高一數(shù)學必修一知識點

1、集合結構圖集合結構圖集合集合集合含義與表示集合含義與表示集合間關系集合間關系集合基本運算集合基本運算列舉法列舉法 描述法描述法 圖示法圖示法子集子集真子集真子集補集補集并集并集交集交集1.集合中元素的性質(zhì)集合中元素的性質(zhì):自然數(shù)集（非負整數(shù)集）：記作自然數(shù)集（非負整數(shù)集）：記作 N 正整數(shù)集：記作正整數(shù)集：記作N* *或或N+ + 整數(shù)集：記作整數(shù)集：記作 Z有理數(shù)集：記作有理數(shù)集：記作 Q實數(shù)集：記作實數(shù)集：記作 R2.常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集及其記法子集：子集：A B任意任意xA xB.真子集：真子集： A B xA，xB，但存在，但存在x0B且且x0 A.集合相等：集合相等：AB A

2、 B且且B A.空集：空集：.性質(zhì)：性質(zhì)：A，若，若A非空，非空， 則則A. 3.集合間的關系集合間的關系:子集、真子集個數(shù)：子集、真子集個數(shù)： 一般地，集合一般地，集合A含有含有n個元素，個元素，A的非空真子集的非空真子集 個個.則則A的子集共有的子集共有 個個;A的真子集共有的真子集共有 個個;A的非空子集的非空子集 個個;2n2n12n-12n-24.并集并集: B A |BxAxxBA，或BA5.交集交集:|BxAxxBA，且 B A BA6.全集全集:一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的涉及的元素元素,那么就稱這個集合為那么就稱這個集

3、合為7.補集補集:UAUAUA=x|x U，且x AUAUAU2: ABABA類比并集的相關性質(zhì)類比并集的相關性質(zhì)1: ABABA211-，M421，MxxyyN2練習練習變式：變式：xyxNRxyyMx3log1|,2|例例1已知集合已知集合Ax |2x5， 集合集合Bx | m1x2m1， 若若 ，求，求m的取值范圍的取值范圍.AB （1）B為空集（2）B不為空集2.1,2,02xxx2已知則或知識知識結構結構概念概念三要素三要素圖象圖象性質(zhì)性質(zhì)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)應用應用大小比較大小比較方程解的個數(shù)方程解的個數(shù)不等式的解不等式的解實際應用實際應用對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的概念函

4、數(shù)的三要素：定義域，值域，對應法則A.BA.B是兩個非空的集合是兩個非空的集合, ,如果按照如果按照某種對應法則某種對應法則f f，對于集合，對于集合A A中的中的每一個元素每一個元素x x，在集合，在集合B B中都有唯中都有唯一的元素一的元素y y和它對應，這樣的對和它對應，這樣的對應叫做從應叫做從A A到到B B的一個函數(shù)。的一個函數(shù)。使函數(shù)有意義的使函數(shù)有意義的x x的取值范圍。的取值范圍。求定義域的主要依據(jù)求定義域的主要依據(jù)1 1、分式的分母不為零、分式的分母不為零. .2 2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零. .3 3、零次冪的底數(shù)不為零、零次冪的底數(shù)不為

5、零. .4 4、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零. .5 5、指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為、指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為1.1.6、實際問題中函數(shù)的定義域、實際問題中函數(shù)的定義域例例1 1 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域。的定義域。2lgxyx)12(log)3()23(22)2(121)1(20 xyxxxyxxy求定義域待定系數(shù)法、換元法、配湊法待定系數(shù)法、換元法、配湊法1, 已知已知 求求f(x).xxxf3) 1(2, 已知已知f(x)是一次函數(shù)，且是一次函數(shù)，且ff(x)=4x+3求求f(x).3，已知，已知 求求f(x).21)1(22xxxxf求值域的一些方法：求值域的一些

6、方法： 1、圖像法，、圖像法，2 、 配方法，配方法，3、觀察法，、觀察法，4、分離常數(shù)法，、分離常數(shù)法，5、換元法，、換元法，6單調(diào)性法單調(diào)性法。12, 6xa)b)c)d) 3(log3xy21 2yxx243, 03yxxx 21y1xx 1、已知函數(shù)、已知函數(shù)f (x)=x+2, (x1)x2, (1x2)2x, ( x2 )若若f(x)=3, 則則x的值是的值是( )A. 1B. 1或或32C. 1, , 332D. 3D 3log,0,f-31,03xx xfxfx已 知求一個函數(shù)的三要素為：定義域、對應關系和值域，值域是由對應法則和定義域決定的判斷兩個函數(shù)相等的方法：1、定義域是

7、否相等（定義域不同的函數(shù)，不是相等的函數(shù)）2、對應法則是否一致（對應關系不同，兩個函數(shù)也不同）例、下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等23322(1)(2)(3)(4)yxytxyxyx反比例函數(shù)反比例函數(shù) kyx1、定義域、定義域 .2、值域、值域 4、圖象、圖象k0k0a1時，時，f(x)=ag(x)的單調(diào)性與的單調(diào)性與g(x)相同相同; 當當0a0,2a)+f(-a)0,求實數(shù)求實數(shù)a a的取值范圍的取值范圍 一般地，設函數(shù)一般地，設函數(shù) 的定義域為的定義域為I，如果存，如果存在實數(shù)在實數(shù)M滿足：滿足：（1 1）對于）對于任意任意的的 , , 都有都有 ；（2 2）存在存在 ，使得，使得 .

