14無窮小與無窮大

1、1無窮小無窮小(infinitely small)無窮大無窮大(infinitely great)無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系第四節(jié)第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大第一章第一章 函數與極限函數與極限2 拉格朗日：動力學基礎；拉格朗日：動力學基礎； 牛頓：對微積分的探討；牛頓：對微積分的探討； 歐拉：歐拉：1748年年無窮小分析引論無窮小分析引論. 無窮小量無窮小量.英國數學家、物理學家英國數學家、物理學家(16421727)牛頓牛頓拉格朗日拉格朗日意大利數學家、力學家意大利數學家、力學家(17361813)瑞士數學家瑞士數學家(1707 1783)歐拉歐拉都可以轉化為一種簡單而

2、重都可以轉化為一種簡單而重要的變量要的變量- 數學的發(fā)展歷史表明數學的發(fā)展歷史表明,較復雜的變量較復雜的變量,很多變化狀態(tài)比很多變化狀態(tài)比無窮小與無窮大無窮小與無窮大“無窮小量分析無窮小量分析”.31. 定義定義 極限為零的極限為零的變量變量稱為稱為無窮小量無窮小量無窮小是指無窮小是指函數變化的趨勢函數變化的趨勢.xsin函數函數,0時時當當 xxxsin函數函數,時時當當 x2 x函函數數,2時時當當 x,時時當當 n)1(nn 數列數列均是無窮小！均是無窮小！一、無窮小一、無窮小無窮小與無窮大無窮小與無窮大在某個過程中在某個過程中4定義定義1 1, 0 0 |00 xx當當恒有恒有 | )

3、(|xf),0( x),|(|xx ,)(0時的無窮小時的無窮小當當則稱則稱xxxf0)(lim0 xfxx記作記作1) 無窮小是變量無窮小是變量;2) 零是可以作為無窮小的零是可以作為無窮小的唯一的數唯一的數.注注 “無窮小量無窮小量” 是表達量的變化狀態(tài)的是表達量的變化狀態(tài)的.“無限制變小的量無限制變小的量”)( x).0)(lim( xfx無窮小與無窮大無窮小與無窮大52. 無窮小與函數極限的關系無窮小與函數極限的關系證證,)(lim0axfxx 設設axfx )()( 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xaxf 定理定理1 1axfxx )(lim0.)(0時的無窮小時的

4、無窮小是當是當其中其中xxx ),()(xaxf , 0 , 0 ,|00 xx當當恒有恒有 |)(|axf也即也即 | )(|x無窮小與無窮大無窮小與無窮大6, 0 在同一過程中在同一過程中, 有限有限個無窮小的代數和個無窮小的代數和定理定理2 2仍是無窮小仍是無窮小. .3. 無窮小的運算性質無窮小的運算性質,|1時時當當nx ,max21nnn ,|時時當當nx | 22 , )(0 x , 01 n;2| | 無窮小與無窮大無窮小與無窮大取取恒有恒有恒有恒有證證是是及及設設 的兩個無窮小的兩個無窮小, ,時時當當 x,|2時時當當nx .2| 恒有恒有, 02 n無窮多個無窮多個無窮小

5、的代數和未必是無窮小無窮小的代數和未必是無窮小. .注注7證證,),(10內有界內有界在在設函數設函數 xuu, 0, 01 m,0時的無窮小時的無窮小是當是當又設又設xx , 0 定理定理3 3 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小. .,|010 xx當當.|mu 有有, 02 ,|020 xx當當.|m 有有,min21 取取| uumm , ,|00 xx當當恒有恒有無窮小與無窮大無窮小與無窮大.,0為無窮小為無窮小時時當當 uxx8 在同一過程中在同一過程中, ,有極限的變量與無窮小有極限的變量與無窮小都是無窮小都是無窮小.推論推論1 1的乘積是無窮小的乘積是

6、無窮小;常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小;推論推論2 2有限個有限個無窮小的乘積也是無窮小無窮小的乘積也是無窮小.推論推論3 3,0時時當當 x,1sinxxxx1arctan2無窮小與無窮大無窮小與無窮大9二、無窮大二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為 無窮大無窮大. .是無窮大是無窮大;,1x函數函數,0時時當當 xxcot,時時當當 x,2x函數函數3x是無窮大是無窮大.無窮小與無窮大無窮小與無窮大10定義定義2 20 當當 |00 xx恒有恒有mxf | )(|),0( x),|(|xx ,)(0時的無窮大時的無窮大當當則稱則稱xxxf )(l

7、im0 xfxx記作記作).)(lim( xfx, 0 m)( x特殊情形特殊情形:)()(lim)(0 或或xfxxx正無窮大正無窮大,負無窮大負無窮大無窮小與無窮大無窮小與無窮大11(1) 無窮大是變量無窮大是變量;無窮大一定是無界函數無窮大一定是無界函數,.,)(lim)2(0極限不存在極限不存在 xfxx注注(3) 無窮大與無界函數的區(qū)別無窮大與無界函數的區(qū)別:未必是某個過程的無窮大未必是某個過程的無窮大.無界函數無界函數無窮小與無窮大無窮小與無窮大12xxysin 是無界函數是無界函數, 但不是無窮大但不是無窮大.取取,22時時 nxxn22)( nxfn而取而取,2時時 mxxm

8、. 0)( mxf無窮小與無窮大無窮小與無窮大)( n當當所以所以,時時 x f (x)不是不是無窮大無窮大! !13 11lim1xx證明證明11 xy1 ,)(lim0 xfxx如果如果例例:0 xx 直線直線鉛直漸近線鉛直漸近線(vertical asymptote).無窮小與無窮大無窮小與無窮大結論結論xyo1 14 在同一過程中在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小無窮大的倒數為無窮小;證證 )(lim0 xfxx設設, 0 .)(1 xf即即.)(1,0為無窮小為無窮小時時當當xfxx 定理定理4 4恒不為零的無窮小的倒數為無窮大恒不為零的無窮小的倒數為無窮大. ., 0 ,00時時 xx,1)( mxf有有無窮小與無窮大無窮小與無窮大三、無窮小與無窮大的關系三、無窮小與無窮大的關系,1 m對對當當關于無窮大的討論關于無窮大的討論,意義意