由中點(diǎn)想到的輔助線學(xué)生

1、由中點(diǎn)想到的輔助線一、 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。如果是等腰三角形腰上的中點(diǎn)為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造了條件二、 熟悉下列基本圖形三、類型講解（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，則SABD=SACD=SABC（因?yàn)锳BD與ACD是等底同高的）。例1如圖2，ABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中

2、線。已知ABC的面積為2，求：CDF的面積。ABCGFED例2.如圖，矩形ABCD中，AB=a, AD=b. 點(diǎn)E、F分別是BC、CD邊上的中點(diǎn)，BF、DE交于點(diǎn)G。求四邊形ABGD的面積（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線（出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)或暗含多個(gè)中點(diǎn)）BADCEFGH例3如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：BGE=CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段或延長(zhǎng)加倍經(jīng)過中點(diǎn)的線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。遇到兩平行線所截

3、得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形，實(shí)際上是中心對(duì)稱。例4、如圖6所示，已知梯形ABCD，ADBC，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE 、 BE。 求證：SABE=S四邊形ABCD。例5圖4，已知ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。例6如圖5，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。例7、如圖，RtABC中，A=90°,E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，求證BE2+CF2EF2.ABCDEF例8如圖，在菱形ABCD中，ABC120°，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則

4、直線BF與DE所夾的銳角的度數(shù)為（ ）DFMECBA（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例9如圖6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。例10如圖，在ABC中，BDAC于D，CEAB于E，點(diǎn)M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)，（1）求證：MNDEABDCCEMN（2）連ME、MD，若A60°，試判定MED的形狀例11FBCEMOA三角形ABC中,AB=BC,ABC=90°,點(diǎn)E、F分別在AB、AC上,且AE=EF,點(diǎn)O、M分別為AF、CE的中點(diǎn).求證OM=CE求證OMB=90°若CE=2，求OB的長(zhǎng)例12（常州市2007年）如圖，在中，經(jīng)過

5、點(diǎn)且與邊相切的動(dòng)圓與分別相交于點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值是（    ） A    B     C       D    從上面案例我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)求直角三角形斜邊的最小值問題時(shí)，我們通常是構(gòu)造出斜邊上的中線，然后把求斜邊的最值問題轉(zhuǎn)化成求斜邊上中線的最小值問題，而往往斜邊上中線的最小值又與斜邊上的高有關(guān)，最后由確定斜邊上高來求出斜邊的最值問題。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線 等腰三角

6、形中遇底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”例13如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。例14、如圖1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MNAC于點(diǎn)N，則MN等于【 】A B C D練習(xí)：1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。BADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，BAC=BCA，求證：AD=2AE。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，BAC=DAE=90°。求證：AMDC。DMCDEDADBD4，

7、已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。 5已知：如圖AD為ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC ABDCEF6.如圖 四邊形ABCD中AB=CD=4,M,N分別為BC AD的中點(diǎn)BAC=900ACD=300,求MN的長(zhǎng)7. 如圖，B=C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分ADC，求證：AM平分DAB.8、在三角形ABC中，AD是三角形的高，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGD是等腰梯形。9、如圖9所示，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G，則等于：【 】A、 B、 C、 D、EMCBD10.如圖，DBC=BCE=90°，M為DE的中點(diǎn)，求證：MB=MCEMCBFAO11.如圖,AB=BC,EA=EF,ABC=AEF=90°，且E、B在一條直線上,O為AF的中點(diǎn),M為CE的中點(diǎn)，求的值。12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫O，P是O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B。（1）點(diǎn)P在運(yùn)