2022年挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題(全套)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第一部分函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題§ 11因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相像三角形問題§12因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題§13因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題§ 14因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題§ 1 5因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題§ 1 6 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題§ 17 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題其次部分圖形運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)關(guān)系問題§ 21由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題第三部分圖形運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)算說理問題§ 31代數(shù)運(yùn)算及通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行說理問題§ 32幾何證明及通過幾何運(yùn)算進(jìn)行說理問題第四部分圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)§

2、; 41圖形的平移§ 42圖形的翻折§ 43圖形的旋轉(zhuǎn)§ 44 三角形§ 4 5四邊形§ 46圓§ 4 7 函數(shù)的圖象及性質(zhì)§11因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相像三角形問題課前導(dǎo)學(xué) 相像三角形的判定定理有3 個(gè)，其中判定定理1 和判定定理 2 都有對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個(gè)三角形相像的動(dòng)態(tài)問題，一般情形下第一查找一組對應(yīng)角相等判定定理 2 是最常用的解題依據(jù)， 一般分三步： 查找一組等角， 分兩種情形列比例方程， 解方程并檢驗(yàn)假如已知a d，探求 abc 與 def 相像，只要把夾 a 和 d 的兩邊表示出來，依據(jù)對應(yīng)邊成比例，分abd

3、eacdf和 abdfacde兩種情形列方程應(yīng)用判定定理1 解題，先查找一組等角，再分兩種情形爭論另外兩組對應(yīng)角相等 應(yīng)用判定定理3 解題不多見，依據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）仍有一種情形， 爭論兩個(gè)直角三角形相像，假如一組銳角相等， 其中一個(gè)直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為爭論另一個(gè)三角形是直角三角形的問題求線段的長，要用到兩點(diǎn)間的距離公式，而這個(gè)公式簡潔記錯(cuò)懂得記憶比較好 如圖 1，假如已知 a、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，怎樣求a、b 兩點(diǎn)間的距離呢？我們以 ab 為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊 ab 的長了水平距離bc 的長就是 a、b 兩

4、點(diǎn)間的水平距離，等于a、b 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相減；豎直距離 ac 就是 a、 b 兩點(diǎn)間的豎直距離，等于a、b 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相減圖 1圖 1圖 2例 1湖南省衡陽市中考第 28 題二次函數(shù) y ax2 bxc（ a 0）的圖象與 x 軸交于 a3, 0、b1, 0 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) c0, 3m（ m 0），頂點(diǎn)為 d（ 1）求該二次函數(shù)的解析式 （系數(shù)用含 m 的代數(shù)式表示） ；（ 2）如圖 1，當(dāng) m 2 時(shí)，點(diǎn) p 為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)apc 的面積為 s，試求出 s 與點(diǎn) p 的橫坐標(biāo) x 之間的函數(shù)關(guān)系式及s 的最大值；（ 3）如圖 2，當(dāng) m 取何值時(shí)，以 a、d

5、、c 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與 obc 相像？動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“ 14 衡陽 28”，拖動(dòng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到 ac 的中點(diǎn)的正下方時(shí)， apc 的面積最大 拖動(dòng) y 軸上表示實(shí)數(shù) m 的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)， 拋物線的外形會轉(zhuǎn)變，可以體驗(yàn)到， acd 和 adc 都可以成為直角思路點(diǎn)撥 1用交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便2. 連結(jié) op， apc 可以割補(bǔ)為： aop 與 cop 的和，再減去 aoc3. 爭論 acd 與 obc 相像，先確定 acd 是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)直角三角形是否相像 4直角三角形 acd 存在兩種情形圖文解析（ 1）由于拋物線與 x 軸交于 a

6、3, 0、 b1, 0 兩點(diǎn)，設(shè) y ax3 x 1 代入點(diǎn) c0, 3m，得 3m 3a解得 a m所以該二次函數(shù)的解析式為 y mx 3x 1 mx22mx 3m（ 2）如圖 3，連結(jié) op當(dāng) m 2 時(shí)， c0, 6，y2x2 4x 6，那么 px, 2x2 4x 6由于 saop 1 oa2yp 3 2x22 4x 6 3x2 6x 9，s cop 1 oc2xp 3x， s aoc 9，所以 s s apc saop scop saoc 3x2 9x3 x3 227 所以當(dāng) x243 時(shí)， s 取得最大值，最大值為27 24圖 3圖 4圖 5圖 6（ 3）如圖 4，過點(diǎn) d 作 y

