重提數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)

1、重提數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)張興華不久前拜讀了鄭毓信教授一篇論述變式理論的文章，文中提出了“中國(guó)數(shù)學(xué)教育優(yōu)秀傳統(tǒng)的繼承和發(fā)展的問(wèn)題”，并倡導(dǎo)“理論視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”，給我許多啟示。由此想起了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)實(shí)在也算得上是優(yōu)秀的傳統(tǒng)理論，因?yàn)槎嗄陙?lái)許多教師的教學(xué)之所以富有成效，多半是自覺(jué)與不自覺(jué)地運(yùn)用心理學(xué)的原理、規(guī)律于實(shí)踐的結(jié)果。只是，近幾年在理論上我們比較關(guān)注新課程理念，而數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)卻漸漸淡出了我們的視線(xiàn)。也就是說(shuō)，現(xiàn)在青年教師們已經(jīng)缺失了數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)，我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課程還沒(méi)有置于科學(xué)理論的視角下。數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)：經(jīng)典課堂的永恒支柱我們不妨留意一下，近年來(lái)省級(jí)和省級(jí)以上教育報(bào)刊發(fā)表的數(shù)

2、學(xué)教學(xué)論文中已經(jīng)很少有“數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)”的核心詞。即使有，也是很成問(wèn)題的。最近常見(jiàn)到“表象”這個(gè)詞，但多作表面現(xiàn)象講，如“從表象看，”列舉了一些表面現(xiàn)象后說(shuō)“這些都是表象，透過(guò)表象，其實(shí)質(zhì)是”天哪！表象是感知過(guò)的事物留在腦中的形象，怎么能望文生義說(shuō)成是表面現(xiàn)象呢？再一個(gè)就是“變式”。變式只是心理學(xué)理論滄海之一粟，不知什么時(shí)候引得大家的熱捧和關(guān)注，談得不少。有上升為“變式理論”的，有總結(jié)為“變式教學(xué)模式”的，也還有解釋為變化了的式子的，像45÷9=45×3÷（9×3）之類(lèi)，只要式子變化了就是變式！學(xué)科教學(xué)心理學(xué)這塊剛被開(kāi)墾的處女地，現(xiàn)在又是雜草叢生，滿(mǎn)目荒

3、蕪了。但是，耐人尋味的是，每每經(jīng)典的、引人注目的教學(xué)設(shè)計(jì)，在其背后都能找到數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的內(nèi)核。我們不妨來(lái)看看張齊華老師“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的一個(gè)片段：一開(kāi)始，通過(guò)分蛋糕和簡(jiǎn)短的討論，讓學(xué)生知道：把一個(gè)蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2。接著，張老師給每位學(xué)生準(zhǔn)備了同樣的長(zhǎng)方形紙，讓學(xué)生“動(dòng)手折一折”，并“涂出它的1/2”。學(xué)生折啊，涂啊。交流的時(shí)候，有的學(xué)生橫著對(duì)折，涂出了其中的1/2：，有的學(xué)生豎著對(duì)折，涂出它的1/2：，有的斜著平均折成兩份，涂出了它的1/2：，張老師指著這些不同形狀的陰影部分問(wèn)學(xué)生：“這些陰影部分形狀不同，為什么都是這張紙的1/2？”學(xué)生一一回答：“我把這張紙橫著對(duì)折，就是把它

4、平均分成兩份，其中這一份當(dāng)然是它的1/2。”“我把這張紙豎著對(duì)折，就是把它平均分成兩份，每一份是它的1/2?！薄拔译m然是斜著折的，但是是把這張紙平均折成了兩份，這一份雖然形狀不同，但也是這張紙的1/2?！睆埨蠋熣f(shuō)，不管把紙?jiān)鯓诱?，也不管折成的每一份是什么形狀，只要是把這張紙平均分成兩份，每一份就是它的1/2。后來(lái)，認(rèn)識(shí)1/4時(shí)，張老師給學(xué)生準(zhǔn)備了各種不同形狀的紙，要求學(xué)生折一折，并涂出其中的1/4，學(xué)生折啊，涂啊，出現(xiàn)了這些情況： 張老師又問(wèn)學(xué)生：這里圖形的形狀也不相同了，陰影部分形狀和大小也都不同，為什么都是原來(lái)這個(gè)圖形的1/4。學(xué)生一一回答，都是說(shuō)我把這張紙平均分成了4份，每一份

