2622向量的減法運(yùn)算

1、6 2.2向量的減法運(yùn)算考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)相反向量理解相反向量的概念數(shù)學(xué)抽象向量的減法掌握向量減法的運(yùn)算法則及其幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 P11 P12 的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1 a 的相反向量是什么？2向量減法的幾何意義是什么？1 相反向量(1)定義 ：與 a 長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，記作a，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量(2)結(jié)論 ( a) a， a ( a) ( a) a 0；如果 a 與 b 互為相反向量，那么a b， b a，a b 0 名師點(diǎn)撥相反向量與相等向量一樣，從“ 長(zhǎng)度 ”和 “ 方向 ” 兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行向量

2、2 向量的減法(1)向量 a 加上 b 的相反向量，叫做a 與 b 的差，即a b a (b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法(2)作法 ：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 OAa， OB b，則向量 BA ab，如圖所示(3)幾何意義： a b 可以表示為從向量b 的終點(diǎn)指向向量a 的終點(diǎn)的向量 名師點(diǎn)撥(1)減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量(2) 在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“ 連接向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量” 即可(3)對(duì)于任意兩個(gè)向量a， b，都有 |a| |b| |a b| |a| |b|.判斷 ( 正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)相等向量之差等于0.()(

3、2)兩個(gè)相反向量之差等于0.()(3)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量()(4)向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算()答案： (1)(2) ×(3) (4)在平行四邊形ABCD 中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是() A.ABDC 0B.AD BA AC C.AB AD BDD.AD CB 0答案： C設(shè) b 是 a 的相反向量，則下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是()A a 與 b 的長(zhǎng)度相等B a bCa 與 b 一定不相等D a 是 b 的相反向量答案： C在平行四邊形ABCD 中，向量 AB 的相反向量為 _答案： BA， CD向量的減法運(yùn)算化簡(jiǎn)下列各式：(1)(AB MB) ( OB MO )；(2)ABA

4、D DC .【解】(1)法一： 原式 AB MB OB AB MBBO OM (AB BO) (OM) AO.法二： 原式 AB MB BO OM AB (MB BO) OM AB MO OM AB0 AB.(2)法一： 原式 DB DCCB .法二： 原式 AB (AD DC ) AB AC CB.向量減法運(yùn)算的常用方法1下列四個(gè)式子中可以化簡(jiǎn)為的是()AB AC CD BD ； AC CB； OAOB ； OB OA.A BCD C， D；解析： 選 A.因?yàn)?AC CD BD AD BD AD DB AB，所以 正確，排除因?yàn)?OB OA AB，所以 正確，排除B.故選 A.2化簡(jiǎn)下列向

5、量表達(dá)式：(1)OM ON MP NA； (2)(AD BM) (BC MC )解： (1)OM ON MP NANM MP NA NP NA AP.(2)(AD BM) (BC MC ) AD MB BC CM AD (MB BC CM)AD 0 AD .向量的減法及其幾何意義如圖，已知向量a， b， c 不共線，求作向量a b c.【解】法一： 如圖 ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn) O，作 OA a，OB b， OCc，連接 BC，則 CB bc.過(guò)點(diǎn) A 作 AD 綊 BC，連接 OD，則 AD bc，所以 OD OA AD ab c.法二： 如圖 ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 OA a， AB b，連

6、接 OB ，則 OB a b，再作 OCc，連接 CB，則 CB ab c.法三： 如圖 ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 OA a，AB b，連接 OB，則 OB ab，再作 CB c，連接 OC，則 OC a b c.求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如ab，可以先作b，然后作 a ( b)即可(2) 可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量如圖，已知向量a， b， c，求作向量a b c.解：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量 OA a，OB b，則向量 BA a b，再作向量 BC c，則向量 CA ab