7、軸的垂線，垂足為e過點(diǎn) a 作 x 軸的垂線交 de 于 f由 y m x 3 x1 mx 1 2 4m，得 d 1, 4m 在 rt obc 中， oboc 1 3m 假如 adc 與 obc 相像，那么 adc 是直角三角形， 而且兩條直角邊的比為1 3m如圖 4，當(dāng) acd 90°時(shí)， oaoc 所以 33m 解得 m 1ecedm1此時(shí) caoccded3 ， ocobcaoc3 所以cdob所以 cda obc如圖 5，當(dāng) adc 90°時(shí)， fafdedec4m所以122解得 mm2此時(shí) dafd2oc22 ，而323m因此 dca 與 obc 不相像dcecm

8、ob2綜上所述，當(dāng) m 1 時(shí)， cda obc考點(diǎn)舒展 第（ 2）題仍可以這樣割補(bǔ)： 如圖 6，過點(diǎn) p 作 x 軸的垂線與 ac 交于點(diǎn) h 由直線 ac： y 2x 6，可得 hx, 2x 6又由于 px, 2x2 4x 6，所以 hp 2x2 6x由于 pah 與 pch 有公共底邊 hp ，高的和為 a、 c 兩點(diǎn)間的水平距離 3，所以s sapc saph s cph 3 2x2 6x3 x3 227 224例 22021年湖南省益陽市中考第 21 題如圖 1，在直角梯形 abcd 中， ab /cd ， ad ab， b 60°， ab 10， bc 4，點(diǎn) p沿線段

9、ab 從點(diǎn) a 向點(diǎn) b 運(yùn)動(dòng)，設(shè) ap x 2·1·c·n·j ·y （ 1）求 ad 的長；（ 2）點(diǎn) p 在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以a、p、 d 為頂點(diǎn)的三角形與以 p、c、b 為頂點(diǎn)的三角形相像？如存在，求出x 的值；如不存在，請說明理由；圖1（ 3）設(shè) adp 與 pcb 的外接圓的面積分別為s1、 s2，如 s s1s2，求 s 的最小值 .動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名 “14 益陽 21”，拖動(dòng)點(diǎn) p 在 ab 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， 圓心 o 的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段 bc 的垂直平分線上的一條線段觀看 s 隨點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)的圖象，可以看到，

10、 s 有最小值，此時(shí)點(diǎn) p 看上去象是 ab 的中點(diǎn)，其實(shí)離得很近而已思路點(diǎn)撥 1第（ 2）題先確定 pcb 是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)三角形是否相像2第（ 3）題懂得 pcb 的外接圓的圓心o 很關(guān)鍵，圓心o 在確定的 bc 的垂直平分線上，同時(shí)又在不確定的bp 的垂直平分線上而bp 與 ap 是相關(guān)的，這樣就可以以ap 為自變量，求 s 的函數(shù)關(guān)系式 圖文解析（ 1）如圖 2，作 ch ab 于 h，那么 ad ch 在 rtbch 中， b60°， bc 4，所以 bh 2，ch 23 所以 ad 23 （ 2）由于 apd 是直角三角形，假如apd 與 pcb 相像，那么 pc

11、b 肯定是直角三角形如圖3，當(dāng) cpb 90°時(shí)， ap 10 2 8所以 apad 8 432 33，而 pcpb 3 此時(shí) apd 與 pcb 不相像圖 2圖 3圖 4如圖 4，當(dāng) bcp 90°時(shí)， bp 2bc8所以 ap 2所以 apad 2 32 33所以 apd 60°此時(shí) apd cbp綜上所述，當(dāng)x 2 時(shí)， apd cbp（ 3）如圖 5，設(shè) adp 的外接圓的圓心為g，那么點(diǎn) g 是斜邊 dp 的中點(diǎn)設(shè) pcb 的外接圓的圓心為o，那么點(diǎn) o 在 bc 邊的垂直平 分線上，設(shè)這條直線與bc 交于點(diǎn) e，與 ab 交于點(diǎn) f設(shè) ap 2m作 o

12、m bp 于 m，那 么 bm pm 5 m在 rt bef 中， be 2， b60°，所以 bf 4在 rt ofm 中，3fm bf bm4 5 m m 1， ofm 30°，所以 om m31 所以 ob2 bm 2om 2 5m21 m312 在 rtadp 中，dp 2ad2 ap2 12 4m2 所以 gp2 3 m2于是 s s1 s2 gp2 ob23m25m21 m3127 m232m85 所以當(dāng) m16113時(shí)， s 取得最小值，最小值為377圖 5圖 6考點(diǎn)舒展 關(guān)于第（ 3）題，我們再爭論個(gè)問題問題 1，為什么設(shè)ap2m 呢？這是由于線段 ab a

