2022年教師版整理全面《高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)》2

1、- 1 - 高中數(shù)學(xué)必修知識(shí)點(diǎn)歸納引言1. 課程內(nèi)容：必修課程 由 5 個(gè)模塊組成：必修 1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、冪函數(shù)）必修 2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修 3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。必修 4：基本初等函數(shù) （三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。必修 5：解三角形、數(shù)列、不等式。以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí)， 進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。此外

2、，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。選修課程 有 4 個(gè)系列：系列 1：由 2 個(gè)模塊組成。選修 11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。選修 12：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖系列 2：由 3 個(gè)模塊組成。選修 21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。選修 22：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)選修 23：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。系列 3：由 6 個(gè)專題組成。選修 31：數(shù)學(xué)史選講。選修 32：信息安全與密碼。選修 33：球面上的幾何。選修 34：對稱與群。選修 35：歐拉公式與閉曲面分類。選修 36：三等分角與

3、數(shù)域擴(kuò)充。系列 4：由 10 個(gè)專題組成。選修 41：幾何證明選講。選修 42：矩陣與變換。選修 43：數(shù)列與差分。選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。選修 45：不等式選講。選修 46：初等數(shù)論初步。選修 47：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。選修 48：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修 49：風(fēng)險(xiǎn)與決策。選修 410：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。2重難點(diǎn)及考點(diǎn)：重點(diǎn)： 函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)： 函數(shù)、圓錐曲線高考相關(guān)考點(diǎn)：集合與簡易邏輯 : 集合的概念與運(yùn)算、 簡易邏輯、充要條件函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

4、、函數(shù)的應(yīng)用數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應(yīng)用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d

5、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 2 - 排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算必修 1 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：集合與函數(shù)概念1.1.1、集合1、 把研究的對象統(tǒng)稱為元素 ，把一些元素組成的總體叫做 集合 。集合三要素：確定性、互異性、無序性 。2、 只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合相等 。3、 常見集合： 正整數(shù)集合 ：*n或n，整數(shù)集合 ：z，有理數(shù)集合 ：q，實(shí)數(shù)集合

6、 ：r. 4、集合的表示方法：列舉法、描述法. 1.1.2、集合間的基本關(guān)系1、 一般地，對于兩個(gè)集合a、b，如果集合a 中任意一個(gè)元素都是集合b 中的元素，則稱集合a 是集合 b 的子集 。記作ba. 2、 如果集合ba，但存在元素bx，且ax，則稱集合a 是集合 b 的真子集 . 記作： a b. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集 .記作：.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 a中含有 n 個(gè)元素，則集合a有n2個(gè)子集，21n個(gè)真子集 . 1.1.3、集合間的基本運(yùn)算1、 一般地，由所有屬于集合a 或集合b 的元素組成的集合，稱為集合a與 b的并集 . 記作：ba. 2、

7、一般地，由屬于集合a 且屬于集合b 的所有元素組成的集合，稱為a與 b的交集 . 記作：ba. 3、全集、補(bǔ)集 ？|,uc ax xuxu且1.2.1、函數(shù)的概念1、 設(shè) a 、b是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合a 中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合 b中都有惟一確定的數(shù)xf和它對應(yīng)， 那么就稱baf :為集合 a到集合 b的一個(gè) 函數(shù) ，記作：axxfy,. 2、 一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域 . 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱 這兩個(gè)函數(shù)相等. 1.2.2、函數(shù)的表示法1、 函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法. 1.3.1、單調(diào)性與

8、最大（小）值1、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：(1)定義法： 設(shè)2121,xxbaxx、那么,)(0)()(21baxfxfxf在上是增函數(shù)；,)(0)()(21baxfxfxf在上是減函數(shù) . 步驟：取值作差變形定號(hào)判斷格 式 ： 解 ： 設(shè)baxx,21且21xx， 則 ：21xfxf=(2)導(dǎo)數(shù)法： 設(shè)函數(shù))(xfy在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若0)(xf，則)(xf為增函數(shù)；若0)(xf，則)(xf為減函數(shù) . 1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果對于函數(shù)xf的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有xfxf，那么就稱函數(shù)xf為偶函數(shù) . 偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱 . 2、 一般地，如果對于函數(shù)xf的定義域內(nèi)任意一個(gè)

