含有絕對值不等式的解法-典型例題

1、含有絕對值不等式的解法-典型例題含絕對值不等式的解法例1  解絕對值不等式x+3>x-5解：由不等式x+3>x-5兩邊平方得x+32>x-52，即（x+3）2>（x-5）2,x>1  原不等式的解集為xx>1評析  對于兩邊都含“單項”絕對值的不等式依據(jù)x2x2，可在兩邊平方脫去絕對值符號當(dāng)然，此例可按絕對值定義討論脫去絕對值符號，但解題繁瑣例2  對任意實數(shù)x，若不等式x+1-x-2>k恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（    ）ak<3   

2、60;       bk<-3              ck3              dk-3分析  要使x+1-x-2>k對任意實數(shù)x恒成立，只要x+1-x-2的最小值大于k因x+1的幾何意義為數(shù)軸上點x到-1的距離，x-2的幾何意義為點x到2的距離，x+1-x-2的幾何意義為數(shù)

3、軸上點x到-1與2的距離的差，其最小值為-3，  k<-3,  選b評析  此例利用絕對值的幾何意義使問題迅速得解，若采用其他方法則解答過程冗長例3  解不等式3x-1>x+3分析  解此類不等式，要分x+30和x+3<0兩種情況討論解：當(dāng)x+30，即x-3時，原不等式又要分-3x< 和x 兩種情況求解：當(dāng)-3x< 時，-3x+1>x+3，即x<- ，此時不等式的解為-3x<- ;當(dāng)x 時，3x-1>x+3，即x>2，此時不等式的解為x>2又當(dāng)x+3<0，即x<-3時

4、，不等式是絕對不等式取、并集知不等式的解集為xx<- ，或x>2例4  解不等式  x-5-2x+3<1解：x5和x- 分別使上式兩個絕對值中代數(shù)式的值為零，它們將數(shù)軸分成三段：于是，原不等式變?yōu)椋ǎ? 或（） 或（） 解（）得  x<-7，解（）得 <x5，解（）得  x>5；（）（）（）的并集xx<-7或x> 即為原不等式的解集說明  解這類絕對值不等式（僅限絕對值符號里面是一次式）可分如下幾個步驟：第一步令每個絕對值號里的一次因式等于零求出相應(yīng)的根；第二步把這些根按從小到大的順序排

5、號并把數(shù)軸分成相應(yīng)的若干個區(qū)間；第三步根據(jù)所分區(qū)間去掉絕對值符號，組成若干個不等式組，最后分別解每個不等式組，取結(jié)果的并集就是原不等式的解例5  解不等式12x-1<5解法一：原不等式等價于 或 解得  1x<3;解得  -2<x0  原不等式的解集為x-2<x0或1x<3解法二：原不等式等價于12x-1<5，  或  -5<2x-1-1，即  22x<6，  或  -4<2x0，解得  1x<3，  或  -2&l

6、t;x0  原不等式的解集為x-2<x0，或1x<3評析  比較兩種解法，第二種解法比較簡單，在解法二中，去掉絕對值符號的依據(jù)是axb axb，或-bx-a（a0）這一規(guī)律對我們今后解題很有作用，要在理解的基礎(chǔ)上加以記憶本例亦可用圖像法求解，不妨一試?yán)? 解不等式x+3+x-3>8分析  這是一個含有兩個絕對值符號的不等式，為了使其轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的不等式，要進行分類討論解法一：由代數(shù)式x+3、x-3知，-3和3把實數(shù)集分為三個區(qū)間：x<-3,-3x<3，x3當(dāng)x<-3時，-x-3-x+3>8，即x<-4，此時

7、不等式的解為x<-4；當(dāng)-3x<3時，x+3-x+3>8，此時無解；當(dāng)x3時，x+3+x-3>8，即x>4，此時不等式的解為x>4取、的并集得原不等式的解集為xx<-4，或x>4點評  解這類絕對值符號里是一次式的不等式，其一般步驟是：（1）令每個絕對值符號里的一次式為零，并求出相應(yīng)的根；（2）把這些根由小到大排序并把實數(shù)集分為若干個區(qū)間；（3）由所分區(qū)間去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集；（4）取這些不等式的解集的并集就是原不等式的解集模仿例1，我們還有解法二：不等式x+3+x-3>8表示數(shù)軸上與a（-3），b（3）兩點距離之和大于8的點，而a，b兩點距離為6因此線段ab上每一點到a、b的距離之和都等于6如下圖，要找到a，b距離之和為8的點，只須由點b向右移1個單位（這時距離之和增加2個單位），即移到點b1（4），或由點a向左移1個單位，即移到點a1（-4）可以看出，數(shù)軸上點b1（4）向右的點或者點a1（-4）向左的點到a、b兩點的距離之和均大于8  原不等式的解集為xx<-4，或x>4解法三：分別畫出函數(shù)y1x+3+x-3和y28的圖像，如下圖y1 不難看出，要使y1>y2，只須x<-4，或x>4  原