   7+1410+119+12。首尾關(guān)系經(jīng)常被忽略，但又是很簡單的規(guī)律。b，數(shù)的大小排列看似無序的，可以看它們之間的差與和有沒有順序關(guān)系。5)各數(shù)間相差較大，但又不相差大得離譜，就要考慮乘方，這就要看各位對數(shù)字敏感程度了。如6、24、60、 120、210，感覺它們之間的差越來越大，但這組數(shù)又看著比較舒服(個人感覺，嘿嘿)，它們的規(guī)律就是23-2=6、33-3=24、43-4=60、53-5=120、63-6=210。這組數(shù)比較巧的是都是6的倍數(shù)，容易導(dǎo)入歧途。6)看大小不能看出來的，就要看數(shù)的特征了。如21、31、47、56、69、72，它們的十位數(shù)就是遞增關(guān)系，

13、如 25、58、811、1114 ，這些數(shù)相鄰兩個數(shù)首尾相接，且2、5、8、11、14的差為3，如論壇上答：256，269，286，302，（），2+5+6=132+6+9172+8+6163+0+25，256+13269269+17286286+16302 下一個數(shù)為302+5307。7)再復(fù)雜一點，如 0、1、3、8、21、55，這組數(shù)的規(guī)律是b*3-a=c，即相鄰3個數(shù)之間才能看出規(guī)律，這算最簡單的一種，更復(fù)雜數(shù)列也用把前面介紹方法深化后來找出規(guī)律。8)分數(shù)之間的規(guī)律，就是數(shù)字規(guī)律的進一步演化，分子一樣，就從分母上找規(guī)律；或者第一個數(shù)的分母和第二個數(shù)的分子有銜接關(guān)系。而且第一個數(shù)如果不是

14、分數(shù)，往往要看成分數(shù)，如2就要看成2/1。數(shù)字推理題經(jīng)常不能在正常時間內(nèi)完成，考試時也要抱著先易后難的態(tài)度(廢話，嘿嘿)。應(yīng)用題個人覺得難度和小學(xué)奧數(shù)程度差不多(本人青年志愿者時曾在某小學(xué)輔導(dǎo)奧數(shù))，各位感覺自己有困難的網(wǎng)友可以看看這方面的書，還是有很多有趣、快捷的解題方法做參考。國家公務(wù)員考試中數(shù)學(xué)計算題分值是最高的，一分一題，而且題量較大，所以很值得重視(國家公務(wù)員125題，滿分100分，各題有分值差別，但如浙江省公務(wù)員一共120題，滿分120分，沒有分值的差別)補充：1）中間數(shù)等于兩邊數(shù)的乘積，這種規(guī)律往往出現(xiàn)在帶分數(shù)的數(shù)列中，且容易忽略如1/2、1/6、1/3、2、6、3、1/22）數(shù)

15、的平方或立方加減一個常數(shù)，常數(shù)往往是1，這種題要求對數(shù)的平方數(shù)和立方數(shù)比較熟悉如看到2、5、10、17，就應(yīng)該想到是1、2、3、4的平方加1如看到0、7、26、63，就要想到是1、2、3、4的立方減1對平方數(shù)，個人覺得熟悉120就夠了，對于立方數(shù)，熟悉110就夠了，而且涉及到平方、立方的數(shù)列往往數(shù)的跨度比較大，而且間距遞增，且遞增速度較快3）a2bc因為最近碰到論壇上朋友發(fā)這種類型的題比較多，所以單獨列出來如數(shù)列5，10，15，85，140，7085如數(shù)列5,   6,   19,    17 , 

16、60; 344 , 55如數(shù)列5,15,10,215，115這種數(shù)列后面經(jīng)常會出現(xiàn)一個負數(shù)，所以看到前面都是正數(shù)，后面突然出現(xiàn)一個負數(shù)，就考慮這個規(guī)律看看4）奇偶數(shù)分開解題，有時候一個數(shù)列奇數(shù)項是一個規(guī)律，偶數(shù)項是另一個規(guī)律，互相成干擾項如數(shù)列1,8,9,64,25，216奇數(shù)位1、9、25 分別是1、3、5的平方偶數(shù)位8、64、216是2、4、6的立方先補充到這兒。5) 后數(shù)是前面各數(shù)之各，這種數(shù)列的特征是從第三個數(shù)開始，呈2倍關(guān)系如數(shù)列：1、2、3、6、12、24由于后面的數(shù)呈2倍關(guān)系，所以容易造成誤解！數(shù)字推理的題目就是給你一個數(shù)列,但其中缺少一項,要求你仔細觀察這個數(shù)列各數(shù)字之間的關(guān)系