9、x，都有xfxf，那么就稱函數(shù)xf為奇函數(shù) . 奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱. 知識(shí)鏈接：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1、函數(shù))(xfy在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù))(xfy在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)是曲線)(xfy在)(,(00 xfxp處的切線的斜率)(0 xf， 相應(yīng)的切線方程是)(000 xxxfyy. 2、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)c0；1)(nnnxx；xxcos)(sin； xxsin)(cos；aaaxxln)(；xxee)(；axxaln1)(log；xx1)(ln3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）()uvuv. （2）()uvuvuv. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

10、- - 第 2 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 3 - （3）2()(0)uu vuvvvv. 4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)( ( )yf g x的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)( ),( )yf u ug x的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為xuxyyu，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積 .解題步驟 :分層層層求導(dǎo)作積還原. 5、函數(shù)的極值(1) 極值定義：極值是在0 x附近所有的點(diǎn)，都有)(xf)(0 xf，則)(0 xf是函數(shù))(xf的極大值；極值是在0 x附近所有的點(diǎn)，都有)(xf)(0 xf，則)(0 xf是函數(shù))(xf的極小值 . (2) 判別方法：如果在0 x附近的左側(cè))(xf

11、0，右側(cè))(xf0，那么)(0 xf是極大值；如果在0 x附近的左側(cè))(xf0，右側(cè))(xf0，那么)(0 xf是極小值 . 6、求函數(shù)的最值(1) 求( )yf x在( , )a b內(nèi)的極值 （極大或者極小值）(2) 將( )yf x的各極值點(diǎn)與( ),( )f af b比較， 其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為極小值。注：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較（局部性質(zhì)）；最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較(整體性質(zhì) )。第二章：基本初等函數(shù)（）2.1.1、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1、 一般地， 如果axn，那么x叫做a的n次方根。其中nnn, 1. 2、 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aann；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，aann

12、. 3、 我們規(guī)定：mnmnaa1,0*mnnma；01naann；4、 運(yùn)算性質(zhì)：qsraaaasrsr, 0；qsraaarssr,0；qrbabaabrrr, 0,0. 2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：1, 0 aaayx2、性質(zhì)：2.2.1、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算1、指數(shù)與對數(shù)互化式：logxaanxn；2、對數(shù)恒等式：loganan. 3、基本性質(zhì)：01loga，1log aa. 4、運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)0,0,1,0nmaa時(shí)：nmmnaaalogloglog；nmnmaaalogloglog；mnmanaloglog. 1a10a圖象-1-4-201-1-4-201性質(zhì)(1) 定義域：

13、 r （2）值域：（0，+）（3）過定點(diǎn)（ 0，1） ，即 x=0 時(shí)， y=1 （4）在 r 上是增函數(shù)（4）在 r上是減函數(shù)(5)0,1xxa; 0,01xxa(5)0,01xxa; 0,1xxa0a11y=axoyx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 4 - 5、換底公式：abbccalogloglog0, 1,0, 1,0bccaa. 6、重要公式：loglognmaambbn7、 倒數(shù)關(guān)系：abbalog1log1, 0, 1, 0bbaa. 2.2.2、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

14、1、記住圖象：1, 0logaaxya2、性質(zhì)：2.3、冪函數(shù)1、幾種冪函數(shù)的圖象：第三章：函數(shù)的應(yīng)用3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、方程0 xf有實(shí)根函數(shù)xfy的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)xfy有零點(diǎn) . 2、 零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)xfy在區(qū)間ba,上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有0bfaf，那么函數(shù)xfy在區(qū)間ba,內(nèi)有零點(diǎn)，即存在bac,，使得0cf，這個(gè)c也就是方程0 xf的根 . 3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法. 3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型3.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點(diǎn)圖，再用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗(yàn). 必修 2 數(shù)學(xué)知

15、識(shí)點(diǎn)第一章：空間幾何體1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球。棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺(tái)。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點(diǎn)；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。3、空間幾何體的表面積與體積圓柱側(cè)面積；lrs2側(cè)面1a10a圖象2.51.50.5-0.5-1-1.5-2-2.5-10

