2022年抽象函數(shù)解法綜述解題技巧

1、學習必備歡迎下載抽象函數(shù)與解題策略（一）抽象函數(shù)的定義、特征和一般解題策略（1）什么是抽象函數(shù)？那些沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出一些特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。（2）抽象函數(shù)與一般函數(shù)的有什么聯(lián)系？抽象函數(shù)往往有它所對應的具體的函數(shù)模型。例如，)x(f)x(f)xx(f2121對應的 是 指 數(shù) 函 數(shù)2121xxxxaaa；)x(f)x(f)xx(f2121對 應 的 是 對 數(shù) 函 數(shù)2a1a21axlogxlog)xx(log等等。當然，也有的時候并沒有我們比較熟悉的函數(shù)模型，而是新定義的一種函數(shù)。抽象函數(shù)也可以與我們熟悉的函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)等一樣，有自己的性質(zhì)，如奇

2、偶性、周期性、單調(diào)性等。有自己的特殊點，有自己的對稱性，能畫出大致圖像。（3）抽象函數(shù)的解題策略一般有哪些？面對抽象函數(shù)數(shù)學題，我們的解題思路一般不外乎合理賦值，化抽象為具體； 作恒等變形，找出該函數(shù)規(guī)律性、特征性特點；分類討論，歸納出抽象函數(shù)的實質(zhì)問題。（二）高考中的抽象函數(shù)（1）抽象函數(shù)在高考中的地位函數(shù)是高考數(shù)學中非常重要的一部分，根據(jù)上海卷命題的要求，每年函數(shù)部分的內(nèi)容將占到整個卷面分值的三分之一左右，20xx年高考上海卷中，函數(shù)相關的內(nèi)容將近55 分。而抽象函數(shù)是函數(shù)中考核要求較高，難度較大的內(nèi)容。2000 年開始，不論是全國卷還是上海卷都對學生提出了考查抽象函數(shù)的要求。03 年上海

3、卷一年中考了兩道與抽象函數(shù)有關的題目， 03、04、05 年連續(xù)三年上海高考試卷中均有與抽象函數(shù)有關的題目。（2）為什么抽象函數(shù)在高考中被如此重視一般抽象函數(shù)數(shù)學題融函數(shù)單調(diào)性、周期性、 奇偶性、 定義域、 值域、 圖像以及不等式、方程等知識于一體。 通過賦值整體思考， 找出一個具體函數(shù)原型等方法去探究該函數(shù)的性質(zhì)，能運用相關性質(zhì)去解決有關問題。在高考中加大對學生理性思維能力的考查以及主體創(chuàng)新能力的考查是新時期的一個重要特點。（3）具體地來看，抽象函數(shù)在歷屆高考中在哪些題型中出現(xiàn)過？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁

4、- - - - - - - - -學習必備歡迎下載在最近五年的高考中，抽象函數(shù)可以出現(xiàn)在各種類型的題目中。例如， 可以考抽象函數(shù)的填空題、選擇題（20xx年北京卷第11、12 題， 20xx年上海卷第16 題，20xx年上海卷第5 題，等等），還可以考抽象函數(shù)的解答題（20xx 年全國卷最后一題，20xx 年北京卷最后一題， 20xx年上海卷最后一題，20xx年北京卷最后一題，20xx年上海卷第21 題，等等）。（4）全國卷和上海卷中的抽象函數(shù)題型有什么區(qū)別嗎？有一定程度上的區(qū)別。全國卷中（特別是北京卷）經(jīng)常會在最后一個大題考抽象函數(shù)，是非常典型的抽象函數(shù)性質(zhì)的討論、計算和證明， 對于解題技巧

5、、 綜合運用各類知識和技能的要求非常高； 上海卷中的抽象函數(shù)，特別是最近幾年，以一種 “定義新函數(shù)” 的題型出現(xiàn)，突出考核學生的學習能力、應用能力和創(chuàng)新能力，不特別強調(diào)解題的技巧。具體的差別，可以通過例題的練習和講解來得以區(qū)分?？傊P于抽象函數(shù)題的難度都是相當高的。（三）典型例題例題 1、設 f(x)是定義在實數(shù)集r上的函數(shù)， 且滿足下列關系：)x10(f)x10(f；)x20(f)x20(f。求證： f(x)是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)。證明：已知)x10(f)x10(f)x10(10f)x10(10 f)x20(f)x(f)x20(f（1）又)x20(f)x20(f)x20(f)x(f（2）)

