學(xué)而思-小升初專項訓(xùn)練-工程篇-教師版(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上名校真題 測試卷7 （工程篇）時間：15分鐘 滿分5分 姓名_ 測試成績_1 （06年三帆中學(xué)考題）原計劃18個人植樹，按計劃工作了2小時后，有3個人被抽走了，于是剩下的人每小時比原計劃多種1棵樹，還是按期完成了任務(wù).原計劃每人每小時植_棵樹. 2 （05年首師附中考題）一項工程，甲做10天乙20天完成，甲15天乙12也能完成?，F(xiàn)乙先做4天，問甲還要多少天完成？ 3 （05年人大附中考題）一部書稿，甲單獨打字要14小時完成，乙單獨打字要20小時完成。如果先由甲打1小時，然后由乙接替甲打1小時，再由甲接替乙打1小時，兩人如此交替工作。那么，打完這部書稿時，甲、乙二人共用

2、了多少小時？ 4 （06年西城四中考題）如果用甲、乙、丙三那根水管同時在一個空水池里灌水，1小時可以灌滿；如果用甲、乙兩管，1小時20分鐘可以灌滿；如果用乙、丙兩根水管，1小時15分鐘可以灌滿，那么，用乙管單獨灌水的話，灌滿這一池的水需要 _小時。 5 (01年北大附中考題)一項工程，預(yù)計15個工人每天做4個小時，18天可以完成。為了趕工期，增加3人并且每天工作時間增加1小時，可以提前_天完工。 【附答案】1 【解】： 3人被抽走后，剩下15人都多植樹1棵，這樣每小時都總共多植樹15棵樹，因為還是按期完成任務(wù)，所以這15棵樹肯定是3人原來要種的，所以原來每人要植樹15÷3=5棵。2

3、【解】：甲10天+乙20天=1；甲15天+乙12天=1，所以工作量：甲10天+乙20天=甲15天+乙12天，等式兩端消去相等的工作量得：乙8天=甲5天，即乙工作8天的工作量讓甲去做只要5天就能完成，那么整個工程全讓甲做要15+12×=22.5天。現(xiàn)在乙了4天就相當(dāng)于甲做了4×=2.5天，所以甲還要做20天。3 【解】：甲的工作效率=，乙的工作效率= ，合作工效=，甲乙交替工作相當(dāng)于甲乙一起合作1小時，這樣1÷=8，所以合作了8小時，這樣還剩下就是甲做的，所以甲還要做÷=3，所以兩人總共作了8+8+小時。4 【解】：方法一：（編者推薦用法）甲、乙、丙60分

4、鐘可以灌滿，甲、乙兩管80分鐘可以灌滿，乙、丙兩根水管75分鐘可以灌滿；這樣我們先找出60、80、75的最小公倍數(shù)，即1200，所以我們假設(shè)水池總共有1200份，這樣甲、乙、丙每分鐘灌1200÷60=20份，甲、乙每分鐘灌1200÷80=15份，乙、丙每分鐘灌1200÷75=16份，所以乙每分鐘灌15+16-20=11份，這樣乙單獨灌水要1200÷11=分鐘。方法二：設(shè)工作效率求解，省略。5 【解】：假設(shè)每個工人每小時做一份，這樣總工程量=15×4×18=1080份，增加3人每天增加1小時，那么需要的時間=1080÷（15+

5、3）÷(4+1)=12天，所以提前6天完成。希望考入重點中學(xué)？奧數(shù)網(wǎng)是我們成就夢想的地方！第七講 小升初專項訓(xùn)練 工程篇一、小升初考試熱點及命題方向羅巴切夫斯基是俄國數(shù)學(xué)家。曾經(jīng)有一位承包商向他請教過一個工程問題：某項工程，若甲、乙單獨去做，甲比乙多用4天完成；若甲先做2天后，再和乙一起做，則共用7天可完成，問甲、乙兩人單獨做此工程各需多少天完成？答案：設(shè)甲、乙兩人每人完成該項工程的一半，以題意，甲、乙兩人單獨完成，甲比乙多用4天，所以每人單獨完成一半時，甲比乙多用2天。另外，已知甲先做2天，然后與乙合作，7天完成，這就是說，甲、乙共同完成全部工作時（每人做一半），相差剛好2天，那么