16、112.51.50.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1011性質(zhì)(1) 定義域：（0，+）（2）值域： r （3）過定點(diǎn)（ 1，0） ，即 x=1 時(shí)， y=0 （4）在 （0，+）上是增函數(shù)（4）在（ 0，+）上是減函數(shù)(5)0log, 1xxa；0log, 10 xxa(5)0log, 1xxa；0log, 10 xxa0a11y=logaxoyx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 5 - 圓錐側(cè)面積：lrs側(cè)面圓臺(tái)側(cè)面積：lrlrs側(cè)面體積公式：hsv柱體；hsv31錐體

17、；hssssv下下上上臺(tái)體31球的表面積和體積：32344rvrs球球，. 第二章：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、公理 1：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。2、公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。3、公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。4、公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行. 5、定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。6、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面。7、線面位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直線和平面相交。8、面面位置關(guān)系：平行、相交。9、線面平行：判定：平面外一

18、條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行）。性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則線線平行）。10、面面平行：判定：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（簡稱線面平行，則面面平行）。性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。11、線面垂直：定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個(gè)平面垂直。判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）。性質(zhì)：垂直于

19、同一個(gè)平面的兩條直線平行。12、面面垂直：定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。判定：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直）。性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 （簡稱面面垂直， 則線面垂直）。第三章：直線與方程1、傾斜角與斜率：1212tanxxyyk2、直線方程：點(diǎn)斜式：00 xxkyy斜截式：bkxy兩點(diǎn)式：121121yyyyxxxx截距式：1xyab一般式：0cbyax3、對于直線：222111:,:bxkylbxkyl有：212121/bbkkll；1l和2l相交12k

20、k；1l和2l重合2121bbkk；12121kkll. 4、對于直線：0:,0:22221111cybxalcybxal有：1221122121/cbcbbaball；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 6 - 1l和2l相交1221baba；1l和2l重合12211221cbcbbaba；0212121bbaall. 5、兩點(diǎn)間距離公式：21221221yyxxpp6、點(diǎn)到直線距離公式：2200bacbyaxd7、兩平行線間的距離公式：1l：01cbyax與2l：02cbyax

21、平行，則2221baccd第四章：圓與方程1、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：222rbyax其中 圓心為( , )a b，半徑為r.一般方程：022feydxyx. 其中 圓心為(,)22de， 半徑為22142rdef. 2、直線與圓的位置關(guān)系直線0cbyax與圓222)()(rbyax的位置關(guān)系有三種: 0相離rd; 0相切rd; 0相交rd. 弦長公式：222drl2212121()4kxxx x3、兩圓位置關(guān)系：21ood外離：rrd；外切：rrd；相交：rrdrr；內(nèi)切：rrd；內(nèi)含：rrd. 3、空間中兩點(diǎn)間距離公式：21221221221zzyyxxpp必修 3 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：算法1、

22、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法；3、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)示意圖：（圖 1）條件結(jié)構(gòu)示意圖：if - then - else 格式：（圖 2）if - then格式：語句 n+1 語句 n 滿足條件？語句 1 語句 2 是否滿足條件？是精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 7 - （圖 3）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：當(dāng)型 （while 型）循環(huán)結(jié)構(gòu)

23、示意圖：（圖 4）直到型 （until 型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：（圖 5）4、基本算法語句：輸入語句的一般格式：input “提示內(nèi)容” ；變量輸出語句的一般格式：print “提示內(nèi)容”；表達(dá)式賦值語句的一般格式：變量表達(dá)式（ “=”有時(shí)也用“” ）. 條件語句的一般格式有兩種：ifthen else 語句的一般格式為：ifthen 語句的一般格式為：循環(huán)語句的一般格式是兩種：當(dāng)型循環(huán)（ while ）語句的一般格式：直到型循環(huán)（until）語句的一般格式：算法案例：輾轉(zhuǎn)相除法結(jié)果是以相除余數(shù)為0 而得到利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：） ： 用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n 得到一個(gè)商0s和一