6、x(f)x20(f)x20(20f)x40(f即 f(x)是以 40 為周期的周期函數(shù)由（ 1）式)x(f)x20(f由（ 2）式)x20(f)x(f)x(f)x(f即 f(x)是奇函數(shù)綜上所述， f(x)是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)。例題 2、f(x)是定義在 r上的函數(shù)，且)x(f1)x(f1)1x(f，（ f(x)0，1）。若 f(1)=2，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載求f(2005) 的值解：已知)x(f1)x(f1)x(f11)x(f1)x(f11)1x(f

7、1)1x(f1)2x(f)x(f)x(f11)2x(f1)4x(ff(x)是以 4為周期的周函數(shù)，則2)1(f)2005(f例題 3、已知函數(shù) f(x) 對于 x0有意義，且滿足條件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非減函數(shù)（定義：dxx21，)x(f)x(f21，則成)x(f是定義域在 d上的非減函數(shù)）。（1）證明 f(1)=0 ；（ 2）若 f(x)+f(x2) 2成立，求 x的取值范圍。解： (1)令 x=2,y=1 ，則 f(21)=f(2)+f(1)f(1)=0 (2)由已知f(x)+f(x 2)=f(x22x) 2，又 2=1+1=f(2) +f(2)=f(4

8、) f(x2 2x)f(4) 又 f(x) 為非減的函數(shù)x22x4 即 x22x40 x 1+5或 x15已知 f(x) 對 x0 有意義，且x20 x2 ),51x例題 4、 設函數(shù) f(x)的定義域為 r， 對于任意實數(shù)m 、 n， 總有)n(f)m(f)nm(f， 且0 x時1)x(f0。（ 1）證明： f(0)=1 ，且 x1 ；（ 2）證明： f(x) 在r 上單調(diào)遞減；（ 3 ）設ra, 1)2yax(f )y,x( b),1(f)y(f)x(f )y,x( a22，若ba，確定 a 的范圍。（1）證明：)n(f)m(f)nm(f令0n,0m精品學習資料 可選擇p d f - -

9、- - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載)0(f)m(f)m(f，已知0 x時，1)x(f01)0(f設0 xm，0 xn，)1 , 0()x(f1)n(f)m(f)nm(f)0(f1)m(f，即當 x1 （2）rxx21，則0)x(f , 1)xx(f0, 0 xx11212)x(f)xxx( f)x( f)x(f111212)x(f)x(f)xx(f11120 1)xx( f)x(f121f(x)在r 上單調(diào)遞減。（3）)1(f)y( f)x(f22) 1(f)yx(f22f(x)在r上單調(diào)遞減1yx22（單

10、位圓內(nèi)部分）)0(f1)2yax(f02yax（一條直線）ba11a223a23 ,3a例題 5、對每一實數(shù)對 x、y，函數(shù) f(t)滿足1xy)y(f)x(f)yx(f。若2)2(f，試求滿足t) t (f的整數(shù) t 的個數(shù)。解：令0yx，得1)0(f令1yx，得2)1(f2)2(f，又2)2(f2)1(f令1y, 1x，得1)1(f令1x，得2y)y(f)1y(f2y)y(f)1y(f（）即當 y為正整數(shù)時)y(f)1y(f，由1)1(fny，0)y(fny，1y2y)y(f)1y(f即對于一切大于1的正數(shù) t 恒有t) t (f精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - -

