2022年函數(shù)的單調(diào)性-知識點(diǎn)與題型歸納

1、名師總結(jié)精品知識點(diǎn)1. 單調(diào)函數(shù)的定義2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù) f(x)在區(qū)間 d 上是增函數(shù)或減函數(shù) ，則稱函數(shù) f(x)在這一區(qū)間上具有 (嚴(yán)格的 )單調(diào)性， 區(qū)間 d 叫做 f(x)的單調(diào)區(qū)間 .注意：關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)注意哪些問題？(1)定義中 x1，x2具有任意性 ，不能是規(guī)定的特定值(2)函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集；(3)定義的兩種變式 ：設(shè)任意 x1，x2a，b且 x10? f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)0? f(x)在a，b上是減函數(shù)單調(diào)區(qū)間的表示注意哪些問題？單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分

2、別寫，不能用并集符號“ ” 聯(lián)結(jié)，也不能用 “ 或” 聯(lián)結(jié)知識點(diǎn)二單調(diào)性的 證明 方法： 定義法及導(dǎo)數(shù)法(1) 定義法 : 利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：任取 x1、x2d，且 x10，則f(x)在區(qū)間 d 內(nèi)為增函數(shù)；如果f (x)0，則1fx為減(增)函數(shù)，fx 為增 (減)函數(shù)3互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性4yfg(x)是定義在 m 上的函數(shù)，若 f(x)與 g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù) fg(x)為增函數(shù)；若 f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù) fg(x)為減函數(shù)簡稱” 同增異減 ”5. 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩

3、個區(qū)間上的單調(diào)性相反二、例題分析：（一)函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)判斷下列說法是否正確(1)函數(shù) f(x)2x1 在( ，) 上是增函數(shù) () (2)函數(shù) f(x)1x在其定義域上是減函數(shù)() (3)已知 f(x)x，g(x)2x，則 yf(x)g(x)在定義域上是增函數(shù) () 答案： 例 1. (2014 北京卷 )下列函數(shù)中，在區(qū)間 (0，) 上為增函數(shù)的是() ayx1 by(x1)2cy2xdylog0.5(x1) 答案： a

4、. 例 2. 判斷函數(shù) f(x)axx1在(1，) 上的單調(diào)性，并證明法一：定義法設(shè) 1x1x2，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)則 f(x1)f(x2)ax1x11ax2x21ax1x2ax2x1x1x2ax1x2x1x2 1x1x2，x1x20，x210. 當(dāng) a0 時，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函數(shù) yf(x)在(1，) 上單調(diào)遞增同理當(dāng) a0，即 f(x1)f(x2)，函數(shù) yf(x)在(1，) 上單調(diào)遞減法二：導(dǎo)數(shù)法1.判斷函數(shù)

5、的單調(diào)性應(yīng)先求定義域；2.用定義法判斷 (或證明 )函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：取值作差變形判號定論，其中變形為關(guān)鍵，而變形的方法有因式分解、 配方法等；3.用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡單快捷，應(yīng)引起足夠的重視（二）求復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間例 1 求函數(shù) yx|1x|的單調(diào)增區(qū)間精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)yx|1x|1，x1 ，2x1，x0.則 x3. 函數(shù) ylog13(x24x3)的定義域?yàn)? ，1)(3，) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

6、 - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)又 ux24x3 的圖象的對稱軸為x2，且開口向上，ux24x3 在( ，1)上是減函數(shù)，在(3，) 上是增函數(shù)而函數(shù) ylog13u 在(0，) 上是減函數(shù)，ylog13(x24x3)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (3，) ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ，1)注意：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義(3)圖象法：如果 f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直

7、觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 2.（2）( 補(bǔ)充 )21122log4logyxx答案：增區(qū)間：1,4；減區(qū)間：10,4精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)練習(xí):222loglogyxx答案：增區(qū)間：2,；減區(qū)間：0, 2（三）利用單調(diào)性解（證）不等式及比較大小已知函數(shù) f(x)log2x11x，若 x1(1,2)，x2(2，) ，則() af(x1)0，f(x2)0 bf(x1)0 cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0