24、個(gè)余數(shù)0r；） ：若0r0，則 n 為 m ，n 的最大公約數(shù)；若0r0，則用除數(shù)n 除以余數(shù)0r得到一個(gè)商1s和一個(gè)余數(shù)1r；） ：若1r0，則1r為 m ， n 的最大公約數(shù)； 若1r0，則用除數(shù)0r除以余數(shù)1r得到一個(gè)商2s和一個(gè)余數(shù)2r；依次計(jì)算直至nr0，此時(shí)所得到的1nr即為所求的最大公約數(shù)。更相減損術(shù)結(jié)果是以減數(shù)與差相等而得到利用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：） ：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2 約簡；若不是，執(zhí)行第二步。） ：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求

25、的最大公約數(shù)。進(jìn)位制十進(jìn)制數(shù)化為k 進(jìn)制數(shù) 除 k 取余法if 條件then語句 1 else 語句 2 end if if 條件 then語句end if （圖 3）（圖 2）while 條件循環(huán)體wend （圖4）do 循環(huán)體loop until 條件（圖5）滿足條件？循環(huán)體是否滿足條件？循環(huán)體是否精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 8 - k 進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)第二章：統(tǒng)計(jì)1、抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣（總體個(gè)數(shù)較少）系統(tǒng)抽樣（總體個(gè)數(shù)較多）分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在 n

26、 個(gè)個(gè)體的總體中抽取出n 個(gè)個(gè)體組成樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)（概率）均為nn。2、總體分布的估計(jì)：一表二圖：頻率分布表數(shù)據(jù)詳實(shí)頻率分布直方圖分布直觀頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。個(gè)位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫。3、總體特征數(shù)的估計(jì)：平均數(shù)：nxxxxxn321；取值為nxxx,21的頻率分別為nppp,21，則其平均數(shù)為nnpxpxpx2211；注意：頻率分布表計(jì)算平均數(shù)要取組中值。方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù)nxxx,21方差：

27、212)(1niixxns；標(biāo)準(zhǔn)差：21)(1niixxns注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。線性回歸方程變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系線性回歸方程：abxy（最小二乘法）1221niiiniix ynxybxnxaybx注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn)),(yx。第三章：概率1、隨機(jī)事件及其概率：事件：試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的特點(diǎn)；隨機(jī)事件a 的概率：1)(0,)(apnmap. 2、古典概型：基本事件： 一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果；古典

28、概型的特點(diǎn)：所有的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。古典概型概率計(jì)算公式：一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有 n 個(gè)，事件 a 包含了其中的m 個(gè)基本事件，則事件 a 發(fā)生的概率nmap)(. 3、幾何概型：幾何概型的特點(diǎn)：所有的基本事件是無限個(gè)；每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。幾何概型概率計(jì)算公式：的測度的測度ddap)(；其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件；如果事件naaa,21任意兩個(gè)都是互斥事件，則稱事件naaa,21彼此互斥。如果事件a，b 互斥，那么事件a+b 發(fā)生的概率，等于事件a，b 發(fā)生的概率的和，即：

29、)()()(bpapbap如果事件naaa,21彼此互斥，則有：)()()()(2121nnapapapaaap對立事件：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)要發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為對立事件。事件 a 的對立事件記作a)(1)(, 1)()(apapapap精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 9 - 對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。必修 4 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：三角函數(shù)1.1.1、任意角1、 正角、負(fù)角、零角、象限角的概念 . 2、 與角終邊相同的角的集合：zkk ,2. 1.1.

30、2、弧度制1、 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1 弧度的角 . 2、rl. 3、弧長公式 ：rrnl180. 4、扇形面積公式：lrrns213602. 1.2.1、任意角的三角函數(shù)1、 設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)yxp,，那么：xyxytan,cos,sin2、 設(shè)點(diǎn),a xy為角終邊上任意一點(diǎn)， 那么： （設(shè)22rxy）sinyr，cosxr，tanyx，cotxy3、sin，cos，tan在四個(gè)象限的符號(hào)和三角函數(shù)線的畫法. 正弦線： mp; 余弦線： om; 正切線： at5、 特殊角 0， 30， 45， 60，90， 180， 270 等的三角函數(shù)值 . 0 64