11、- - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載又由（）式1)4(f , 1)3(f下證明，當整數(shù)4t時，恒有0) t (f：4t，則0)2t (由（）式0)2t ()1t (f) t (f即0)4(f)5(f同理可得0)1t (f) t (f , 0)2t (f)1t (f ,0)5(f)6(f相加01)4(f) t (f，即當整數(shù)4t時，恒有t0) t (f綜上所述，滿足t) t (f的整數(shù)只有2,1t例題 6、 定義在 r上的單調(diào)函數(shù) f(x)滿足 f(3)=3log2且對任意 x， yr都有 f(x+y)=f(x)+f(y)。(1)

12、 求證 f(x)為奇函數(shù)； (2) 若0)293(f)3k(fxxx對任意 xr恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。證明： (1)已知 f (x+y)=f(x)+f(y)(x，yr) 令 x=y=0 ，代入式f(0+0)=f(0)+f(0) ，即f(0)=0 令xy，代入式f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0 ，則 0=f(x)+f(-x) ，即 f(-x)=-f(x) 對任意 x r 成立，則f(x) 是奇函數(shù)。(2)f(3)=log230，即 f(3) f(0)，又 f(x)在 r 上是單調(diào)函數(shù)f(x) 在 r 上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù))293(f)293(f)3k(

13、fxxxxx2933kxxx對任意 xr 成立分離系數(shù)： k3x-3x+9x+21323kxx令1221323uxx，即 u 的最小值為122當122k時，不等式1323kxx對任意 xr 恒成立) 122,(k時，命題成立。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載例題 7、已知)x(f是定義在r 上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，br 都滿足關系式)a(bf)b(af)ba(f。（ 1）求f （0）， f（ 1）的值；（ 2）判斷)x(f的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）

14、若)nn(n)2(fu,2)2(fnn，求數(shù)列un的前 n 項的和ns。解：（ 1）在)a(bf)b(af)ba(f中, 令, 0ba0)0(f0)0(f0)00(f)0(f. 在)a(bf)b(af)ba(f中, 令, 1ba) 1(f1)1(f1)11(f) 1(f0)1(f（2）已知,0)1(f)1(f)1(f)1(f20)1(f)x(f)1(xf)x(f)x1(f)x(f)x(f為奇函數(shù)。（3） 由),a(af2)a(af)a(af)a(f2)a(fa3)a(af)a(fa)a(f2223, 猜測)a(fna)a(f1nn. 下用數(shù)學歸納法證明。 1 當 n=1 時，)a(fa1)a(

15、f01，原命題成立； 2假設當n=k時，原命題成立，即)a(fka)a(f1kk，那么當 n=k+1 時，)a( fa) 1k()a(fka)a( fa)a(af)a(fa)a(fkkkkk1k，原命題成立. 由2 ,1可知，對任意)a(fna)a(f ,nn1nn都成立 . )21(f)21(n)2(fu1nnn. 已知,0)2(f21)21(f2)212(f) 1(f ,2)2(f21)2(f41)21(f),nn()21()21(u1nn. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -學

16、習必備歡迎下載).nn( 1)21(211)21(121snnn例題 8、設)x(fy是定義在區(qū)間 1, 1上的函數(shù)，且滿足條件：(i)0)1(f) 1(f；(ii)對任意的1 , 1v,u，都有vu)v(f)u(f。（1）證明：對任意的 1, 1x，都有x1)x(f1x；（2）證明：對任意的 1, 1v,u，都有1)v(f)u(f；（3）在區(qū)間 1 , 1上是否存在滿足題設條件的奇函數(shù))x(fy，且使得 1 ,21v,uvu)v(f)u(f21, 0v,uvu)v(f)u(f。若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由。（1）證明：已知對任意的1 , 1x，有1x)1(f)x(f，0)1(fx1)x(fx1)x(f1x；（2）證明：對任意的 1, 1v,u，當1vu時，1vu)v(f)u(f，命題成立；當1vu時，由 1 , 1v,u可知0vu，不妨設v0u都有)v(f)u(f)v(f)u(f) 1(f)v(f)1(f)u(f1v1u1)vu(21vu1綜上所述，對任意的 1 ,1v,u，都有1)v(f)u(f；（3）答：滿足條件的函數(shù)不存在。理由如下：假設存在函數(shù))x(f滿足條件， 1 ,21v,uvu)v(f)