17、,找出其中的規(guī)律,然后在四個選項中選擇一個最合理的一個作為答案.數(shù)字推理題型及講解        按照數(shù)字排列的規(guī)律, 數(shù)字推理題一般可分為以下幾種類型:      一、奇、偶：題目中各個數(shù)都是奇數(shù)或偶數(shù)，或間隔全是奇數(shù)或偶數(shù)：      1、全是奇數(shù)：      例題：1  5  3 &

18、#160;7 （ ）a .2 b.8 c.9 d.12 解析：答案是c ，整個數(shù)列中全都是奇數(shù)，而答案中只有答案c是奇數(shù)      2、全是偶數(shù)：      例題：2 6 4 8 （ ）a. 1 b. 3 c. 5 d. 10   解析：答案是d ，整個數(shù)列中全都是偶數(shù)，只有答案d是偶數(shù)。      3、奇、偶相間       例題：2

19、13 4 17 6 （ ）a.8 b. 10 c. 19 d. 12     解析：整個數(shù)列奇偶相間，偶數(shù)后面應(yīng)該是奇數(shù) ，答案是c 練習(xí)：2，1，4，3，（ ），5    99年考題      二、排序：題目中的間隔的數(shù)字之間有排序規(guī)律      1、例題：34，21，35，20，36（）a.19 b.18 c.17 d.16 解析：數(shù)列中34，35，36為順序，21，20為逆序，因此，答案為a

20、。      三、加法：題目中的數(shù)字通過相加尋找規(guī)律      1、前兩個數(shù)相加等于第三個數(shù)      例題：4，5，（），14，23，37a.6 b.7 c.8 d.9       注意：空缺項在中間，從兩邊找規(guī)律，這個方法可以用到任何題型；     解析：4+5=9 5+9=14 9+14=23 14+2

21、3=37，因此，答案為d；      練習(xí)：6，9，（），24，39 / 1，0，1，1，2，3，5，（ ）      2、前兩數(shù)相加再加或者減一個常數(shù)等于第三數(shù)      例題：22，35，56，90，（） 99年考題      a162 b.156 c.148 d.145解析: 22+35-1=56 35+56-1=90 56+90-1=145，答案為d

22、      四、減法：題目中的數(shù)字通過相減，尋找減得的差值之間的規(guī)律      1、前兩個數(shù)的差等于第三個數(shù)：      例題：6，3，3，（），3，-3a.0 b.1 c.2 d.3 答案是a      解析：6-3=3 3-3=0 3-0=3 0-3=-3      提醒您別忘了：“空缺項在中間

23、，從兩邊找規(guī)律”2、等差數(shù)列：      例題：5，10，15，( ) a. 16 b.20 c.25 d.30 答案是b.      解析：通過相減發(fā)現(xiàn)：相鄰的數(shù)之間的差都是5，典型等差數(shù)列；      3、二級等差：相減的差值之間是等差數(shù)列      例題：115，110，106，103，（）     &

24、#160;a.102 b.101 c.100 d.99 答案是b      解析：鄰數(shù)之間的差值為5、4、3、（2），等差數(shù)列，差值為1      103-2=101       練習(xí)：8，8，6，2，（） / 1，3，7，13，21，31，（ ）      4、二級等比：相減的差是等比數(shù)列     

25、0;例題：0,3,9,21,45, ( )      相鄰的數(shù)的差為3,6,12,24,48,答案為93例題：-2,-1,1,5,( ),29 -99年考題解析：-1-（-2）=1 ，1-（-1）=2，5-1=4，13-5=8，29-13=16        后一個數(shù)減前一個數(shù)的差值為:1,2,4, 8,16,所以答案是13      5、相減的差為完全平方或開方或其他規(guī)律  

26、    例題：1，5，14，30，55，（ ）      相鄰的數(shù)的差為4，9，16，25，則答案為55+36=91      6、相隔數(shù)相減呈上述規(guī)律：      例題：53，48，50，45，47      a.38 b.42 c.46 d.51      

