【開題報告】凸函數(shù)的開題報告

1、凸函數(shù)的開題報告一、文獻綜述凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen1905著述中。它在純 粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策 論、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、變分學(xué)和最優(yōu)控制等學(xué)科的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理論 上的突破，加強它們在實踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。凸函數(shù)有許多良好的性質(zhì)，例如，其中一個很重要的性質(zhì)就是：在凸集 中，凸函數(shù)的任何局部最小也是全局最小。它在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中都有著廣泛 的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、變分學(xué)和最優(yōu)控制等學(xué)科 的理論基礎(chǔ)和有力工具。但是凸函數(shù)的局限性也很明顯，因為在實際問題中，大量的函數(shù)都是非凸 的。為了理論上

2、的突破，加強它們在實踐中的應(yīng)用，20xx年代中期產(chǎn)生了凸分 析，凸函數(shù)的概念也按多種途徑進行推廣，或?qū)τ诔橄罂臻g的推廣，或?qū)τ谏?面提到的不等式的推廣，然后提出了廣義凸函數(shù)的概念。20xx年代后期，先是 有Mangasarian把凸函數(shù)的概念推廣到擬凸函數(shù)(quasi-convexfunctions)和偽凸函 數(shù)(pseudo-convexfunctions)。我們知道，在數(shù)學(xué)規(guī)劃的理論及算法中，函數(shù)的凸 性只是一個充分條件，而不是必要條件。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更 廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)仍然得以保留，凸規(guī)則的大多數(shù)結(jié) 果能推廣到非凸規(guī)則，己構(gòu)成了數(shù)學(xué)規(guī)劃研究領(lǐng)域的當(dāng)前

3、趨勢之一，所以研究 廣義凸函數(shù)的一些定義和性質(zhì)就顯得十分必要了。擬凸函數(shù)(quasi-convexfunctions)是一類非常重要的廣義凸函數(shù),己有大量 文獻對此作了研究，擬凸函數(shù)可以定義為：如果對任意及任意的，有，則稱 為上的擬凸函數(shù)。先是楊新民教授給出了擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)及強擬凸 函數(shù)的性質(zhì)，討論了他們之間的關(guān)系，得到了某些有意義的結(jié)論。擬凸函數(shù)的 定義具有多種形式且相互之間有等價關(guān)系。同時又有許多專家研究擬凸函數(shù)的 上半連續(xù)性和下半連續(xù)性。偽凸函數(shù)(pseudo-convexfunctions)是另一類重要的 廣義凸函數(shù)，其中強偽凸函數(shù)和嚴格偽凸函數(shù)尤其被數(shù)學(xué)工作者所研究o強偽 凸

4、函數(shù)恰好是二次函數(shù)的嚴格偽凸性的推廣，所有關(guān)于二次函數(shù)嚴格偽凸的特 征同樣也是二次函數(shù)強偽凸的特征。二、立題背景及意義凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen1905著述中。它在純 粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策 論、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、變分學(xué)和最優(yōu)控制等學(xué)科的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理論 上的突破，加強它們在實踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。本文主要是研究幾 類凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用。探討擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)及強擬凸函數(shù)的定義、 性質(zhì)以及這三類函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換的充分必要條件，也討論擬凸函數(shù)的連續(xù)性 和可微性。同時也對強偽凸函數(shù)性質(zhì)進行研究，得到一些有意義的

5、結(jié)論。凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，但是 它的局限性也很明顯。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍 內(nèi)，凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)仍然得以保留，所以研究廣義凸函數(shù)的一些定義和 性質(zhì)就顯得十分必要了。三、研究內(nèi)容與研究方法研究內(nèi)容：一是對研究的背景和意義進行分析論述，二是對凸函數(shù)的定義 及其相互關(guān)系分析論述，三是對凸函數(shù)的性質(zhì)分析，四是對凸函數(shù)的應(yīng)用分 析。i/i研究的方法：主要是運用了文獻綜述的理論論述和定量分析的方法，具體 步驟為：1 .查閱有關(guān)凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的書籍和文獻資料，結(jié)合教學(xué)實習(xí)了解中學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué)中教師對凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用及效果情況，對其過程、

6、環(huán)節(jié)和情況做 出分析。2 .寫出開題報告，指出現(xiàn)今文獻中對凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的探討研究情況， 分析文獻資料，并基于文獻提出有關(guān)值得探討和挖掘的問題，列出論文提綱。3 .在論文寫作過程中注意理論與實踐相聯(lián)系，解決提出的問題，尋求恰當(dāng)切 入點，進行論述，并提出自己的論點和相關(guān)的改革建議。4 .參加論文答辯四、預(yù)期結(jié)果（預(yù)期達到的技術(shù)性能指標及提供的成果形式）本文研究幾類廣義凸函數(shù)的定義和性質(zhì)。探討擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)及 強擬凸函數(shù)的定義、性質(zhì)以及這三類函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換的充分必要條件，也討 論擬凸函數(shù)的連續(xù)性和可微性。同時也對強偽凸函數(shù)性質(zhì)進行研究，得到一些 有意義的結(jié)論。五、參考文獻列表1. 劉

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