13、p pm bm ap 2bm 10 這樣 bm 5 m，后續(xù)可以削減一些分?jǐn)?shù)運(yùn)算這不影響求s 的最小值問題 2，假如圓心 o 在線段 ef 的延長線上， s 關(guān)于 m 的解析式是什么？如圖 6，圓心 o 在線段 ef 的延長線上時(shí)，不同的是fm bm bf 5 m 4 1m此時(shí) ob2 bm 2om 2 5m21 13m 2 這并不影響 s 關(guān)于 m 的解析式例 32021 年湖南省湘西市中考第 26 題如圖 1，已知直線 y x 3 與 x 軸、y 軸分別交于 a、b 兩點(diǎn)，拋物線 y x2 bx c經(jīng)過 a、b 兩點(diǎn)，點(diǎn) p 在線段 oa 上，從 點(diǎn) o 動(dòng)身，向點(diǎn) a 以每秒 1 個(gè)單位

14、的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn) q 在線段 ab 上，從點(diǎn) a 動(dòng)身，向點(diǎn) b 以每秒2 個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連結(jié) pq，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）問：當(dāng) t 為何值時(shí)， apq 為直角三角形；（ 3）過點(diǎn) p 作 pe/ y 軸，交 ab 于點(diǎn) e，過點(diǎn) q 作 qf/y 軸，交拋物線于點(diǎn)f，連結(jié) ef，當(dāng) ef/ pq 時(shí)，求點(diǎn) f 的坐標(biāo)；（ 4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為m，連結(jié) bp、 bm、mq ，問：是否存在 t 的值，使以b、q、m 為頂點(diǎn)的三角形與以o、b、p 為頂點(diǎn)的三角形相像？如存在，懇求出 t 的值；如不存在，請說明理由圖 1 動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“

15、15湘西 26”，拖動(dòng)點(diǎn) p 在 oa 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，apq 有兩個(gè)時(shí)刻可以成為直角三角形，四邊形epqf 有一個(gè)時(shí)刻可以成為平行四邊形，mbq 與 bop 有一次機(jī)會相像思路點(diǎn)撥1在 apq 中， a 45°，夾 a 的兩條邊 ap、aq 都可以用 t 表示，分兩種情形爭論直角三角形 apq 2先用含 t 的式子表示點(diǎn) p、q 的坐標(biāo)，進(jìn)而表示點(diǎn)e、f 的坐標(biāo)，依據(jù)pe qf 列方程就好了 3 mbq 與 bop 都是直角三角形， 依據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情形爭論 圖文解析 （ 1）由 y x3，得 a3, 0， b0, 3 將 a3, 0、b0, 3 分別代入 y x2b

16、x c，得93bc0,b2,解得所以拋物線的解析式為y x2 2x 3c3.c3.（ 2）在 apq 中，paq 45°，ap 3 t，aq 2 t分兩種情形爭論直角三角形apq：當(dāng) pqa 90°時(shí)， ap 2 aq解方程 3 t 2t，得 t 1（如圖 2）當(dāng) qpa 90°時(shí)， aq 2 ap解方程2 t 2 3 t ，得 t 1.5（如圖 3）圖 2圖 3 圖 4圖 5（ 3）如圖 4，由于 pe/qf ，當(dāng) ef/pq 時(shí)，四邊形 epqf 是平行四邊形所以 ep fq 所以 ye yp yf yq由于 xp t，x q 3 t，所以 ye 3 t， y

17、qt， yf 3 t 2 23 t 3 t2 4t由于 ye yp yf yq，解方程 3 t t 24t t，得 t 1， 或 t 3（舍去）所以點(diǎn) f 的坐標(biāo)為 2, 3 （ 4）由 y x2 2x 3 x 12 4，得 m 1, 4 由a3, 0 、b0, 3 ，可知 a、b兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，ab 32 由b0, 3 、m 1, 4，可知 b、 m兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，bm 2 所以 mbq bop 90°因此 mbq 與 bop相像存在兩種可能：當(dāng) bmob時(shí)，23 解得 t9 （如圖 5）bqop當(dāng) bmopbqob3 22t時(shí)，23 22tt4t

18、整理，得 t2 3t 3 0此方程無實(shí)根3考點(diǎn)舒展 第（ 3）題也可以用坐標(biāo)平移的方法：由 pt, 0 ，et, 3 t， q3 t , t，依據(jù) p e 方向，將點(diǎn) q 向上平移，得 f3 t, 3再將 f 3 t, 3 代入 y x2 2x 3，得 t 1，或t 3 § 12 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題課前導(dǎo)學(xué) 我們先回憶兩個(gè)畫圖問題：1. 已知線段 ab 5 厘米， 以線段 ab 為腰的等腰三角形abc 有多少個(gè)？頂點(diǎn) c 的軌跡是什么？ 2已知線段 ab6 厘米， 以線段 ab 為底邊的等腰三角形abc 有多少個(gè)？頂點(diǎn) c 的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除