31、322334322sincostan1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1、 平方關(guān)系 ：1cossin22. 2、 商數(shù)關(guān)系 ：cossintan. 3、 倒數(shù)關(guān)系：tancot11.3 、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”zk）1、 誘導(dǎo)公式一 ：.tan2tan,cos2cos,sin2sinkkk（其中：zk）2、 誘導(dǎo)公式二 ：.tantan,coscos,sinsin3、誘導(dǎo)公式三 ：.tantan,coscos,sinsin4、誘導(dǎo)公式四 ：.tantan,coscos,sinsin5、誘導(dǎo)公式五 ：.sin2cos,cos2sin6、誘導(dǎo)公式六 ：.sin2c

32、os,cos2sin1.4.1 、正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxtmaopxy精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 10 - 2、能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性. 3、會(huì)用 五點(diǎn)法作圖 . sinyx在0, 2 x上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：30 010-12022（ ， ）（ ， ， ） （ ， ， ）（ ，）

33、（ ， ） .1.4.3 、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、記住正切函數(shù)的圖象：y=tanx322-32-2oyx2、記住余切函數(shù)的圖象：y=cotx3222-2oyx3、能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性. 周期函數(shù)定義 ：對于函數(shù)xf，如果存在一個(gè)非零常數(shù)t，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有xftxf，那么函數(shù)xf就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)t 叫做這個(gè)函數(shù)的周期 . 圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)xysinxycosxytan圖象定義域rr,2|zkkxx值域-1,1 -1,1 r最值maxmin2,122,12xkkzyxkkzy時(shí)

34、，時(shí)，maxmin2,12,1xkkzyxkkzy時(shí)，時(shí)，無周期性2t2tt奇偶性奇偶奇1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 11 - 單調(diào)性zk在2,222kk上單調(diào)遞增在32,222kk上單調(diào)遞減在2,2kk上單調(diào)遞增在2,2kk上單調(diào)遞減在(,)22kk上單調(diào)遞增對稱性zk對稱軸方程：2xk對稱中心(,0)k對稱軸方程：xk對稱中心(, 0)2k無對稱軸對稱中心, 0)(2k1.5 、函數(shù)xays

35、in的圖象1、對于函數(shù)：sin0,0yaxb a有：振幅 a，周期2t， 初相， 相位x， 頻率21tf. 2、能夠講出函數(shù)xysin的圖象與sinyaxb的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系 . 先平移后伸縮：sinyx平移|個(gè)單位sinyx（左加右減）橫坐標(biāo)不變si nyax縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶 倍縱坐標(biāo)不變sinyax橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?|倍平移|b個(gè)單位sinyaxb（上加下減）先伸縮后平移：sinyx橫坐標(biāo)不變sinyax縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶 倍縱坐標(biāo)不變sinyax橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?|倍平移個(gè)單位si nyax（左加右減）平移|b個(gè)單位sinyaxb（上加下減）3、三角函數(shù)的周期，對稱軸和對稱中

36、心函數(shù)sin()yx， xr及函數(shù)cos()yx，xr(a,為常數(shù)，且a0) 的周期2|t；函數(shù)tan()yx，,2xkkz(a, ,為常數(shù)，且a0)的周期|t. 對 于s i n ()yax和cos()yax來說， 對稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.求函數(shù)sin()yax圖像的對稱軸與對稱中心，只需令()2xkkz與()xkkz解出x即可 . 余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得. 4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式利用圖像特征：maxmin2yya，maxmin2yyb. 要根據(jù)周期來求,要用圖像的關(guān)鍵點(diǎn)來求. 1.6 、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用1、 要求熟悉課本例題. 第三章、三角恒等變換3.

37、1.1 、兩角差的余弦公式記住 15的三角函數(shù)值：sincostan12426426323.1.2 、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、sincoscossinsin2、sincoscossinsin精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 2 - 3、sinsincoscoscos4、sinsincoscoscos5、tantan1 tantantan. 6、tantan1 tantantan. 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、cossin22sin，變形 ：12si

38、ncossin2. 2、22sincos2cos1cos222sin21. 變形如下：升冪公式：221cos22cos1cos22sin降冪公式：221cos(1cos2 )21sin(1cos2 )23、2tan1tan22tan. 4、sin21cos2tan1cos2sin 23.2 、簡單的三角恒等變換1、 注意 正切化弦、平方降次. 2、輔助角公式)sin(cossin22xbaxbxay（ 其 中 輔 助 角所 在 象 限 由 點(diǎn)( , )a b的 象 限 決定,tanba ). 第二章：平面向量2.1.1、向量的物理背景與概念1、 了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度. 2、

