彈簧-質(zhì)量-阻尼模型

1、彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)1 研究背景及意義彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是一種比較普遍的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，研究這種系統(tǒng)對(duì)于我們的生活與科技也是具有意義的，生活中也隨處可見(jiàn)這種系統(tǒng)，例如汽車緩沖器就是一種可以耗減運(yùn)動(dòng)能量的裝置，是保證駕駛員行車安全的必備裝置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改變結(jié)構(gòu)的自振特性，增加結(jié)構(gòu)阻尼，吸收地震能量，降低地震作用對(duì)建筑物的影響。因此研究彈簧-質(zhì)量-阻尼結(jié)構(gòu)是很具有現(xiàn)實(shí)意義。2 彈簧-質(zhì)量-阻尼模型的建立數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)特性之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。其中，微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型 ，不論是機(jī)械的、液壓的、電氣的或熱力學(xué)的系統(tǒng)等都可以

2、用微分方程來(lái)描述。微分方程的解就是系統(tǒng)在輸入作用下的輸出響應(yīng)。所以，建立數(shù)學(xué)模型是研究系統(tǒng)、預(yù)測(cè)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的前提 。通常情況下，列寫(xiě)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程都是應(yīng)用力學(xué)中的牛頓定律、質(zhì)量守恒定律等。彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是最常見(jiàn)的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)。機(jī)械系統(tǒng)如圖2.1所示，圖2.1 彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)圖其中，表示小車的質(zhì)量，表示緩沖器的粘滯摩擦系數(shù)，表示彈簧的彈性系數(shù)，（t）表示小車所受的外力，是系統(tǒng)的輸入即（t）=（t）,(t)表示小車的位移，是系統(tǒng)的輸出，即（t）=(t)，i=1,2。設(shè)緩沖器的摩擦力與活塞的速度成正比，其中=1kg，=2kg，=100N/cm，=300N/cm，=3Ns/cm，

3、=6Ns/cm。由圖2.1，根據(jù)牛頓第二定律,，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如下：對(duì)有： （2-1）對(duì)有： （2-2）3 建立狀態(tài)空間表達(dá)式令,則原式可化為：化簡(jiǎn)得： （2-3） （2-4）整理得： （2-5）代入數(shù)據(jù)得： 則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為4 化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)系統(tǒng)矩陣A有n個(gè)不相等的特征根時(shí)，相應(yīng)的有n個(gè)不相等的特征向量，所以有矩陣A的特征矩陣根據(jù)矩陣論線性變換得： 可以使用matlab進(jìn)行對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型的運(yùn)算，matlab作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算工具，很大程度的方便了了我們的計(jì)算，對(duì)于這個(gè)彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是一個(gè)四階的狀態(tài)空間表達(dá)式，所以可以用matlab簡(jiǎn)化計(jì)算。（1） 求特征值與特征向量A=0 0

4、 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5B=0 0;0 0;1 0;0 0.5C=1 0 0 0;0 1 0 0P,J=eig(A)求得結(jié)果：P = 0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i 0.0401 - 0.0698i 0.0401 + 0.0698i -0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i 0.0176 - 0.0792i 0.0176 + 0.0792i 0.8650 0.8650 0.6682 + 0.2084i 0.6682 - 0.2084i -0.3442 - 0.3621i

5、-0.3442 + 0.3621i 0.7050 0.7050 J = 0.3667 +21.5183i 0 0 0 0 0.3667 -21.5183i 0 0 0 0 1.8833 + 8.4864i 0 0 0 0 1.8833 - 8.4864i（2） P矩陣求逆PN=inv(P)求得結(jié)果：PN = 3.4167 + 9.7803i -2.1017 - 9.2399i 0.3466 - 0.2323i -0.4703 - 0.1054i 3.4167 - 9.7803i -2.1017 + 9.2399i 0.3466 + 0.2323i -0.4703 + 0.1054i -3.35

6、54 + 3.4224i 3.7199 + 3.2032i 0.2886 - 0.0353i 0.5337 - 0.2409i -3.3554 - 3.4224i 3.7199 - 3.2032i 0.2886 + 0.0353i 0.5337 + 0.2409i（3） 帶入公式 解得對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型為：5求狀態(tài)空間表達(dá)式的解（1） 求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣其中，T為特征向量狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：5 可控性與可觀性不同于經(jīng)典控制理論，能控性和能觀性，是一個(gè)具有實(shí)際意義的概念，經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入-輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且穩(wěn)定，輸出量便可以受控，且輸出量總是可以被測(cè)量的，因而