19、了兩個(gè)點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)c已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外 在爭論等腰三角形的存在性問題時(shí)，一般都要先分類假如 abc 是等腰三角形，那么存在ab ac， ba bc， ca cb 三種情形 解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法， 把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、運(yùn)算哪些題目適合用幾何法呢？假如 abc 的 a（的余弦值） 是確定的， 夾 a 的兩邊 ab 和 ac 可以用含 x 的式子表示出來， 那么就用幾何法 如圖 1，假如 abac ，直接列方程； 如圖 2，假如 ba bc，那么 12acab cosa ；如

20、圖 3，假如 ca cb，那么 12abac cosa 代數(shù)法一般也分三步：排列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)假如三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x 的式子表示出來， 那么依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以排列出來圖 1圖 2圖 3圖 1例 92021年長沙市中考第 26 題如圖 1，拋物線 y ax2 bx c（ a、b、c 是常數(shù)， a0）的對稱軸為y 軸，且經(jīng)過 0,0和 a,1 兩點(diǎn)，點(diǎn) p 在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)p 為圓心的 p 總經(jīng)過定點(diǎn) a0, 216（ 1）求 a、b、c 的值；（ 2）求證：在點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)的過程中， p 始終與 x 軸相交；（

21、3）設(shè) p與 x 軸相交于 mx1 , 0、nx2, 0 兩點(diǎn)，當(dāng) amn 為等腰三角形時(shí)，求圓心p 的縱坐標(biāo)動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名 “ 14 長沙 26”，拖動(dòng)圓心 p 在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓與 x 軸總是相交的，等腰三角形amn 存在五種情形思路點(diǎn)撥 1不算不知道，一算真神奇，原先p 在 x 軸上截得的弦長 mn 4 是定值2. 等腰三角形 amn 存在五種情形，點(diǎn)p 的縱坐標(biāo)有三個(gè)值，依據(jù)對稱性，ma mn和 na nm 時(shí)，點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)是相等的2圖文解析 （ 1）已知拋物線的頂點(diǎn)為0,0，所以 y ax2所以 b 0，c 0將 a,1 代入 yax2 ，得 1161

22、6a 解得 a1 （舍去了負(fù)值） 4（ 2）拋物線的解析式為y1 x2 ，設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為4 x, 1 x2 4已知 a0, 2，所以2pax 1 x2221 x44 1 x 2 4164而圓心 p 到 x 軸的距離為1 x2 ，所以半徑 pa圓心 p 到 x 軸的距離4所以在點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)的過程中， p 始終與 x 軸相交22pa142x4 ， ph1 x21 x 416416（ 3）如圖 2，設(shè) mn 的中點(diǎn)為 h ，那么 ph 垂直平分 mn 在 rtpmh 中， pm，所以 mh 2 4所以 mh 2因此 mn 4，為定值等腰amn 存在三種情形：如圖3，當(dāng) am an時(shí)，點(diǎn) p 為原

23、點(diǎn) o 重合，此時(shí)點(diǎn)p 的縱坐標(biāo)為 0圖 2圖 3 圖 4圖 5如圖 4，當(dāng) ma mn 時(shí)，在 rt aom 中， oa2， am 4，所以 om 23 此時(shí) x oh 232 所以點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)為 1 x 21 232 2312423 44如圖 5，當(dāng) na nm 時(shí)，依據(jù)對稱性，點(diǎn)p 的縱坐標(biāo)為也為 423 如圖 6，當(dāng) na nm 4 時(shí)，在 rt aon 中， oa 2，an 4，所以 on 23 此時(shí) x oh 232 所以點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)為1 x 21 2322231423 44如圖 7，當(dāng) mn ma 4 時(shí)，依據(jù)對稱性，點(diǎn)p 的縱坐標(biāo)也為423 圖 6圖 7考點(diǎn)舒展 假如點(diǎn)

24、 p 在拋物線 y1 x2 上運(yùn)動(dòng)， 以點(diǎn) p 為圓心的 p 總經(jīng)過定點(diǎn) b0, 1 ，那4么在點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)的過程中，p 始終與直線 y 1 相切這是由于：設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為12x,x 已知 b0, 1 ，所以pbx21 x 212 1 x2121 x21 4而圓心 p 到直線 y 1 的距離也為1 x244441 ，所以半徑 pb圓心 p 到直線 y 1 的距離所以在點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)的過程中， p 始終與直線 y 1 相切例 102021年湖南省張家界市中考第 25 題如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 y ax2 bxc（ a 0）過 o、b、c 三點(diǎn)， b、c 坐標(biāo),分別為