39、 既有大小又有方向的量叫做向量 . 2.1.2、向量的幾何表示1、 帶有方向的線段叫做有向線段 ，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度. 2、向量ab的大小，也就是向量ab的長度（或稱模） ，記作ab；長度為零的向量叫做零向量 ；長度等于 1 個(gè)單位的向量叫做單位向量 . 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量） . 規(guī)定：零向量與任意向量平行. 2.1.3 、相等向量與共線向量1、 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 2.2.1 、向量加法運(yùn)算及其幾何意義1、 三角形加法法則和 平行四邊形加法法則. 2、baba. 2.2.2 、向量減法運(yùn)算及其幾何意義1、 與a長度

40、相等方向相反的向量叫做a的相反向量 . 2、 三角形減法法則和 平行四邊形減法法則. 2.2.3 、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1、 規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做 向量的數(shù)乘 . 記作：a，它的長度和方向規(guī)定如下：aa, 當(dāng)0時(shí) , a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí), a的方向與a的方向相反 . 2、 平面向量共線定理：向量0aa與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ab. 2.3.1 、平面向量基本定理精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 3 - 1、 平面向量基本定理

41、：如果21,ee是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量， 那么對于這一平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)21,，使2211eea. 2.3.2 、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1、yxjyi xa,. 2.3.3 、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、 設(shè)2211,yxbyxa，則：2121,yyxxba，2121,yyxxba，11, yxa，1221/yxyxba. 2、 設(shè)2211,yxbyxa，則：1212,yyxxab. 2.3.4 、平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè)332211,yxcyxbyxa，則線段 ab中點(diǎn)坐標(biāo)為222121,yyxx， abc的重心坐標(biāo)為33321321,yyyxxx. 2.4.1 、

42、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、cosbaba. 2、a在b方向上的投影為：cosa. 3、22aa. 4、2aa. 5、0baba. 2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、 設(shè)2211,yxbyxa，則：2121yyxxba2121yxa121200aba bx xy y1221/ /0ababx yx y2、 設(shè)2211,yxbyxa，則：212212yyxxab. 3、 兩向量的夾角公式121222221122c o sx xy ya ba bxyxy4、點(diǎn)的平移公式平移前的點(diǎn)為( , )p x y（原坐標(biāo)），平移后的對應(yīng)點(diǎn)為(,)p xy（新坐標(biāo)） ，平移向量為( ,

43、)pph k，則.xxhyyk函數(shù)( )yf x的圖像按向量( , )ah k平移后的圖像的解析式為().ykf xh2.5.1 、平面幾何中的向量方法2.5.2 、向量在物理中的應(yīng)用舉例知識(shí)鏈接：空間向量空間向量的許多知識(shí)可由平面向量的知識(shí)類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納 . 1、直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量：若 a、 b 是直線l上的任意兩點(diǎn)， 則ab為直線l的一個(gè)方向向量； 與ab平行的任意非零向量也是直線l的方向向量 . 平面的法向量：若向量n所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量 . 精品學(xué)

44、習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 4 - 平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系設(shè)平面的法向量為( , , )nx y z求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)123123(,),(,)aa aabb b b根據(jù)法向量定義建立方程組00n an b.解方程組， 取其中一組解， 即得平面的法向量 . （如圖）2、 用向量方法判定空間中的平行關(guān)系線線平行設(shè)直線12,l l的方向向量分別是a b、，則要證明1l2l，只需證明ab，即()akb kr. 即：兩直線平行或重合兩直線的方向向

45、量共線。線面平行（法一） 設(shè)直線l的方向向量是a，平面的法向量是u， 則要證明l， 只需證明au， 即0a u. 即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可 .面面平行若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要證，只需證uv，即證uv. 即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線線垂直設(shè)直線12,l l的方向向量分別是a b、，則要證明12ll，只需證明ab，即0a b. 即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。線面垂直（法一） 設(shè)直線l的方向向量是