7、 c.用已知向量表示其他向量如圖所示，四邊形ACDE 是平行四邊形，點(diǎn)B 是該平行四邊形外一點(diǎn)，且AB a， AC b， AE c，試用向量a， b， c 表示向量 CD ，BC ，BD .【解】因?yàn)樗倪呅蜛CDE 是平行四邊形，所以 CD AEc， BC AC AB b a，故 BD BC CD b a c.用已知向量表示其他向量的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1) 搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三個(gè)向量之間的關(guān)系，確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道(2) 注意綜合應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結(jié)合律、交換律來(lái)分析解決問(wèn)題(3)注意在封閉圖形中利用向量加法的多邊形法則例

8、如，在四邊形ABCD 中， AB BC CDDA 0.1如圖， O 為平行四邊形ABCD 內(nèi)一點(diǎn)， OA a，OB b，OC c，則 OD _解析： 因?yàn)?BACD， BA OA OB，CD OD OC，所以 OD OC OA OB，OD OAOB OC，所以 OD a bc.答案： a b c2已知 O 是平行四邊形ABCD 的對(duì)角線AC 與 BD 的交點(diǎn)，若 AB a，BC b， OD c.試證明： a b c OB.證明： 如圖， a c AB OD DC OD OC，OB b OBBC OC，所以 a c OB b，即 ab c OB.)1在 ABC 中， D 是 BC 邊上的一點(diǎn)，則

9、 AD AC等于 (A. CBB.BCC.CDD.DC解析：選 C.在 ABC 中，D 是 BC 邊上一點(diǎn)， 則由兩個(gè)向量的減法的幾何意義可得AD AC CD.2化簡(jiǎn)： AB AC BD CDAD _ 解析： 原式 CB BDDC AD CD DC AD0 AD AD.答案： AD3已知| 10， |AC| 7，則 |CB|的取值范圍為 _AB解析 ：因?yàn)?CB AB AC，所以 |CB| |AB AC|.又 |AB | |AC|AB AC| |AB| |AC|，3 |AB AC| 17，所以 3 |CB| 17.答案 ： 3，174若 O 是 ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|OB OC| |

10、OB OA OC OA|，試判斷ABC 的形狀解： 因?yàn)?OB OA OCOA AB AC， OB OC CB AB AC. 又 |OB OC| |OB OAOC OA|，所以 |AB AC| |AB AC|，所以以 AB，AC 為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等，所以該平行四邊形為矩形，所以AB AC，所以 ABC 是直角三角形A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1在三角形ABC 中， BA a， CA b，則 CB ()A a bB b aCa bD ab解析： 選 B.CB CA ABCA(BA) b a.2若 O， E， F 是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()A.EFOF OEB.EFOF O

11、EC.EF OF OED.EF OF OE解析： 選 B.EF EO OF OF OE EOFO OE FO .故選 B.3如圖，在四邊形ABCD 中，設(shè) AB a， AD b，BC c，則 DC ()A a b cB b (a c)Ca b cD b a c 解析： 選 A. DC DA AB BC a b c.4給出下列各式： AB CA BC； AB CD BDAC； AD OD AO； NQMP QP MN.對(duì)這些式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，則其化簡(jiǎn)結(jié)果為0 的式子的個(gè)數(shù)是 ()A 4B 3C2D 1解析： 選 A. AB CA BC AC CA 0； AB CD BD ACAB BD (AC CD

12、) AD AD 0； AD OD AO AD DO OA AO OA 0； NQMP QP MN NQ QP MN MP NP PN 0.5對(duì)于菱形 ABCD ，給出下列各式： AB BC； |AB| |BC|； |AB CD | |AD BC|； |AD CD| |CD CB|.其中正確的個(gè)數(shù)為 ()A 1B 2C3D 4解析： 選 C. 由菱形的圖形，可知向量AB與 BC的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以 正確，錯(cuò)誤；因?yàn)?|AB CD| |AB DC| 2|AB|， |AD BC| 2|BC|，且 |AB| |BC|，所以 |ABCD | |AD BC|，即 正確；因?yàn)閨ADCD|