7、不需要能控能觀性的提出。但是現(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間表達(dá)式描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的，狀態(tài)方程描述輸入u（t）引起狀態(tài)x（t）的變化過(guò)程，輸出方程描述有狀態(tài)變化引起的輸出y（t）的變化。能控能觀便是定性的描述輸入u（t）對(duì)狀態(tài)x(t)的控制能力，輸出y（t）對(duì)狀態(tài)x（t）的反應(yīng)能力，他們分別回答了“輸入能否控制狀態(tài)的變化”-可控性“狀態(tài)的變化能否有輸出反映出來(lái)”-可觀性另外在工程上常用狀態(tài)變量作為反饋信息，可是狀態(tài)x（t）的值通常是難測(cè)的，往往需要從測(cè)量到的y（t）中估計(jì)出狀態(tài)，如果輸出y（t）不能完全反映出系統(tǒng)的狀態(tài)x（t），那么就無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)的估計(jì)。能控性定義：當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定系

8、統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到允許的輸入量，在有限的時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)的所有狀態(tài)達(dá)到任一終止?fàn)顟B(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可控的。有狀態(tài)方程x(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解為：如果有限的時(shí)間內(nèi)0 < t < t1內(nèi)通過(guò)輸入量u(t)的作用把系統(tǒng)的所有狀態(tài)引向狀態(tài)x(t1)設(shè)x(t1)=0 ，則應(yīng)有：即在給定x(0-)和A、B的條件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。換言之：上述方程有解則系統(tǒng)能控。根據(jù)凱萊哈米爾頓定理， e-At、 eAt可寫(xiě)成有限級(jí)數(shù)：如果方程有解，等式右邊左側(cè)矩陣應(yīng)滿秩=n，此時(shí)系統(tǒng)是可控的。求可控性：n=4 滿秩所以系統(tǒng)是可控的可觀性定義：當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定

9、控制后，如果系統(tǒng)的每一個(gè)初始狀態(tài)x(0-)都可以在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)系統(tǒng)的輸出y(t)唯一確定，則稱系統(tǒng)完全可觀。若只能確定部分初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)部分可觀。有狀態(tài)方程x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t) 其解為由于在討論能觀性問(wèn)題時(shí)，輸入是給定的，上式右側(cè)第二項(xiàng)是確知的，設(shè)u(t)=0。y(t)=CeAtx(0-)。根據(jù)凱萊哈米爾頓定理， e-At 、eAt可寫(xiě)成有限級(jí)數(shù)：如果方程有解，等式右側(cè)中間側(cè)矩陣應(yīng)滿秩。其中，秩=n(系統(tǒng)的階數(shù))求可觀性：n=4滿秩所以系統(tǒng)是可觀的6 求系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)對(duì)于兩輸入兩輸出的系統(tǒng)求得的傳遞函數(shù)是一個(gè)二階的傳遞函數(shù)陣,其中包含四個(gè)傳遞函

10、數(shù)Transfer function from input 1 to output. s2 + 4.5 s + 200 #1: - s4 - 4.5 s3 + 541.5 s2 - 1800 s + 3.5e004 3 s + 150 #2: - s4 - 4.5 s3 + 541.5 s2 - 1800 s + 3.5e004 Transfer function from input 2 to output. 3 s + 150 #1: - s4 - 4.5 s3 + 541.5 s2 - 1800 s + 3.5e004 0.5 s2 - 4.5 s + 200 #2: - s4 - 4.

11、5 s3 + 541.5 s2 - 1800 s + 3.5e004矩陣函數(shù)陣：7 分析開(kāi)環(huán)穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義是系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性。系統(tǒng)正常工作要求是系統(tǒng)在受到外界擾動(dòng)后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動(dòng)消失后，仍然能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作，且線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與輸入作用無(wú)關(guān)。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)于研究系統(tǒng)能否正常工作具有很重要的意義，穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是系統(tǒng)的重要特征。我們不僅要分析一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定 還要解決的問(wèn)題便是怎樣使一個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定。經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法有很多，例如代數(shù)判據(jù)，niquist判據(jù)，根軌跡判據(jù)等。而

12、現(xiàn)代控制理論經(jīng)常用李雅普諾夫第二法求穩(wěn)定性。（1）利用特征根的方法根據(jù)上述結(jié)果求得的特征根為 0.3667 +21.5183i 0.3667 +21.5183i 1.8833 + 8.4864i 1.8833 - 8.4864i ，四個(gè)特征值全部都在坐標(biāo)軸的右半平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（2）利用利亞普諾夫第二法求解其中：將其換成矩陣形式可以看出A不是正定的，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。8 利用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置到合適的值狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸入相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。原受控對(duì)象為經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋后得到的閉環(huán)系統(tǒng)為閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)選取原則為以下

13、幾點(diǎn)：1）n維控制系統(tǒng)有n個(gè)期望極點(diǎn)；2）期望極點(diǎn)是物理上可實(shí)現(xiàn)的，為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)；3）期望極點(diǎn)的位置的選取，需考慮它們對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)的影響（離虛軸的位置），及與零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系。4）離虛軸距離較近的主導(dǎo)極點(diǎn)收斂慢，對(duì)系統(tǒng)性能影響最大，遠(yuǎn)極點(diǎn)收斂快，對(duì)系統(tǒng)只有極小的影響。閉環(huán)極點(diǎn) 0.3667 +21.5183i 0.3667 -21.5183i 1.8833 + 8.4864i 1.8833 - 8.4864i配置狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)應(yīng)穩(wěn)定，所以期望極點(diǎn)應(yīng)在虛軸左側(cè)，所以期望閉環(huán)極點(diǎn) -1.1001+64.5549i -1.1001-64.5549i -5.6499+25.4952 -5.64