25、 10, 0 和 1824 ，以 ob 為直徑的 a 經(jīng)過 c 點(diǎn)，55直線 l 垂直 x 軸于 b 點(diǎn)（ 1）求直線 bc 的解析式； （ 2） 求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（ 3）點(diǎn) m 是 a 上一動(dòng)點(diǎn)（不同于o、b），過點(diǎn) m作 a 的切線，交y 軸于點(diǎn) e，交直線 l 于點(diǎn) f，設(shè)線段me 長為 m，mf 長為 n，請猜想 mn 的值，并證明你的結(jié) 論；（ 4）如點(diǎn) p 從 o 動(dòng)身， 以每秒 1 個(gè)單位的速度向點(diǎn)b作直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)q 同時(shí)從 b 動(dòng)身，以相同速度向點(diǎn)c 作直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t（ 0 t 8）秒時(shí)恰好使 bpq 為等腰三角形，懇求出滿意條件的t 值圖 1動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫

26、板文件名“14 張家界 25”，拖動(dòng)點(diǎn) m 在圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， eaf 保持直角三角形的外形， am 是斜邊上的高拖動(dòng)點(diǎn) q 在 bc 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， bpq 有三個(gè)時(shí)刻可以成為等腰三角形思路點(diǎn)撥 1從直線 bc 的解析式可以得到 obc 的三角比，為爭論等腰三角形 bpq 作鋪墊 2設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便 3第（ 3）題連結(jié) ae、af 簡潔看到 am 是直角三角形 eaf 斜邊上的高 4第（ 4）題的 pbq 中， b 是確定的，夾 b 的兩條邊可以用含 t 的式子表示分三種情形爭論等腰三角形圖文解析（1）直線 bc 的解析式為 y315x（2）由于拋物線與 x 軸交

27、于 o、b10, 0兩點(diǎn)，設(shè) y axx 10代入點(diǎn) c 18 ,4224 ，得24a1832 解得 a5 5555524所以 y5x x105 x225 x5 x52125拋物線的頂點(diǎn)為 5,2424122424125 （ 3）如圖 2，由于 ef 切 a 于 m ，所以 am ef由24ae ae，ao am ，可得 rt aoe rt ame 所以 1 2同理 3 4于是可得 eaf 90°所以 5 1由 tan 5 tan 1，得 mame mfma所以 me ·mf ma 2，即 mn25圖 2（ 4）在 bpq 中， cos b 45，bp 10 t， bq t

28、分三種情形爭論等腰三角形bpq：如圖 3，當(dāng) bp bq 時(shí)， 10 tt解得 t 5如圖 4，當(dāng) pb pq 時(shí)， 1bqbp cos1b 解方程t41080t ，得 t2 如圖 5，當(dāng) qbqp 時(shí)， 1bpbq cos25b 解方程 1 10t 4 t ，得13t50 22513圖 3圖 4圖 5圖 6考點(diǎn)舒展 在第（ 3）題條件下，以ef 為直徑的 g 與 x 軸相切于點(diǎn) a如圖 6，這是由于 ag 既是直角三角形 eaf 斜邊上的中線， 也是直角梯形 eobf 的中位線，因此圓心 g 到 x 軸的距離等于圓的半徑，所以g 與 x 軸相切于點(diǎn) a例 112021年湖南省邵陽市中考第26

29、 題2在平面直角坐標(biāo)系中， 拋物線 y x m nx mn（ m n）與 x 軸相交于 a、b 兩點(diǎn)（點(diǎn)a 位于點(diǎn) b 的右側(cè)），與y 軸相交于點(diǎn) c（ 1）如 m2， n 1，求 a、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）如 a、b 兩點(diǎn)分別位于y 軸的兩側(cè)， c 點(diǎn)坐標(biāo)是 0,1，求 acb 的大?。唬?3）如 m 2， abc 是等腰三角形，求n 的值 動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名 “14 邵陽 26”，點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕 （ 2），拖動(dòng)點(diǎn) a 在 x 軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，abc 保持直角三角形的外形點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動(dòng)點(diǎn) b 在 x 軸上運(yùn)動(dòng)，觀看abc 的頂點(diǎn)能否落在對邊的垂

30、直平分線上，可以體驗(yàn)到，等腰三角形 abc 有 4 種情形 思路點(diǎn)撥1. 拋物線的解析式可以化為交點(diǎn)式，用m， n 表示點(diǎn) a、b、c 的坐標(biāo)2. 第（ 2）題判定直角三角形abc ，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比3. 第（ 3）題爭論等腰三角形abc，先把三邊長（的平方）排列出來，再分類解方程2圖文解析 （ 1）由 yx mn xmn xmx n，且 m n，點(diǎn) a 位于點(diǎn) b 的右側(cè)，可知 am, 0， bn, 0如 m2， n 1，那么 a2, 0， b1, 0（ 2）如圖 1，由于 c0, mn，當(dāng)點(diǎn) c 的坐標(biāo)是 0, 1， mn 1， oc 1如 a、b 兩點(diǎn)分別位于