27、;解析：53-50=3 50-47=3 48-45=3 45-3=42 答案為b      注意：“相隔”可以在任何題型中出現(xiàn)      五、乘法：      1、前兩個數(shù)的乘積等于第三個數(shù)例題：1,2,2,4,8,32,( ) 前兩個數(shù)的乘積等于第三個數(shù)，答案是256   2、前一個數(shù)乘以一個數(shù)加一個常數(shù)等于第二個數(shù)，n1×m+a=n2   &#

28、160;  例題:6,14,30,62,( )      a.85 b.92 c.126 d.250解析:6×2+2=14 14×2+2=30 30×2+2=62 62×2+2=126，答案為c      練習(xí)：28，54，106，210，（）      3、兩數(shù)相乘的積呈現(xiàn)規(guī)律:等差,等比,平方,.     

29、; 例題：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 （ ） （99年海關(guān)考題）      a. 1/6 b.2/9 c.4/3 d.4/9      解析:3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8      3/8×?=1/16 答案是 a     

30、0;六、除法:      1、兩數(shù)相除等于第三數(shù)      2、兩數(shù)相除的商呈現(xiàn)規(guī)律：順序，等差，等比，平方，.      七、平方：      1、完全平方數(shù)列：      正序：4，9，16，25       逆序：100，81，64，

31、49，36      間序：1，1，2，4，3，9，4，（16）         2、前一個數(shù)的平方是第二個數(shù)。1） 直接得出：2，4，16，（  ）  解析：前一個數(shù)的平方等于第三個數(shù)，答案為256。      2）前一個數(shù)的平方加減一個數(shù)等于第二個數(shù)：      1，2，5，26，（677）前一

32、個數(shù)的平方減1等于第三個數(shù)，答案為677      3、隱含完全平方數(shù)列：      1）通過加減化歸成完全平方數(shù)列：0，3，8，15，24，（）       前一個數(shù)加1分別得到1，4，9，16，25，分別為1，2，3，4，5的平方，答案為6的平方36。      2）通過乘除化歸成完全平方數(shù)列：     

33、 3，12，27，48，（）      3, 12，27，48同除以3，得1，4，9，16，顯然，答案為75      3）間隔加減，得到一個平方數(shù)列：      例：65，35，17，（），1       a.15 b.13 c.9 d.3      解析:不難感覺到隱含一個平方數(shù)列。進

34、一步思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方減1，17等于4的平方加1，所以下一個數(shù)應(yīng)該是2的平方減1等于3，答案是d.      練習(xí)1：65，35，17，（3 ），1 a.15 b.13 c.9 d.3      練習(xí)2：0， 2， 8，18，（24 ） a.24 b.32 c.36 d.52（ 99考題）      八、開方：      

35、技巧:把不包括根號的數(shù)(有理數(shù)),根號外的數(shù),都變成根號內(nèi)的數(shù),尋找根號內(nèi)的數(shù)之間的規(guī)律:是存在序列規(guī)律,還是存在前后生成的規(guī)律。      九、立方:      1、立方數(shù)列：      例題：1，8，27，64，（）     解析：數(shù)列中前四項為1，2，3，4的立方，顯然答案為5的立方，為125。     

36、0;2、立方加減乘除得到的數(shù)列：      例題：0，7，26，63 ，（ ）      解析：前四項分別為1，2，3，4的立方減1，答案為5的立方減1，為124。     十、特殊規(guī)律的數(shù)列：      1、前一個數(shù)的組成部分生成第二個數(shù)的組成部分:        例題：1，1/2，2/

37、3，3/5，5/8，8/13，（）      答案是：13/21，分母等于前一個數(shù)的分子與分母的和，分子等于前一個數(shù)的分母。      2、數(shù)字升高（或其它排序），冪數(shù)降低（或其它規(guī)律）。      例題：1，8，9，4，（），1/6      a3 b.2 c.1 d.1/3      解析:1，

38、8，9，4，（ ），1/6依次為1的4次方，2的三次方，3的2次方（平方），4的一次方，（ ），6的負一次方。存在1，2，3，4，（    ），6和4，3，2，1，（ ），-1兩個序列。答案應(yīng)該是5的0次方，1往返平均速度公式及其應(yīng)用廖帝學(xué)某人以速度a從a地到達b地后，立即以速度b返回a地，那么他往返的平均速度。證明：設(shè)a、b兩地相距s，則往返總路程2s，往返總共花費時間故下面舉例說明這一公式的應(yīng)用。例1. 一架飛機所帶燃料最多可用6小時，飛機順風(fēng)，每小時可飛1500千米，飛回時逆風(fēng)，每小時可飛1200千米，這架飛機最多飛出_千米，就需往回飛？解：飛機往