6、很明顯，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在5天中也完成了工程的一半。這樣，甲單獨完成要14天，乙單獨完成要10天。工程問題在歷屆考試中之所以難，是因為工程問題中比例和單位“1” 綜合。還有就是學(xué)生欠缺一些固定的條件的理解和轉(zhuǎn)化能力。二、2007年考點預(yù)測07年的這一題型必然將繼續(xù)出現(xiàn)，題型的出題熱點在利用通項表達(dá)式（即字母表示）總結(jié)出已知條件中等式的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系，這一類題型主要考察學(xué)生根據(jù)已有條件進(jìn)行歸納與猜想的能力，希望同學(xué)們多加練習(xí)。三、知識要點在工程問題中，一般要出現(xiàn)三個量：工作總量、工作時間（完成工作總量所需的時間）和工作效率（單位時間內(nèi)完成的工作量）。深刻理解公式的用法！ 【基

7、本公式】：這三個量之間有下述一些關(guān)系式： 工作效率×工作時間工作總量；工作總量÷工作時間工作效率；工作總量÷工作效率工作時間。為敘述方便，把這三個量簡稱工量、工時和工效?！疽?guī)律總結(jié)】：不要求記憶，但要求能夠理解和運用。（1）工效提高了a%,工作總量不變的前提下，工時則變?yōu)樵瓉淼?00/(100+a)。時間縮短了a/(100+a)。（2）工效降低了a%,工作總量不變的前提下，工時則變?yōu)樵瓉淼?00/(100-a)。時間延長了a/(100-a)。(3)工效提高了a/b, 工作總量不變的前提下，工時則變?yōu)樵瓉淼腶/(a+b)。時間縮短了b/(a+b)。(4)工效降低了a

8、/b,工作總量不變的前提下，工時則變?yōu)樵瓉淼腷 /（b-a）。時間延長了a/(b-a)。(5)當(dāng)出現(xiàn)甲工作了一段時間a，乙工作了一段時間b，則通常是把條件處理為甲乙和干了a（或b時間）后甲單干（a-b）（或乙單干（b-a）段時間）四、典型例題解析1 涉及二者的工程問題【例1】（）一項工程，甲單獨做6天完成，乙單獨做12天完成。現(xiàn)兩人合作，途中乙因病休息了幾天，這樣用了4.5天才完成任務(wù)。乙因病休息了幾天？【解】：方法一：4.5天甲完成了4.5÷6=3/4，乙完成了1/4，需要（1/4）÷（1/12）=3天，所以乙休息了4.5-3=1.5天。方法二：假設(shè)乙沒休息，這樣兩人4.

9、5天總共完成4.5×（）=，而總工作量只有1，所以多出來的就是乙休息時間里做的，所以乙休息了÷=1.5天?！敬稹浚阂倚菹⒘?.5天。【例2】（）有240個零件，平均分給甲、乙兩個車間加工。乙車間有緊急任務(wù)，因此在甲車間開始加工了4小時之后才開始加工這批零件，而且比甲車間晚40分鐘才完成任務(wù)。已知乙車間的效率是甲車間的3倍，那么甲車間每小時能加工多少個零件？【解】：40分鐘小時，乙車間一共比甲車間少用了小時，乙車間的效率是甲車間的3倍，乙比甲少工作43小時，但都完成了120個零件。如果乙和甲的時間是一樣的話，那么乙就會多完成240個零件，也就是說乙在3小時內(nèi)可做240個零件，

10、所以乙每小時完成的零件個數(shù)為240÷372個，甲每小時完成72÷324個零件?！敬稹浚杭酌啃r能加工24個零件。2 涉及三者的工程問題 【例3】（）一項工程，甲隊單獨做24天完成，乙隊單獨做30天完成?，F(xiàn)在甲、乙兩隊先合做8天，剩下的由丙隊單獨做了6天完成了此項工程。如果從開始就由丙隊單獨做，需要幾天？【解】：方法一：設(shè)工作總量為24，30120單位，則甲隊每天完成240÷24=5單位，乙隊每天完成240÷30=4單位。前8天，甲、乙兩隊共完成（54）×872單位，則丙6天完成1207248單位，丙每天完成48÷68單位。那么，如果從