5、是這張紙的1/4。最后老師總結(jié)道：不管是什么形狀的紙，也不管涂色部分是什么形狀，只要把它平均分成4份，每份就是這張紙的1/4。這樣，學(xué)生對(duì)1/2、1/4分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)達(dá)到了概括化程度很高的理解。為什么呢？就是因?yàn)檫\(yùn)用了心理學(xué)變式原理！然而，當(dāng)我私下里與老師們溝通時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)大家對(duì)這一片段的認(rèn)識(shí)多著眼于當(dāng)下時(shí)髦的學(xué)習(xí)方式的改善上。有的說(shuō)這是讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐得好，折出那么多的1/2、1/4；有的說(shuō)這是讓學(xué)生自主探索得好，這是算法多樣化，折法多樣化，涂法多樣化；有的說(shuō)這是合作交流得充分。有老師甚至不理解張老師兩次運(yùn)用變式的奧妙，覺(jué)得兩次操作后兩次發(fā)問(wèn)幾乎一樣，是不是有重復(fù)和雷同感他們不知道，張老師在這里兩次

6、運(yùn)用了變式原理，而兩次的著眼點(diǎn)不同，第一次用同一張紙，第二次用不同的紙。那什么是變式呢？心理學(xué)研究表明，抽象的概念需要熟悉廣泛、眾多的事物才得以形成。變式就是從不同角度組織感性材料，變換事物的非本質(zhì)特征，在各種表現(xiàn)形式中突出事物的本質(zhì)特征，從而使學(xué)生對(duì)概念的理解達(dá)到越來(lái)越高的概括化程度。張老師是深諳此理的，為了使學(xué)生能深刻認(rèn)識(shí)1/2、1/4，變換非本質(zhì)屬性，讓學(xué)生用不同方法折出、涂出各種形狀的1/2、1/4，從而突出不管用什么紙折，不管怎樣折，只要把紙平均分成2份，每份就是它的1/2，只要把紙平均分成4份，每份就是它的1/4。理論的光芒是普照的。你真正掌握了變式原理，就可以普遍地運(yùn)用于概念教學(xué)

7、中。比如學(xué)習(xí)垂直概念，教師開(kāi)始往往出示標(biāo)準(zhǔn)的垂直圖形，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)，相交成直角的兩條直線(xiàn)互相垂直，這概念是表征得不錯(cuò)，但這一標(biāo)準(zhǔn)圖形的提供，無(wú)形中就增加了概念的內(nèi)涵：相交成直角的豎直、水平方向的兩條直線(xiàn)，互相垂直。而看到就不認(rèn)賬，這種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，常常影響到畫(huà)垂線(xiàn)和在三角形、平行四邊形、梯形中畫(huà)高，而張老師教學(xué)垂直，由于深諳變式原理，不僅提供垂直的標(biāo)準(zhǔn)式，而且提供垂直的各種變式，過(guò)直線(xiàn)外或直線(xiàn)上一點(diǎn)畫(huà)垂線(xiàn)，不僅要畫(huà)水平方向直線(xiàn)的垂線(xiàn)，而且要畫(huà)出鉛直方向的、斜方向的直線(xiàn)的垂線(xiàn)。這樣學(xué)生對(duì)互相垂直就達(dá)到了概括化的理解：不管直線(xiàn)方向如何，只要兩條直線(xiàn)相交成直角就互相垂直。掌握教學(xué)心理的老師在概念教學(xué)