31、 y 軸的兩側(cè)， 那么 oa·ob m n mn 1所以 oc2 oa·ob所以 ocob oaoc所以 tan 1 tan 2所以 1 2又由于 1 與 3 互余，所以 2 與 3 互余 所以 acb 90°（ 3）在 abc 中，已知 a2, 0 ， b n, 0， c0, 2n爭論等腰三角形 abc，用代數(shù)法解比較便利：由兩點(diǎn)間的距離公式，得ab2 n 22，bc 2 5n2 ，ac2 4 4n2當(dāng) ab ac 時(shí)，解方程 n 22 4 4n2，得 n4 （如圖 2）3當(dāng) ca cb 時(shí)，解方程 4 4n25n2，得 n 2（如圖 3），或 n 2（ a、b

32、 重合， 舍去）當(dāng) ba bc 時(shí)，解方程 n 22 5n2，得 n51 （如圖 4），或 n 251 （如圖 5）2圖 1圖 2圖 3 圖 4圖 5考點(diǎn)舒展 第（ 2）題常用的方法仍有勾股定理的逆定理 由于 c0, mn，當(dāng)點(diǎn) c 的坐標(biāo)是 0, 1， mn 1由 am, 0， b n, 0， c0,1 ，得 ab2 m n2 m2 2mn n2 m2 n2 2，bc 2 n2 1， ac2m2 1所以 ab2 bc2 ac2于是得到rt abc， acb 90° 第（ 3）題在爭論等腰三角形abc 時(shí)，對于 ca cb 的情形，此時(shí)a、b 兩點(diǎn)關(guān)于 y 軸對稱，可以直接寫出b 2

33、, 0，n 2例 122021年湖南省婁底市中考第27 題如圖 1，在 abc 中， acb 90°，ac 4cm，bc 3cm假如點(diǎn) p 由點(diǎn) b 動(dòng)身沿 ba 方向向點(diǎn) a 勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) q 由點(diǎn) a 動(dòng)身沿 ac 方向向點(diǎn) c 勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為 1cm/s連結(jié) pq，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（ s）（ 0 t 4），解答以下問題： （ 1）設(shè) apq 的面積為 s，當(dāng) t 為何值時(shí)， s 取得最大值？ s 的最大值是多少？（ 2）如圖 2，連結(jié) pc ，將 pqc 沿 qc 翻折， 得到四邊形 pqp c，當(dāng)四邊形 pqpc 為菱形時(shí)，求t 的值；（ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)，

34、 apq 是等腰三角形？圖 1圖 2圖 3圖 4動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“14 婁底 27”，拖動(dòng)點(diǎn) q 在 ac 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到 ab 的中點(diǎn)時(shí)， apq 的面積最大，等腰三角形apq 存在三種情形仍可以體驗(yàn)到，當(dāng) qc 2hc 時(shí)，四邊形pqpc 是菱形思路點(diǎn)撥 1在 apq 中， a 是確定的，夾 a 的兩條邊可以用含t 的式子表示2四邊形 pqpc 的對角線保持垂直，當(dāng)對角線相互平分時(shí)，它是菱形，圖文解析 （ 1）在 rt abc 中， ac 4， bc 3，所以 ab 5， sina 35， cosa 4 5作 qd ab 于 d，那么 qd aq sin

35、a 31t所以 s s apqap qd 1 5t 3 t 522532t5t 35 215 t +當(dāng) t515時(shí)， s 取得最大值，最大值為10102828（ 2）設(shè) pp與 ac 交于點(diǎn) h，那么 pp qc，ah apcosa 4 55t 假如四邊形 pqp c 為菱形，那么pq pc所以 qc 2hc 解方程 4t244 55t ，得 t20（ 3）等腰三角形apq 存在三種情形：13如圖 5，當(dāng) ap aq 時(shí)， 5 t t解得 t1145如圖 6，當(dāng) pa pq 時(shí)，240aqap cos a 解方程2t525t ，得t如圖 7，當(dāng) qa qp13時(shí)， 1apaq cos a 解方

36、程 1 5t 4 t 得 t25 22513圖 5圖 6圖 7 圖 8考點(diǎn)舒展 在此題情境下，假如點(diǎn)q 是 ppc 的重心，求 t 的值如圖 8，假如點(diǎn) q 是pp c 的重心，那么qc 2 hc 解方程 4t244 5t ，得 t60 33523例 13 2021 年湖南省懷化市中考第 22 題如圖 1，已知 rt abc 中， c 90°，ac 8，bc 6，點(diǎn) p 以每秒 1 個(gè)單位的速度從 a 向 c 運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)點(diǎn) q 以每秒 2 個(gè)單位的速度從 a b c 方向運(yùn)動(dòng)， 它們到 c 點(diǎn)后都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) p、q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（ 1）在運(yùn)動(dòng)過程中，求 p、q 兩點(diǎn)間距