14、99-25.4952得到極點(diǎn)配置矩陣K = 1.0e+003 * 1.2556 -0.0375 0.0157 -0.0332 0.9718 2.8969 0.0839 0.004驗(yàn)證極點(diǎn)配置結(jié)果是正確的：ans = -1.1001 -64.5549i -1.1001 +64.5549i -5.6499 -25.4952i -5.6499 +25.4952i求得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)曲線（沒(méi)有經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋的）：沒(méi)有上升時(shí)間經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋的傳遞函數(shù)：狀態(tài)空間表達(dá)式為Matlab解得閉環(huán)傳遞函數(shù)： s2 + 6.758 s + 1648 #1: - s4 + 13.5 s3 + 4875 s2 + 4.

15、86e004 s + 2.843e006 -38.95 s - 335.9 #2: - s4 + 13.5 s3 + 4875 s2 + 4.86e004 s + 2.843e006 Transfer function from input 2 to output. 19.59 s + 168.7 #1: - s4 + 13.5 s3 + 4875 s2 + 4.86e004 s + 2.843e006 0.5 s2 + 3.371 s + 827.8 #2: - s4 + 13.5 s3 + 4875 s2 + 4.86e004 s + 2.843e006反饋后的階躍響應(yīng)：階躍響應(yīng)上升時(shí)間是

16、0.034s，配置后系統(tǒng)最終穩(wěn)定。9 設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器不是所有的系統(tǒng)狀態(tài)物理上都能夠直接測(cè)量得到。需要從系統(tǒng)的可量測(cè)參量，如輸入u和輸出y來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài) 。狀態(tài)觀測(cè)器基于可直接量測(cè)的輸出變量y和控制變量u來(lái)估計(jì)狀態(tài)變量，是一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的模擬動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。如果系統(tǒng)狀態(tài)是完全能觀測(cè)的，那么根據(jù)輸出y的測(cè)量，可以唯一的確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，所以只要滿足一定的條件，便可以從可測(cè)量y和u中把x間接重構(gòu)出來(lái)。全維漸進(jìn)狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖：系統(tǒng)的原極點(diǎn)為0.3667 +21.5183i 0.3667 +21.5183i 1.8833 + 8.4864i 1.8833 - 8.4864i 期望極點(diǎn)應(yīng)是原極點(diǎn)的2-5倍，

17、并不是越快越好。期望極點(diǎn)為 -1.4668 +86.0732i -1.4668 -86.0732i -7.5332 +33.9456i -7.5332 -33.9456i相應(yīng)的全維觀測(cè)器是： 10 帶觀測(cè)器的輸出狀態(tài)空間表達(dá)式： D=0 分別得到輸出和觀測(cè)狀態(tài)的傳遞函數(shù)：Transfer function from input "y1" to output. 17.51 s3 + 5899 s2 + 1.23e005 s + 7.911e006 y1_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 -52.62 s3 +

18、 359.1 s2 - 6844 s + 4.369e005 y2_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 17.51 s3 + 5899 s2 + 1.23e005 s + 7.911e006 x1_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 -52.62 s3 + 359.1 s2 - 6844 s + 4.369e005 x2_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 3200 s3 + 9.295e004 s

19、2 + 7.698e006 s + 3.967e006 x3_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 122.3 s3 + 1.405e005 s2 - 8571 s + 5.737e007 x4_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 Transfer function from input "y2" to output. 51.13 s3 + 1379 s2 + 2.945e004 s + 8.583e005 y1_e: - s4 + 18 s3

20、+ 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 4.985 s3 + 5001 s2 + 1.152e005 s + 8.303e006 y2_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 51.13 s3 + 1379 s2 + 2.945e004 s + 8.583e005 x1_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 4.985 s3 + 5001 s2 + 1.152e005 s + 8.303e006 x2_e: - s4 + 18 s3 + 8

21、664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 1609 s3 - 1.337e005 s2 + 1.373e006 s - 1.853e007 x3_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 2246 s3 + 2.437e004 s2 + 6.754e006 s - 4.844e007 x4_e: - s4 + 18 s3 + 8664 s2 + 1.152e005 s + 8.96e006 Input groups: Name Channels Measurement 1,2 Output groups: Name Channels OutputEstimate 1,2 StateEstimate 3,4,5,6 分析其穩(wěn)定性根據(jù)階躍響應(yīng)圖來(lái)看系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且上升時(shí)間為0.0015s附錄：A=0 0 1 0;0 0 0