39、返的平均速度為千米/時往返總路程為千米故這架飛機最多飛出千米，就需往回飛。例2. 張師傅駕駛一輛載重汽車從縣城到省城送貨，到達省城后馬上卸貨并隨即沿原路返回。他駕駛這輛汽車去時每小時行56千米，返回時每小時行64千米，往返一趟共用去12小時（在省城卸貨所用時間略去不計）。張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行多少千米？解：張師傅往返一趟共行千米答：張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行716.8千米。植樹問題只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關(guān)系，我們把這種關(guān)系叫做“植樹問題”。而植樹問題，一般又可分為封閉

40、型的和不封閉型的（開放型的）。封閉型的和不封閉型的植樹問題，區(qū)別在于間隔數(shù)（段數(shù)）與棵數(shù)的關(guān)系：1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系是：但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：2、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：例1：有一條公路長1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?分析與解答：每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=2

41、00段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2：某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?分析與解答：在圓周上植樹時，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹=1350÷9=150株；由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)（段數(shù)）為150，所以栽夾枝桃的株數(shù)=2×150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端

42、，所以，每兩株之間的距離=9÷(2+1)=3(米)。例3：一條街上，一旁每隔8米有一個廣告牌，從頭到尾有16個廣告牌，現(xiàn)在要進行調(diào)整，變成每12米有一個廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移動？分析與解答：16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米，則共有16-1=15 個間隔，這條街的總長度為8×15120（米）；現(xiàn)在要調(diào)整為每12米一個廣告牌，那么不移動的牌離端點的距離一定既是8的倍數(shù)，同時也是12的倍數(shù)；8×3=12×2=24，也就是說，每24米及其倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動；120÷245，即段數(shù)為5個，但要扣除兩端

43、的2個，所以，中間不需要移動的有5-1=4個。事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如，與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題。例4：某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？分析與解答：要求還需要多少秒才能到達，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，并且知道從4樓走到8樓共需要走幾層樓梯。從1層走到4層，事實所爬的層數(shù)只是4-1=3層，所以上一層樓梯需要的時間是48÷（4-1）=16（秒）；又，從4樓走到8樓共需走8-4

44、=4層樓梯，所以還需要的時間是16×4=64秒。例5：光華路小學(xué)三年級學(xué)生有125人參加運動會入場式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺長42米，他們以每分鐘45米的速度通過主席臺需要多少分鐘?分析與解答：125人參加運動會入場式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么這里25行就相當(dāng)于直線上的25棵樹，所以，這列隊的長度為兩端植樹的路的長度，全長是2×(25-1)=48米；這列隊伍通過主席臺，所走的總路程應(yīng)該是隊伍長度與主席臺長度之和，即：48+42=90米，所以，他們通過主席臺的時間是90÷45=2分鐘。例6：下圖是五個大小相同的鐵環(huán)連在

45、一起的圖形，它的長度是多少？十個這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？分析與解答：根據(jù)上圖所示，要求出它的總長度是多少，關(guān)鍵是求出重疊部分需要扣除的長度。每一個鐵環(huán)的厚度為6毫米，注意到重疊部分，后面連上的鐵環(huán)將有2個厚度是重疊的，也就是說實際每加一個鐵環(huán)所延伸的長度為4厘米-2×6毫米=40毫米-12毫米=28毫米； 根據(jù)我們前面所講的植樹問題，五個鐵環(huán)連在一起，“環(huán)扣”數(shù)為5-14(個)，所以，五個大小相同的鐵環(huán)連在一起時，總長度為40+4×28152(毫米)。同理，十個鐵環(huán)連在一起的長度為40+ (10-1) ×28=292(毫米)。例7：一個木工把一根長24米的木條鋸

46、成了3米長的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘?分析與解答：要求需要的時間，我們就要弄清楚共需鋸幾次。24米長的木條里面包含有24÷3=8個3米，8段有8-1=7個間隔，即木工只需鋸7次，那么，每次5分鐘,一共需要用時5×7=35分鐘。例8：一個街心花園如下圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？分析與解答：由題意可知，大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍，因為每個小三角形的邊上均勻栽9株， 而大三角形的每條邊由兩個小三角形的邊重疊一個頂點而成，所以，大三角形

