2022年排列組合知識點與方法歸納

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載排列組合知識點與方法歸納一、知識要點1.分類計數(shù)原理與分步計算原理（1）分類計算原理（加法原理）：完成一件事，有n 類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n 類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有n= m1+ m2+ mn種不同的方法。（2）分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 個步驟，做第1 步有 m1種不同的方法，做第2 步有m2種不同的方法，做第n 步有 mn種不同的方法，那么完成這件事共有n= m1 m2 mn種不同的方法。2.排列（1）定義從 n 個不同元素中取出m （）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n

2、個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記為 . （2）排列數(shù)的公式與性質(zhì)a)排列數(shù)的公式： =n （n-1 ）（ n-2 ）（ n-m+1） =特例：當 m=n時， =n ！=n（ n-1 ）（ n-2 ） 321規(guī)定： 0！=1 b)排列數(shù)的性質(zhì)：（） =（）（）3.組合（1）定義精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載a)從 n 個不同元素中取出個元素并成一組， 叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個組合b)從 n 個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 n

3、個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示。（2）組合數(shù)的公式與性質(zhì)a)組合數(shù)公式：（乘積表示）（階乘表示）特例：b)組合數(shù)的主要性質(zhì)：（）（）4.排列組合的區(qū)別與聯(lián)系（1） 排列與組合的區(qū)別在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且還與取出元素的順序有關(guān)。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關(guān)，是判斷這一問題是排列問題還是組合問題的理論依據(jù)。（2）注意到獲得（一個）排列歷經(jīng)“獲得（一個）組合”和“對取出元素作全排列”兩個步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系：二、經(jīng)典例題例 1、某人計劃使用不超過500 元的資金購買單價分別為60、70 元的單片軟件和盒裝磁盤，要求軟件至少買

4、3 片，磁盤至少買2 盒，則不同的選購方式是（）a .5 種 b.6 種 c. 7種 d. 8種解：注意到購買3 片軟件和2 盒磁盤花去320 元，所以，這里只討論剩下的180 元如何使用，可從購買軟件的情形入手分類討論：第一類，再買3 片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第二類，再買2 片軟件，不買磁盤，只有1 種方法；第三類，再買1 片軟件，再買1 盒磁盤或不買磁盤，有2 種方法；第四類，不買軟件，再買 2 盒磁盤、 1 盒磁盤或不買磁盤，有3 種方法；于是由分類計數(shù)原理可知，共有精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 -

5、 - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載n=1+1+2+3=7種不同購買方法，應(yīng)選c。例 2、在中有 4 個編號為1，2，3，4 的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、藍、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種不同的涂法？解：根據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對角”的兩個小三角形可以是相同顏色，于是考慮以對角的小三角形1、4 同色與不同色為標準分為兩類，進而在每一類中分步計算。第一類： 1 與 4 同色，則1 與 4 有 5 種涂法， 2 有 4 種涂法， 3 有 4 種涂法，故此時有 n1=544=80 種不同涂法。第二類： 1 與 4 不同色

6、，則1 有 5 種涂法， 4 有 4 種涂法， 2 有 3 種涂法， 3 有 3 種涂法，故此時有 n2=5433=180 種不同涂法。綜上可知， 不同的涂法共有80+180=260種。例 3、用數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成無重復(fù)數(shù)字4 位數(shù)，其中，必含數(shù)字2 和 3，并且2 和 3 不相鄰的四位數(shù)有多少個？解：注意到這里“ 0”的特殊性，故分兩類來討論。第一類：不含“ 0”的符合條件的四位數(shù)，首先從1，4，5 這三個數(shù)字中任選兩個作排列有種； 進而將 2 和 3分別插入前面排好的兩個數(shù)字中間或首尾位置，又有種排法，于是由分步計數(shù)原理可知，不含0 且符合條件的四位數(shù)共有=36個。第二類：

7、含有“ 0”的符合條件的四位數(shù)，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運用“間接法”：首先從1，4，5 這三個數(shù)字中任選一個，而后與0，2，3 進行全排列，這樣的排列共有個。其中，有如下三種情況不合題意，應(yīng)當排險：（1）0 在首位的，有個；（2）0 在百位或十位，但2 與 3 相鄰的，有個（3）0 在個位的，但2 與 3 相鄰的，有個因此，含有0 的符合條件的四位數(shù)共有 =30 個精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載于是可知，符合條件的四位數(shù)共有36+30=66 個例 4、某人

8、在打靶時射擊8 槍，命中4 槍，若命中的4 槍有且只有3 槍是連續(xù)命中的，那么該人射擊的8 槍，按“命中”與“不命中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有（）a.720 種 b.480 種 c.24 種 d.20 種分析： 首先，對未命中的4 槍進行排列， 它們形成5 個空擋，注意到未命中的4 槍“地位平等”，故只有一種排法，其次，將連中的3 槍視為一個元素，與命中的另一槍從前面5個空格中選2 個排進去， 有種排法，于是由乘法原理知， 不同的報告結(jié)果菜有種。例 5、（1）；（2）若，則 n= ；（3）；（4）若，則 n的取值集合為；（5）方程的解集為；解：（1）注意到n 滿足的條件原式 =（ 2 ） 運 用 楊 輝 恒 等 式 ， 已 知 等 式所求 n=4。（3）根據(jù)楊輝恒等式原式 = =精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載=（4）注意到這里n 滿足的條件n5 且 nn*在之下，原不等式由、