11、開始就讓丙隊單獨做，需要120÷815天。方法二：甲工作效率為1/24，乙的工作效率為1/30，這樣甲乙合作8天完成的工作量為（1/24+1/30）×8=9/15，所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天，所以丙的工作效率為6/15÷6=1/15，所以丙要做15天?！敬稹浚喝绻麖拈_始讓丙隊獨做，需要15天。【例4】（）某工程由甲、乙兩個工程隊合作需要12天完成。甲工程隊工作3天后離開，同時乙、丙兩個工程隊加入，又工作了3天后，乙工程隊離開，此時剛好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程隊單獨完成，還需要幾天？【解】：可以看作是甲、乙、丙三個工程隊合作了3天，

12、干完了工程的一半。因為甲乙合作需要12天完成，所以甲乙兩隊合作3天共完成了全部工程的?？梢运愠霰?天完成的工作量是。則剩下的一半工程，丙隊需要獨做6天才能完成。【答】：還需要6天?！纠?】（）馬師傅和張師傅合伙加工一批零件，原計劃馬師傅每天比張師傅多加工8個零件，共用了15天完成。張師傅為了趕上馬師傅的效率，叫了一個徒弟從一開始就來幫忙，結(jié)果師徒倆每天反比馬師傅還多加工4個零件，這樣用了12天就完成了，那么馬師傅每天加工多少個零件？【解】：由題意知徒弟每天加工零件8412個。設(shè)工作總量為12，1560份，這樣原來張、馬二人的工效之和為60÷15=4份，現(xiàn)在加上張師傅的徒弟后三人的工

13、效之和為60÷12=5份，相差1份，表明1份為12個零件。原來兩位師傅每天一共加工零件12×448個，馬師傅又比張師傅每天多8個，則他每天加工（488）÷228個?！敬稹浚厚R師傅每天加工28個零件?！纠?】（）有甲、乙、丙三組工人，甲組4人的工作，乙組需要5人來完成；乙組的3人工作，丙組需要8人來完成。一項工作，需要甲組13人來完成，乙組15人3天來完成。如果讓丙組10人去做，需要多少天來完成？【解】：設(shè)甲組每人每天的工作量為1，則乙組每人每天的工作量為4/5，丙組每人每天的工作量為：4/5×3/8=3/10。這項工作的總工作量為：（1×13+

14、4/5×15）×3=75丙組10人需要干：75÷3/10÷10=25（天）。3 涉及多者的工程問題【例7】（）一項工程，45人可以若干天完成?，F(xiàn)在45人工作6天后，調(diào)走9人干其他工作。這樣，完成這項工程就比原來計劃多用了4天。原計劃完成這項工程用多少天？【解】：前6天的工作可看作是按原計劃進(jìn)行，設(shè)原計劃還需要天完成。剩余的工作按照45人進(jìn)行和實際的人進(jìn)行相差4天，表明36人最后4天的量相當(dāng)于調(diào)走的那9個人天的工作量。則為36×4÷916天。原計劃用16420天?！敬稹浚涸媱澯?0天完成。【例8】（）A、B、C、D、E五個人干一項工作

15、，若A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若四人干，需要8天完工；若A、E兩人一起干，需要12天完 工。那么，若E一人單獨干需要幾天完工？【解】：可設(shè)工作總量為6，8，1224單位，則A、B、C、D四人每天完成4單位，B、C、D、E四人完成3單位，表明A每天比E多做1單位；由題意又可知A、E兩人一天完成2單位，則A每天完成（21）÷21.5單位，E每天完成（21）÷20.5單位。那么，如果由E一人單獨做需要24÷0.548天?！敬稹浚喝绻蒃一人單獨做需要48天。【例9】（）某工程如果由第一、二、三小隊合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小隊合干需要7天完成

16、；如果由第二、四、五小隊合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小隊合干需要42天都能完成。那么這五個小隊一起合作需要多少天才能完成這項工程？【思路】：我們注意到，在題目中二、四、五每支隊都恰出現(xiàn)兩次，一、三兩支小隊恰出現(xiàn)三次，因此題目中四種方式的效率總和為5個小隊效率和的2倍再加上一、三兩支小隊的效率和因此，再加上一個二、四、五3支小隊效率和，得到的結(jié)果就應(yīng)該是5個小隊效率的3倍【解】：通過條件，我們有以下公式： （一二三四五）×3=(一二三)+(一三五)+(二四五)×2+(一三四) 所以，5支小隊效率和為： 4 水箱注水的工程問題【例10】（）水池安裝A、B、C、D、E