47、的每條邊上栽的棵數(shù)為：9×2-1=17棵；又大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以，大三角形三條邊上共栽花：（17-1）×3=48棵；再看圖中間的陰影小三角形，每邊所栽花的棵數(shù)就是一個兩端不種樹的植樹問題，所以小三角形每條邊上栽花的棵數(shù)為9-2=7棵，中間共栽花：7×3=21棵，所以，整個花壇共栽花：48+21=69棵。例9：時鐘4點敲4下，用12秒敲完。那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？分析與解答：4點鐘敲4下，共12秒，而4下中間有3個間隔，說明每一個間隔的秒數(shù)為12÷（41）=4秒；12點敲12下，中間有11個間隔，所以一共需要4

48、15;（121）=44秒敲完。例10：鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計算火車速度，測量出從經(jīng)過第1根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿止共用了2分。火車的速度是多少？分析與解答：從第1根電線桿起到第37根電線桿，共有37-1=36個間隔；每隔50米有一根電線桿，也就是說間隔為50米；那么，行使的總路程為：50×（371）=1800米；2分鐘=2×60秒=120秒，共行1800米，所以，火車速度為：1800÷12015米秒。雞兔同籠問題“雞兔同籠”是一類有名的中國古算題.最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法-“假設(shè)法

49、”來求解.因此很有必要學(xué)會它的解法和思路.例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只？解：我們設(shè)想，每只雞都是“金雞獨立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，·也就是244÷2=122（只）.在122這個數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34，有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只. 答：有兔子34只，雞54只. 上面的計算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù)÷2-總頭數(shù)=兔子數(shù).上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的.做一次除法和

50、一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時，“腳數(shù)”就不一定是4和2，上面的計算方法就行不通.因此，我們對這類問題給出一種一般解法. 還說例1.如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有4×88只腳，比244只腳多了88×4-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.說明我們設(shè)想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式：雞數(shù)=（兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳

51、數(shù)）當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是“雞”，那么共有腳2×88=176（只），比244只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，68÷2=34（只）.說明設(shè)想中的“雞”，有34只是兔子，也可以列出公式：兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.上面兩個公式不必都用，用其中一個算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個數(shù).假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為“假設(shè)法”.現(xiàn)在，拿一個具體問題來試試上面的公式.例2 紅鉛筆每支0.19元，藍鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問紅、

52、藍鉛筆各買幾支？ 解：以“分”作為錢的單位.我們設(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個頭，280只腳.現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有：藍筆數(shù)=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）.紅筆數(shù)=16-3=13（支）.答：買了13支紅鉛筆和3支藍鉛筆. 對于這類問題的計算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8×（11+19）=240.比280少40.40÷

53、（19-11）=5.就知道設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”（藍鉛筆）數(shù)是3.30×8比19×16或11×16要容易計算些.利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計算.實際上，可以任意設(shè)想一個方便的兔數(shù)或雞數(shù).例如，設(shè)想16只中，“兔數(shù)”為10，“雞數(shù)”為6，就有腳數(shù) 19×10+11×6=256. 比280少24. 24÷（19-11）=3， 就知道設(shè)想6只“雞”，要少3只. 要使設(shè)想的數(shù)，能給計算帶來方便，常常取決于你的心算本領(lǐng).下面再舉四個稍有難度的例子. 例3一份稿件，甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成，現(xiàn)在甲單

54、獨打若干小時后，因有事由乙接著打完，共用了7小時.甲打字用了多少小時？解：我們把這份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時打甲每小時打30÷6=5（份），乙每小時打30÷10=3（份）.現(xiàn)在把甲打字的時間看成“兔”頭數(shù)，乙打字的時間看成“雞”頭數(shù)，總頭數(shù)是7.“兔”的腳數(shù)是5，“雞”的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.根據(jù)前面的公式“兔”數(shù)=（30-3×7）÷（5-3） =4.5，“雞”數(shù)=7-4.5 =2.5，也就是甲打字用了4.5小時，乙打字用了2.5小時.答：甲打字用了4小時30分. 例4 今年是1998