13、BC CD| |BD |， |CD CB| |CD 3，故選 C.BC| |BD |，所以 正確綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為6若 a， b 為相反向量，且 |a| 1， |b| 1，則 |a b| _， |a b| _解析： 若 a，b 為相反向量，則a b 0，所以 |a b| 0，又 a b，所以 |a| | b| 1，因?yàn)?a 與 b 共線，所以 |a b|2.答案：0 27已知 ?ABCD 的對(duì)角線AC 和 BD 相交于 O，且 OA a，OB b，則 DC _，BC _ (用 a， b 表示 )解析： 如圖， DC AB OB OA b a，BC OC OB OAOB a b.答案： b

14、aa b8給出下列命題：若 ODOEOM，則 OMOEOD ；若 OD OE OM，則 OM DO OE；若 OD OE OM，則 OD EO OM若 OD OE OM，則 DO EOMO .其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)解析： 因?yàn)?OD OE OM，所以 OD OM OE，正確；因?yàn)?OM OD OE，所以 OM DO OE，正確；因?yàn)?OE EO，所以 OD EOOM ，正確； 因?yàn)?OM OD OE，所以 MO DO EO，正確答案： 9.如圖，已知 OA a， OB b，OC c，OD d，OF f ，試用 a，b，c，d， f 表示以下向量：(1)AC； (2)AD；(3)AD AB；(4

15、) AB CF ；(5)BFBD .解： (1)AC OC OAc a.(2)AD AO OD OD OA d a.(3)AD ABBD OD OBd b.(4)ABCF OB OA OF OC b a f c.(5)BFBD OF OB (OD OB) OFOD f d.10如圖所示， ?ABCD 中， AB a，AD b.(1)用 a， b 表示 AC， DB；(2)當(dāng) a， b 滿足什么條件時(shí)，ab 與 a b 所在直線互相垂直？ 解： (1)AC AD AB b a， DB AB AD ab.(2)由 (1) 知 a bAC，a b DB .因?yàn)?a b 與 a b 所在直線垂直，所以

16、 AC BD .又因?yàn)樗倪呅蜛BCD 為平行四邊形，所以四邊形 ABCD 為菱形，所以 |a| |b|.所以當(dāng) |a| |b|時(shí)， a b 與 a b 所在直線互相垂直B能力提升 11給出下面四個(gè)結(jié)論：若線段 AC AB BC，則向量 AC AB BC；若向量 AC AB BC，則線段 AC AB BC；AC AB BC；若向量 AB與 BC共線，則線段若向量 AB與 BC反向共線，則|AB BC| AB BC.其中正確的結(jié)論有 _ 解析： 由 AC AB BC 得點(diǎn) B 在線段 AC 上，則 AC ABBC，正確三角形內(nèi) AC AB BC，但 ACAB BC，錯(cuò)誤 AB， BC反向共線時(shí)，

17、|AC| |AB BC|AB| |BC |，也即 AC AB BC，錯(cuò)誤 AB， BC反向共線時(shí)， |AB BC| |AB ( BC)| ABBC ，正確答案： 12已知 |OA| a，|OB| b(a>b)，|AB|的取值范圍是5，15，則 a，b 的值分別為 _解析 ：因?yàn)?ab |OA| |OB| |OA OB| |AB| |OA| |OB| a b，a b15，a 10，所以解得a b5，b5.答案 ：10 513在 ABC 中， |AB | |BC| |CA| 1，則 |ABBC| _解析： 如圖，在 ABD 中，AB BD 1，ABD 120°，AB BC AB CBABBDAD.易求得AD 3，即 |AD| 3.所以 |AB BC| 3.答案：314如圖所示，點(diǎn) O 是四邊形 ABCD 內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a， b，c，d 的方向 (用箭頭表示 )，使 a bBA， c d DC，并畫(huà)出 bc 和 a d.解：因?yàn)?a b BA，c dDC，所以 a OA，bBO， c OC，dOD .如圖所示，作平行四邊形OBEC ，平行四邊形ODF A.根據(jù)平行四邊形法則可得，b c EO， a dOF.C 拓展探究 15已知 ABC 是等