17、五根水管，有的專門放水，有的專門進(jìn)水。如果每次用兩根水管同時工作，注滿一池水所用時間如下表所示： A，BC，DE，AD，EB，C2610315如果選用一根水管注水，要盡快把空池注滿，問應(yīng)選用哪根水管？答：D。提示：由題中的表可以看出注水的速度的大小。比較第一列與第三列得BE，比較第一列與第五列得AC，比較第二列與第五列得DB，比較第二列與第四列得EC，比較第三列與第四列得DA?！纠?1】（）有甲、乙兩根水管，分別同時給兩個大小相同的水池A和B注水，在相同時間內(nèi)甲、乙兩管注水量之比7：5。經(jīng)過時，A、B 兩池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25，乙管的注水速度降低 30。當(dāng)甲

18、管注滿A池時，乙管還需多長時間注滿B池？【解】：因為相同時間內(nèi)甲、乙兩管注水量之比7：5不變，所以經(jīng)過恰好是一池水時，甲乙水管分別注入一池水的、。如果注水速度不變，那么注滿一池水甲、乙管分別還需注水速度變化后，注滿一池水甲、乙水管分別還需所以，當(dāng)甲水管注滿A池時，乙水管注滿B池還需5 較復(fù)雜的工程問題【例12】（）一項工程，乙單獨做需要17天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，這校交替輪流做，那么比上次輪流的做法要多半天才能完成。甲單獨做這項工作要多少天完成？來源：人大附測試題【解】：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不論甲先還是

19、乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同?，F(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，說明甲先時，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)。于是可表示為：豎線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做一天等于甲做半天，乙做17天相當(dāng)于甲做8.5天?！纠?3】（）有甲乙兩個工程，現(xiàn)分別由A、B兩個施工隊完成。在晴天A隊完成工程需要8天，B隊完成工程需要12天，在雨天，A施工隊的工作效率下降60，B施工隊的工作效率下降20。最后兩個施工隊同時完成這兩項工程，問施工的日子里雨天有多少天？【解】：10天。晴天時，A施工隊比B的工作效率高：1/81/12=1/24雨天時，B施工隊比A的工作效率高：1/12（120）1/8（160）=1/

20、60要想兩隊同時完成，則由1/24：1/60=5/2可知，必須是每2個晴天有5個雨天，而此時完成工程的：1/8×2+1/8×0.4×5=1/2，故整個工程共有4個晴天，10個雨天?！窘處熯x講】：有一個蓄水池裝有9根水管，其中一根為進(jìn)水管，其余8根為相同的出水管。進(jìn)水管以均勻的速度不停地向這個蓄水池注水。后來有人打開出水管，使池內(nèi)的水全部排光（這時池內(nèi)已經(jīng)注入了一些水）。如果把8根進(jìn)水管全部打開，需要3小時把池內(nèi)的水全部排出；如果僅打開5根出水管，需要6小時把池內(nèi)的水全部排光。問要想在4.5小時內(nèi)把池內(nèi)的水全部排出，需要同時打開幾根出水管？【解】：這道題是“牛吃草”

21、問題與工程問題的綜合。設(shè)每根出水管1小時的排水量為單位“1”。8根出水管3小時共排水24單位，5根出水管6小時共排除水30小時，表明進(jìn)水管633小時進(jìn)水30246單位，則進(jìn)水速度為每小時2單位，池中原有水242×318或302×618單位。如果要在4.5小時內(nèi)將水全部排出，池中原有的水加上這段時間內(nèi)進(jìn)水管注入的水一共為182×4.527單位，每小時排水27÷4.56單位，則需要同時打開6根出水管?！就卣埂俊芭３圆荨眴栴}例題選講：有一片牧場，草每天勻速生長，如果牧民在此放24只羊，則6天吃完草；如果放牧21只羊，則8天吃完，每天吃草的量都是相等的問：1、如