55、年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，是公元哪一年？解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作“雞”頭數(shù)，弟的年齡看作“兔”頭數(shù).25是“總頭數(shù)”.86是“總腳數(shù)”.根據(jù)公式，兄的年齡是：（25×4-86）÷（4-3）=14（歲）. 1998年，兄年齡是 14-4=10（歲）. 父年齡是（25-14）×4-4=40（歲）. 因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，兄的年齡是

56、（40-10）÷（3-1）=15（歲）. 這是2003年. 答：公元2003年時，父年齡是兄年齡的3倍. 例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀.現(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾只？ 解：因為蜻蜓和蟬都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成“8條腿”與“6條腿”兩種.利用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數(shù)=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）.因此就知道6條腿的小蟲共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對翅膀.再利用一次公式蟬數(shù)=（13×2-20）÷（2-1）

57、=6（只）.因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬. 例6某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有7人，5道全對的有6人，做對2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對4道的人數(shù)有多少人？解：對2道、3道、4道題的人共有 52-7-6=39（人）. 他們共做對 181-1×7-5×6=144（道）. 由于對2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對2.5道題的人（2+3）÷2=2.5）.這樣兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5，總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39. 對4道題的有（144-2.5×

58、39）÷（4-1.5）=31（人）. 答：做對4道題的有31人. 習(xí)題一1.龜鶴共有100個頭，350只腳.龜、鶴各多少只？2.學(xué)校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120個學(xué)生同時進行活動.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副？3.一些2分和5分的硬幣，共值2.99元，其中2分硬幣個數(shù)是5分硬幣個數(shù)的4倍，問5分硬幣有多少個？4.某人領(lǐng)得工資240元，有2元、5元、10元三種人民幣，共50張，其中2元與5元的張數(shù)一樣多.那么2元、5元、10元各有多少張？5.一件工程，甲單獨做12天完成，乙單獨做18天完成，現(xiàn)在甲做了若干天后，再由乙接著單獨做完余下的部分，這樣前后共用了

59、16天.甲先做了多少天？6.摩托車賽全程長281千米，全程被劃分成若干個階段，每一階段中，有的是由一段上坡路（3千米）、一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）組成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）組成的.已知摩托車跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段？7.用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張，問最多可以買1角的郵票多少張？二、“兩數(shù)之差”的問題雞兔同籠中的總頭數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？例7 買一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩

60、種郵票各買了多少張？ 解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多. （680-8×40）÷（8+4）=30（張），這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張. 因此8分郵票有40+30=70（張）. 答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張. 也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法. 解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計算單位，此時郵票總值是4×20+8×60=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是：

61、 （680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（張）. 因此4分有20+10=30（張），8分有60+10=70（張）.例8 一項工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：類似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有 （150-8×3）÷（10+8）= 7（天）. 雨天是7+3=10天，總共7+10=17（天）. 答：這項工程17天完成. 請注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3

62、，與和是17，知道其一，就能推算出另一個.這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？ 例9 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只？ 解一：假如再補上28只雞腳，也就是再有雞28÷2=14（只），雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳4÷2=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.兔的只數(shù)是：（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.雞是：100-38=62（只）.答：雞62只，兔38只.當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只數(shù)是（100-28

63、7;4）÷（2+1）+7=38（只）. 也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法.解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50（只）.此時腳數(shù)之差是： 4×50-2×50=100， 比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了（雞數(shù)少了）.為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（千萬注意，不是2）.因此要減少的兔數(shù)是： （100-28）÷（4+2）=12（只）. 兔只數(shù)是： 50-12=38（只）. 另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”. 例10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言

64、絕句是四句詩，每句都是七個字.有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字數(shù)卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首.解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時字數(shù)相差 13×5×4+20=280（字）. 每首字數(shù)相差：7×4-5×4=8（字）. 因此，七言絕句有：28÷（28-20）=35（首）. 五言絕句有：35+13=48（首）.答：五言絕句48首，七言絕句35首. 解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字數(shù)分別是20×23=460（字），28×10=280（字），五言絕句的字數(shù)，反而多了：460-280=180（字）.與題目中“少20字”相差：180+20=200（字）. 說明假設(shè)詩的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字數(shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加 200÷8=25（首）. 五言絕句有 23+25=48（首）. 七言絕句有 10+25=35（首）. 在寫出“雞兔同籠”公式的時候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對于例7、例9和例10三個問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來具體做一下，把列出的計算式子與“雞兔同籠”公