8、. 那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù) 的的最大值最大值. .xIf(x)My=f(x)x0If(x0)= =My=f(x)最值最值：幾何意義：幾何意義：函數(shù)函數(shù) 的最大值是的最大值是圖象最高點的縱坐標圖象最高點的縱坐標. .y=f(x) 一般地，設函數(shù)一般地，設函數(shù) 的定義域為的定義域為I，如果存，如果存在實數(shù)在實數(shù)M滿足：滿足：（1 1）對于）對于任意任意的的 , , 都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù) 的的最小值最小值. .xIf(x)My=f(x)x0If(x0)= =My=f(x)最值最值：幾何意義：幾何意義：函數(shù)函數(shù) 的最小值是的最小

9、值是圖象最低點的縱坐標圖象最低點的縱坐標. .y=f(x)解：設解：設x x1 1，x x 2 2是區(qū)間是區(qū)間22，66上的任意兩個實數(shù)，且上的任意兩個實數(shù)，且x x1 1xx2 2，則，則f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) ) 2 2= = - -x x1 1-1-12 2x x2 2-1-12(x2(x2 2-1)-(x-1)-(x1 1-1)-1)(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)= =(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)2(x2(x2 2-x-x1 1) )= =例例1 1. .已知函數(shù)已知函數(shù)y= y= （x2x2，66），求函數(shù)），求函

10、數(shù)的最大值和最小值。的最大值和最小值。 2 2x-1x-12x2x2 2x0 ,0 , (x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0-1)0于是于是f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0，即：，即：f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )所以函數(shù)所以函數(shù)y= y= 在區(qū)間在區(qū)間22，66上是減函數(shù)。上是減函數(shù)。 2 2x-1x-1因此函數(shù)在因此函數(shù)在 時取得最大值，最大值是時取得最大值，最大值是 在在 時取得最小值，最小值是時取得最小值，最小值是 。x=2x=22 2x=x=6 60.40.4例題例題：基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)

11、函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù) aras=ar+s (a0,r,sQ)； (ar)s=ars (a0,r,sQ)； (ab)r=ar br (a0,b0,rQ).(5) ()(0,Z )nnnaabnbb 指數(shù)冪的運算._, 3133221aaaaaa，則已知7181230182,3+ -2327計算 logloglogaaaMNMN（）logloglogaaaMMNN(2)loglog()naaMnMnR(3)如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：有： log4 loglogcacNNa 5 loglogmnaanNNmloglog 10log1aaaNaaN對數(shù)的運算性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)與對

12、數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)y = ax ( a0 且且 a1 )y = log a x ( a0 且且 a1 )圖圖象象a 10 a 1a 10 a 1性性質(zhì)質(zhì)定義域定義域定義域定義域值域值域值域值域定點定點定點定點xy01xy011xyo1xyo在在R上是上是增增函數(shù)函數(shù)在在R上是上是減減函數(shù)函數(shù)在在上是上是增增函數(shù)函數(shù)在在上是上是減減函數(shù)函數(shù)RR(0,)(0,)(1, 0)(0, 1)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(1),(2),(3),(4), , ,1.xxxxyaybycyda b c d如圖是指數(shù)函數(shù)的圖象 則與 的大小關系是（ ）.1.cdbaDdcbaA1.cdab

13、B1.dbaC1 .B(1)(2)(3)(4)OXy總結：在第一象限，越靠近y軸，底數(shù)就越大指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)若圖象若圖象C1，C2，C3，C4對應對應 y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,則（則（ ） A.0ab1cd B.0ba1dc C.0dc1ba D.0cd1abxyC1C2C3C4o1D規(guī)律：在規(guī)律：在x軸軸上方圖象自左上方圖象自左向右底數(shù)越來向右底數(shù)越來越大！越大！log (21)log (5)aaxx 解不等式1( )lg1xf xx求的定義域和奇偶性 f92 34,1,2 ,xxxxx 知求f值域三、冪函數(shù)的性質(zhì)三、冪函數(shù)的

14、性質(zhì): :.所有的冪函數(shù)都所有的冪函數(shù)都通過點通過點(1,1(1,1);如果如果 0,0,則冪函數(shù)則冪函數(shù)在在(0,+)(0,+)上為減函數(shù)。上為減函數(shù)。 0,0,則冪函數(shù)則冪函數(shù) 在在(0,+)(0,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù); ;1012.2.當當為奇數(shù)時為奇數(shù)時, ,冪函數(shù)為奇函數(shù)冪函數(shù)為奇函數(shù), , 當當為偶數(shù)時為偶數(shù)時, ,冪函數(shù)為偶函數(shù)冪函數(shù)為偶函數(shù). .ayx解析式：(-,0)減減(-,0減減(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共點公共點(0,+)減減增增增增0,+)增增增增單調(diào)性單調(diào)性奇奇非奇非非奇非偶偶奇奇偶偶奇奇奇偶性奇偶性y|y00,+)R0,+)R值域值域x|x00,+)定義域定義域y=x-1y=x3y=x2 y=x 函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)21xy 為冪函數(shù)，則為冪函數(shù)，則f（x）=方程與零點方程與零點1 1、函數(shù)的零點的概念、函數(shù)的零點的概念的叫做函數(shù)的實數(shù)使得)(0)(xfyxxf零點零點結論：結論：有實數(shù)根方程0)(xf軸有交點的圖象與函數(shù)xxfy)(有零點函數(shù))(xfy 零點對于函數(shù)而言，根對于方程而言零點對于