46、a，平面的法向量是u， 則要證明l， 只需證明au， 即au.（法二） 設(shè)直線l的方向向量是a，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為mn、，若0,.0a mla n則即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要證，只需證uv，即證0u v. 即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角求異面直線所成的角已知,a b為兩異面直線，a，c 與 b，d 分別是,a b上的任意兩點(diǎn)，,a b所成的角為，則cos.ac bdac bd求直線和平面所成的角定義： 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成

47、的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角求法： 設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角的余角 .即有：coss.ina ua u求二面角定義： 平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 5 - 其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任 取 一 點(diǎn)o， 分 別 在 兩 個(gè) 半 平

48、 面 內(nèi) 作 射 線lbolao,，則aob為二面角l的平面角 . 如圖：求法：設(shè)二面角l的兩個(gè)半平面的法向量分 別 為m n、， 再 設(shè)m n、的 夾 角 為， 二 面 角l的平面角為，則二面角為m n、的夾角或其補(bǔ)角.根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則coscosm nm n，即arccosm nm n；如果是鈍角，則coscosm nm n，即arccosm nm n. 5、利用法向量求空間距離點(diǎn) q到直線l距離若 q為直線l外的一點(diǎn) ,p在直線l上，a為直線l的方向向量，b=pq，則點(diǎn) q到直線l距離為221(|)()|haba ba點(diǎn) a 到平面的距離若點(diǎn) p 為平面外一

49、點(diǎn)，點(diǎn)m 為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為n，則p 到平面的距離就等于mp在法向量n方向上的投影的絕對值. 即cos,dmpn mpn m pmpn mpn mpn直線a與平面之間的距離當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。即.n mpdn兩平行平面,之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。即.n mpdn異面直線間的距離設(shè)向量n與兩異面直線,a b都垂直，,ma pb則兩異面直線,a b間的距離d就是mp在向量n方向上投影的絕對值。即.n mpdn6、三

50、垂線定理及其逆定理三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直推理模式：,poopaaapaaaoao a b o a b l apoa精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 6 - 21abdc概括為：垂直于射影就垂直于斜線.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式：,poopaaaaoaaap概括為：垂直于斜線就垂直于射影. 7、三余弦定理設(shè) ac是平面內(nèi)的任一條直線

51、， ad是的一條斜線 ab在內(nèi)的射影， 且 bd ad ，垂足為 d.設(shè) ab與 (ad) 所成的角為1， ad 與 ac所成的角為2， ab與 ac所成的角為則12coscoscos. 8、 面積射影定理已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為s s原， 它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為s s射，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則cos=.ssss射原9、一個(gè)結(jié)論長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為123lll、 、，夾角分別為123、, 則有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）. 必修

52、 5 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：解三角形1、正弦定理：rccbbaa2sinsinsin. （其中r為abc外接圓的半徑）2sin,2sin,2sin;ara brb crcsin,sin,sin;222abcabcrrr:sin:sin:sin.a b cabc用途：已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它元素。2、余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos .abcbcabacacbcababc222222222cos,2cos,2cos.2bcaabcacbbacabccab用途：已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；已知三角形三邊，求其它元素。

53、做題中兩個(gè)定理經(jīng)常結(jié)合使用. 3、三角形面積公式：bacabccabsabcsin21sin21sin214、三角形內(nèi)角和定理：在 abc中，有()abccab222cab222()cab. 5、一個(gè)常用結(jié)論：在abc中，sinsin;ababab若sin 2sin 2 ,.2ababab則或特別注意，在三角函數(shù)中，sinsinabab不成立。第二章：數(shù)列1、數(shù)列中na與ns之間的關(guān)系：11, (1),(2).nnnsnassn注意通項(xiàng)能否合并。2、等差數(shù)列：定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即na1na=d ， （n2，nn ） ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)

54、列。等差中項(xiàng)：若三數(shù)aab、 、成等差數(shù)列精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 7 - 2aba通項(xiàng)公式：1(1)()nmaandanm d或(napnq pq、 是常數(shù)） .前n項(xiàng)和公式：11122nnn nn aasnad常用性質(zhì)：若nqpnmqpnm,，則qpnmaaaa；下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng),2mkmkkaaa，仍組成等差數(shù)列；數(shù)列ban（b,為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；若na、nb是等差數(shù)列，則nka、nnkapb(k、p是非零常數(shù) )、*(,)p nqap qn、 ，也成等差數(shù)