8、 【規(guī)范解答】函數(shù) f(x)log2x11x在(1，) 上為增函數(shù)，且 f(2)0，當(dāng) x1(1,2)時，f(x1)f(2)0，即 f(x1)0. 例 1. （2）已知函數(shù) f(x)x24x3，x0 ，x22x3，x0，則不等式f(a24)f(3a)的解集為 () 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)a(2,6) b(1,4) c(1,4) d(3,5) 【規(guī)范解答】 作出函數(shù) f(x)的圖象，如圖所示，則函數(shù)f(x)在 r 上是單調(diào)遞減的由f(a24)f(3a)，

9、可得 a243a，整理得 a23a40，即(a1)(a4)0，解得 1a4，所以不等式的解集為 (1,4)注意: 本例分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以并!（四）已知單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例 1. 已知函數(shù)2,211,22xax xfxx滿足對任意的實(shí)數(shù) x1 x2，都有1212()()0f xf xxx成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 () a( ，2) b. ，138c( ，2 d.138，2精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)【規(guī)范解答】 函數(shù) f(x)是 r 上的減函

10、數(shù)，于是有a20，a1221，由此解得 a138，即實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ，138. 例 2.(1)（補(bǔ)充） 如果函數(shù) f(x)ax22x3 在區(qū)間( ，4)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 _答案14，0 解析(1)當(dāng) a0 時，f(x)2x3，在定義域 r 上單調(diào)遞增，故在 ( ，4)上單調(diào)遞增；(2)當(dāng) a0 時，二次函數(shù) f(x)的對稱軸為直線x1a，因?yàn)?f(x)在( ，4)上單調(diào)遞增，所以 a0，且1a4 ，解精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)得

11、14 a0，則由 f (x)0 得 x 2a，當(dāng) x2a時，f (x)0， f(x)單調(diào)增，當(dāng)2ax2a時，f(x)單調(diào)減，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 (2a，2a)，從而2a2，a2. 變式： 若 f(x)x36ax 在區(qū)間 (2,2)單調(diào)遞減，則 a 的取值范圍是？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)點(diǎn)評 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (2,2) 和 f(x)在(2，2)上單調(diào)遞減是不同的， 應(yīng)加以區(qū)分本例亦可用 x 2 是方程 f (x)3x26a0 的兩根解得 a

12、2. 例 2.(3) （補(bǔ)充）若函數(shù))2, 3()(log)(321在axxxf上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）a9，12 b4，12 c4，27 d9，27 答案： a 溫故知新 p23 第 9 題若函數(shù)212log3fxxaxa在區(qū)間2,上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是8、設(shè)函數(shù)12axfxxa在區(qū)間2,上是增函數(shù) , 那么a的取值范圍是精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)答案: 1,10、設(shè)函數(shù)xfxxaxa（2）若0a且fx在區(qū)間1,內(nèi)單調(diào)遞減 , 求

13、a的取值范圍 . 答案: 1,（五）抽象函數(shù)的單調(diào)性例 1.（補(bǔ)充） 已知 f(x)為 r 上的減函數(shù)，那么滿足f(|1x|)f(1)的實(shí)數(shù) x 的取值范圍是 ( )a(1,1) b(0,1) c(1,0)(0,1) d(， 1)(1， ) 答案： c 解析：因?yàn)?f(x)為減函數(shù)，f(|1x|)1， 則|x|1且 x0 ，即 x(1,0)(0,1)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)精品知識點(diǎn)練習(xí)：()yfx是定義在1,1上的增函數(shù)，解不等式2(1)(1)fxfx答案：0,1注意：解抽象函數(shù)的不等式通常立足單調(diào)性定義或借助圖像求解例 2.函數(shù)( )fx的定義域?yàn)?,，且對一切0,0 xy都有()( )xff xfyy，當(dāng)1x時，有( )0fx。（1） 求(1)f的值；（2） 判斷( )fx的單調(diào)性并加以證明；（3） 若(4)2f，求( )fx在1,16上的值域 .答案: 單調(diào)增 ;0,4注意： 有關(guān)抽象函數(shù)單調(diào)性的證明通常立足定義精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 15 頁 - -