22、果放牧16只羊，則幾天可以吃完牧草？ 2、要是牧草永遠(yuǎn)吃不完，最多放幾只羊？【解】：1、設(shè)草每天吃1份。24只羊，則6天吃完草,說明6天長的草+原來的草共24×6=144; 21只羊，8天吃完,說明8天長的草+原來的草共21×8=168份; 所以兩天長的草168-144=24份，即每天長12份,這樣原來草為144-6×12=72份，那么草地每天長的草夠12頭羊吃一天.如果放16頭羊，那么12頭夠吃長出來的草，還剩下4頭吃原來的72份，這樣可以吃18天。 2、若要牧草永遠(yuǎn)吃不完,羊只能吃新長的草,所以最多只能放12頭羊.補充試題：一塊1500平方米的牧場上長滿牧草，

23、每天都勻速生長?？晒?8頭牛吃16天，或是供27頭牛吃8天。如果這片牧場有6000平方米，6天中最多可供幾頭牛吃？【解】：設(shè)每天吃1份，這樣18頭牛吃16天共18×16=288份，供27頭牛吃8天共216份，多出來288-216=72份就是8天多長出來的，所以每天草長9份，這樣原來草總共是288-9×16=144份，現(xiàn)在牧場有6000平方米，所以是原來的4倍，所以現(xiàn)在草有144×4=576，每天長36份，這樣每天新長的草要36頭牛吃，而原來的草要吃6天，要576÷6=96頭牛，所以總共要132頭牛?！菊n外知識】牛吃草問題由于打字員的辭職，一個公司積壓下一

24、批需要打印的材料，而且每天還要新增加固定數(shù)量需要打印的材料。假設(shè)材料以頁計數(shù)，每個打字員的打字速度是相同的、固定的（單位是負(fù)天）。如果公司聘任5名打字員，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字員，12天就恰好打完所有材料。公司聘任了苦干名打字員，工作8天之后，由于業(yè)務(wù)減少，每大新增的需要打印的材料少了一半，結(jié)果這些打字員共用40天才恰好完成打字工作。問：公司聘任了多少名打字員？【分析】解這類型題的關(guān)鍵需要了解打印材料的有關(guān)情況：積壓下的材料數(shù)量和每天增加的材料數(shù)量。其解法和解決牛吃草問題類似。【解】設(shè)每個打字員1天打字為1，則5名打字員24天打了5×24120，9名打字員12

25、天打了 9×12108。材料每天增加（120108）÷（2412）l。原有材料12024×196。40天實際材料總量961×8（408）×1÷2120。打字員人數(shù)120÷403（人）。答：公司聘任了3名打字員?！驹u注】本例把聘任制問題遷移到牛吃草問題中，這種簡便新穎的解法令人拍案叫絕！小結(jié)本講主要接觸到以下幾種典型題型：1）涉及二者的工程問題 參見例1，22）涉及三者的工程問題 參見例3，4，5，63）涉及多者的工程問題 參見例7，8，94）水箱注水的工程問題 參見例10，115）較為復(fù)雜的工程問題 參見例12，13，作業(yè)題

26、 （注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考）題1，4，6，7類型1；題2類型4；題3，5類型5，題8類型21、（）某工程限期完成，甲隊單獨做正好按期完成，乙隊單獨做誤期3天才能完成，現(xiàn)在兩隊合作2天后，余下的工程再由乙隊獨做，也正好按期完成。那么該工程限期是多少天？【解】：6天。由題可知，甲2天的工作量相當(dāng)于乙3天的 工作量，所以工程期限為：2×（3÷（32）=2×3=6天。2（）某水池有甲、乙、丙3個放水管，每小時甲能放水100升，乙能放水125升?，F(xiàn)在先使用甲放水，2小時后，又開始使用乙管，一段時間后再開丙管，讓甲、乙、丙3管同時放水，直到把水放完。計算甲、乙、丙

27、管的放水量，發(fā)現(xiàn)它們恰好相等。那么水池中原有多少水？【解】：甲開始2小時放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小時比甲管多放25升水，所以乙管放水的時間為200÷258小時，放水量為125×81000升。因此池中原有水3000升。3（）張師傅加工540個零件。他前一半時間每分生產(chǎn)8個，后一半時間每分生產(chǎn)12個，正好完成任務(wù)。當(dāng)他完成任務(wù)的45時，恰好是上午9點。張師傅開始工作的時間是幾點幾分幾秒？【解】：平均每分加工（812）÷210（件），加工540件共需54分。由題意知，前27分加工了8×27216（件），540件的45是243件，24321627（件），這27件是以每分12件的速度加工的，所用時間為27÷12=（分）。到9點時加工所用的時間為27+=（分）=