55、列。單調(diào)性：na的公差為d，則：）0dna為遞增數(shù)列；）0dna為遞減數(shù)列；）0dna為常數(shù)列；數(shù)列 na為等差數(shù)列napnq（p,q 是常數(shù)）若等差數(shù)列na的前n項(xiàng)和ns，則ks、kkss2、kkss23是等差數(shù)列。3、等比數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。等比中項(xiàng)：若三數(shù)ab、 g、成等比數(shù)列2,gab（ab同號(hào)）。反之不一定成立。通項(xiàng)公式：11nn mnmaa qa q前n項(xiàng)和公式：11111nnnaqaa qsqq常用性質(zhì)若nqpnmqpnm,，則mnpqaaaa；,2mkmkkaaa為等比數(shù)列，公比為kq(下標(biāo)成等差

56、數(shù)列 ,則對應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列) 數(shù)列na（為不等于零的常數(shù)） 仍是公比為q的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列na；則lgna是公差為lg q的等差 數(shù)列；若na是等比數(shù)列，則2nncaa，1na，()rnarz是等比數(shù)列， 公比依次是21.rqqqq， ，單調(diào)性：110,10,01aqaq或na為遞增數(shù)列；110,010,1naqaqa或?yàn)檫f減數(shù)列；1nqa為常數(shù)列；0nqa為擺動(dòng)數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。若等比數(shù)列na的前n項(xiàng)和ns，則ks、kkss2、kkss23是等比數(shù)列 . 4、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法類型觀察法： 已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對所給的項(xiàng)觀察

57、分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。類型公式法：若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和ns與na的關(guān)系，求數(shù)列na的通項(xiàng)na可用公式11, (1),(2)nnnsnassn構(gòu)造兩式作差求解。用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”， 即分段式； 另一種是 “合二為一”， 即1a和na合為一個(gè)表達(dá)， （要先分1n和2n兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 24 頁 - - - - - - - - - 8 - 類型累加法：形如)(1nfaann型的遞推數(shù)列 （其中)(nf是關(guān)于n的函

58、數(shù)）可構(gòu)造：11221(1)(2).(1.)nnnnaaf naaf naaf將上述1n個(gè)式子兩邊分別相加，可得：1(1)(2). (2)(1),(2)naf nf nffan若( )f n是關(guān)于n的一次函數(shù)， 累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和 ; 若( )f n是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和 ; 若( )f n是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和; 若( )f n是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和. 類型累乘法：形如1( )nnaaf n1( )nnaf na型的遞推數(shù)列 （其中)(nf是關(guān)于n的函數(shù)）可構(gòu)造：11221(1)(.2)(1.)nnnnaf naaf naafa將上

59、述1n個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：1(1)(2) .(2)(1) ,(2)naf nf nffan有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。類型構(gòu)造數(shù)列法：形如qpaann 1（其中,p q均為常數(shù)且0p）型的遞推式：（1）若1p時(shí)，數(shù)列 na為等差數(shù)列 ; （2）若0q時(shí)，數(shù)列 na 為等比數(shù)列 ; （3） 若1p且0q時(shí)， 數(shù)列 na為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求. 方法有如下兩種：法一：設(shè)1()nnap a, 展開移項(xiàng)整理得1(1)nnapap, 與題設(shè)1nnapaq比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得1,(0)()111nnqqqpap appp1()11nnq

60、qap app, 即1nqap構(gòu)成以11qap為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列. 再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出1nqap的通項(xiàng)整理可得.na法二：由qpaann 1得1(2)nnapaq n兩式相減并整理得11,nnnnaapaa即1nnaa構(gòu)成以21aa為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列. 求出1nnaa的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型（累加法）便可求出.na形如1( )nnapaf n(1)p型的遞推式 ：當(dāng)( )f n為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)1(1)nnaanbp aa nb，通過待定系數(shù)法確定ab、的值，轉(zhuǎn)化成以1aab為首項(xiàng)， 以p為公比的等比數(shù)列naanb，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出na