37、離的最大值；（ 2）經(jīng)過 t 秒的運(yùn)動(dòng)，求 abc 被直線 pq 掃過的面積 s 與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）p，q 兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在時(shí)間 t，使得 pqc 為等腰三角形如存在，求出此時(shí)的 t 值，如不存在，請說明理由（ 52.24 ，結(jié)果保留一位小數(shù)）動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“15 懷化 22”，拖動(dòng)點(diǎn) p 在 ac 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， pq與 bd 保持平行，等腰三角形pqc 存在三種情形思路點(diǎn)撥 1過點(diǎn) b 作 qp 的平行線交 ac 于 d，那么 bd 的長就是 pq 的最大值2. 線段 pq 掃過的面積 s 要分兩種情形爭論，點(diǎn)q 分別在 ab、bc 上3.

38、等腰三角形pqc 分三種情形爭論，先排列三邊長圖文解析（ 1）在 rt abc 中， ac 8，bc 6，所以 ab 10如圖 2，當(dāng)點(diǎn) q 在 ab 上時(shí)，作 bd /pq 交 ac 于點(diǎn) d ，那么abaq2t2 所以 ad 5所以 cd 3如圖 3，當(dāng)點(diǎn) q 在 bc 上時(shí)， cq162t2 adaptcp8t又由于 cb62 ，所以 cqcb因此 pq/ bd 所以 pq 的最大值就是 bd cd3cpcd在 rtbcd 中， bc 6， cd 3，所以 bd 35 所以 pq 的最大值是 35 圖 1 圖 2圖 3圖 4（ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) q 在 ab 上時(shí)， 0 t 5，s a

39、bd 15由 aqp abd ，得s aqps abd ap ad2 所以 s saqpt215 53 t 2 5如圖 3，當(dāng)點(diǎn) q 在 bc 上時(shí)， 5t 8， sabc 24由于 s cqp1cq cp 21162t 82t t8 2 ，所以 s s abc s cqp 24 t 82 t2 16t 40（ 3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) q在bc上時(shí)， cq 2cp， c 90°，所以 pqc 不行能成為等腰三角形當(dāng)點(diǎn) q在ab上時(shí)，我們先用 t表示 pqc的三邊長：易知 cp 8 t如圖 2，由 qp/bd ，得 qpap ，即qpt 所以 qp3 5 t bdad3555如圖 4，作

40、qh ac于h 在 rt aqh中， qh aq sin a 6 t ， ah 8 t 22在rtcqh 中，由勾股定理，得 cq qhch55 6 t 288 t 2 55分三種情形爭論等腰三角形pqc ：（ 1）當(dāng) pc pq 時(shí)，解方程 8t35t ，得5t6510 3.4 （如圖 5所示）當(dāng) qc qp 時(shí)，62t 828t 3 5t 整理，得555211t128t3200 所以 11t 40 t 8 0解得 t40 3.6（如圖 6所示），或 t 8（舍112去）當(dāng) cp cq時(shí)， 8t 6 t 288 t 2整理，得 5t16t0 解得 t55163.2（如圖 7所示），或 t 0

41、（舍去）5綜上所述，當(dāng) t的值約為 3.4，3.6，或等于 3.2時(shí)， pqc是等腰三角形圖 5圖 6圖 7 圖 8圖 9考點(diǎn)舒展 第（ 1）題求 p、q 兩點(diǎn)間距離的最大值，可以用代數(shù)運(yùn)算說理的方法：22如圖 8，當(dāng)點(diǎn) q在ab上時(shí)， pq qhph 6 t 2 8tt 2 35 t 555222當(dāng)q與b重合時(shí)， pq最大，此時(shí) t 5， pq的最大值為 35 如圖 9，當(dāng)點(diǎn) q在bc上時(shí)， pq2 cqcp2cpcp 58t 當(dāng) q與b重合時(shí)， pq最大，此時(shí) t 5， pq的最大值為 3 5 綜上所述， pq的最大值為 3 5 §13因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題課前導(dǎo)學(xué) 我們先看

42、三個(gè)問題： 1已知線段 ab ，以線段 ab 為直角邊的直角三角形 abc 有多少個(gè)？頂點(diǎn) c 的軌跡是什么？ 2已知線段 ab，以線段 ab 為斜邊的直角三角形 abc 有多少個(gè)？頂點(diǎn) c 的軌跡是什么？3已知點(diǎn) a4,0 ，假如 oab 是等腰直角三角形，求符合條件的點(diǎn) b 的坐標(biāo)圖 1圖 2圖 3 圖 4如圖 1，點(diǎn) c 在垂線上，垂足除外如圖2，點(diǎn) c 在以 ab 為直徑的圓上， a、b 兩點(diǎn)除外如圖 3，以 oa 為邊畫兩個(gè)正方形，除了o、a 兩點(diǎn)以外的頂點(diǎn)和正方形對角線的交點(diǎn)， 都是符合題意的點(diǎn)b，共 6 個(gè)解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步查找分類標(biāo)準(zhǔn)，其次步列方程，

43、第三步解方程并驗(yàn)根一般情形下，依據(jù)直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后依據(jù)三角比或勾股定理列方程 有時(shí)依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便解直角三角形的問題，經(jīng)常和相像三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起假如直角邊與坐標(biāo)軸不平行， 那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線， 可以構(gòu)造兩個(gè)新的相像直角三角形，這樣列比例方程比較簡便如圖 4，已知 a3, 0， b1, 4 ，假如直角三角形 abc 的頂點(diǎn) c 在 y 軸上，求點(diǎn) c 的坐標(biāo)我們可以用幾何的方法，作 ab 為直徑的圓，快速找到兩個(gè)符合條件的點(diǎn) c假如作 bd y 軸于 d ，那么 aoc cdb 設(shè) oc m，那么這個(gè)方程有兩個(gè)解，分別對

44、應(yīng)圖中圓與y 軸的兩個(gè)交點(diǎn)例 192021年湖南省益陽市中考第21 題34mm1如圖 1，已知拋物線 e1：y x2 經(jīng)過點(diǎn) a1,m，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線e2 經(jīng)過點(diǎn) b2,2， 點(diǎn) a、 b 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)a、b（ 1）求 m 的值及拋物線 e2 所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（ 2）如圖 1，在第一象限內(nèi)，拋物線e1 上是否存在點(diǎn)q，使得以點(diǎn) q、b、 b為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？如存在，求出點(diǎn)q 的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由；（ 3）如圖 2，p 為第一象限內(nèi)的拋物線e1 上與點(diǎn) a 不重合的一點(diǎn)，連結(jié)op 并延長與拋物線 e2 相交于點(diǎn) p，求 paa與 pbb 的面積之

45、比圖 1圖 2 圖 3圖 4動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“ 15 益陽 21”，拖動(dòng)點(diǎn) p 在拋物線 e1 上運(yùn)動(dòng)， 可以體驗(yàn)到，點(diǎn) p 始終是線段 op的中點(diǎn)仍可以體驗(yàn)到，直角三角形qbb有兩個(gè)思路點(diǎn)撥 1判定點(diǎn) p 是線段 op的中點(diǎn)是解決問題的突破口，這樣就可以用一個(gè)字母表示點(diǎn) p、p的坐標(biāo) 2分別求線段aa bb，點(diǎn) p 到 aa的距離點(diǎn) p到 bb的距離，就可以比較 paa與 pbb 的面積之比2圖文解析 （ 1）當(dāng) x1 時(shí)， y x 1，所以 a1, 1 ， m 1，代入點(diǎn)設(shè)拋物線 e2 的表達(dá)式為 y ax2b2,2，可得 a 12所以 y 1 x22（ 2）點(diǎn) q 在第一象

46、限內(nèi)的拋物線e1 上，直角三角形 qbb 存在兩種情形：如圖 3，過點(diǎn) b 作 bb的垂線交拋物線e1 于 q，那么 q2, 4如圖 4，以 bb為直徑的圓 d 與拋物線 e1 交于點(diǎn) q，那么 qd 12bb 2設(shè) qx, x2，由于 d 0, 2 ，依據(jù) qd 2 4 列方程 x2 x2 22 4解得 x3 此時(shí) q 3,3 （ 3）如圖 5，由于點(diǎn) p、p分別在拋物線e1、 e2 上，設(shè) p b, b2 ，p c,1 c2 2由于 o、p、p三點(diǎn)在同一條直線上，所以pmp nb 2，即1 c22omonbc所以 c 2b所以 p2b, 2b2如圖 6，由 a1, 1 、b2,2，可得 aa 2，bb 4由 a1, 1、pb, b2，可得點(diǎn) p 到直線 aa的距離 pm b2 1由 b2,2、p2b, 2b2，可得點(diǎn) p到直線 bb的距離 pn 2b2 2所以 paa 與 pbb 的面積比 2b2 1 42b2 2 1 4考點(diǎn)延長 第（ 2）中當(dāng) bqb 90