8、中就可以自如地普遍應(yīng)用變式，不懂得教學(xué)心理的老師只能是依樣學(xué)樣，機(jī)械克隆，如法拷貝。在概念教學(xué)中，說(shuō)到變式，常常還要說(shuō)到“反例”。現(xiàn)在的教育心理學(xué)已把反例整合到變式中去了，請(qǐng)?jiān)试S我在這里仍然沿用反例的說(shuō)法。什么是反例呢？反例就是故意變換事物的本質(zhì)特征，使之質(zhì)變?yōu)榕c之形似的他事物，在比較與思辨中反襯和突出事物的本質(zhì)特征，從而更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)概念，在教學(xué)中反例常常和變式一并提供。例如讓學(xué)生辨析：下面的圖形，哪些是角，哪些不是角？（略） 又如讓學(xué)生辨析，下面哪些圖形是梯形，在梯形下面的括號(hào)里打：（略） 如果說(shuō)，變式是多方面地從正面強(qiáng)化概念的本質(zhì)屬性的話(huà)，那么，反例恰恰是從反面來(lái)反襯和

9、激生對(duì)概念的本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)。我們?cè)賮?lái)看一個(gè)教學(xué)片段：面積單位（平方分米）的教學(xué)。學(xué)生學(xué)過(guò)平方厘米，知道邊長(zhǎng)是1厘米的正方形，面積是1平方厘米，而且已經(jīng)形成了平方厘米的空間表象，之后我讓學(xué)生用平方厘米度量相關(guān)圖形的面積、郵票的面積，然后不露聲色地讓學(xué)生度量課始出現(xiàn)的鏡框玻璃或凳面的面積，有的學(xué)生有點(diǎn)猶豫，有的學(xué)生還真的一平方厘米一平方厘米地度量，等到大家都覺(jué)得這樣量很麻煩時(shí)，我問(wèn)大家有什么想法，學(xué)生說(shuō)：最好有一個(gè)大一點(diǎn)的面積單位來(lái)度量，我趁勢(shì)讓學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)大一點(diǎn)的面積單位。有學(xué)生創(chuàng)造出了平方分米，我就說(shuō)：“好，就用平方分米。”那什么是1平方分米呢？學(xué)生猜想（實(shí)際上是類(lèi)比推理）：邊長(zhǎng)1分米的正方形

10、，面積是1平方分米。我隨即出示一個(gè)平方分米的模型，橘紅色的（這里還有感知原理），指著比劃著說(shuō)：“哎！邊長(zhǎng)1分米的正方形，面積是1平方分米，現(xiàn)在我們來(lái)仔細(xì)觀察平方分米這個(gè)面積單位。這里，平方分米是什么形狀的？（生答：正方形。）它有多大？（生答：邊長(zhǎng)1分米的正方形這么大?。┛辞辶藛幔浚ㄉ穑嚎辞辶?。）看清了，就請(qǐng)大家把眼睛閉起來(lái)，在腦子里面想：剛才看到的平方分米是什么形狀的？有多大？”（全體學(xué)生閉眼回想。）一會(huì)兒，我說(shuō)：大家在腦子里留下了平方分米了嗎？（學(xué)生仍閉著眼睛回想，答：留下了。）留下了就把眼睛睜開(kāi)?，F(xiàn)在請(qǐng)把信封里的平面圖形拿出來(lái)（每個(gè)人的信封里預(yù)先都裝著三四個(gè)正方形，邊長(zhǎng)1.2分米的、邊長(zhǎng)

11、1分米的、邊長(zhǎng)0.8分米的）我說(shuō)：誰(shuí)能很快地把平方分米挑出來(lái)。很多學(xué)生都很快地把平方分米挑了出來(lái)，相互交流。也有少數(shù)學(xué)生挑錯(cuò)了，我再引導(dǎo)糾正。這個(gè)教學(xué)案例中實(shí)際上有五六個(gè)心理學(xué)原理：如何激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，如何引起聯(lián)想，如何激發(fā)再造想象，如何組織首次感知，如何建立表象。但是，課上下來(lái)，老師們卻較多地關(guān)注閉眼回想的環(huán)節(jié)，都覺(jué)得讓學(xué)生“先觀察，再閉眼睛回想，又在一堆圖形中挑出”特別好，說(shuō)是把平方分米的意義教活了。至于平方分米的顏色為何是顯眼的橘紅色，為何要閉眼，為何要挑圖形，則不知底里！有的老師在后來(lái)自己的教學(xué)中竟也樂(lè)于讓學(xué)生閉眼。有一次在隨意聽(tīng)課時(shí)，我就看到這種情況，老師教的是應(yīng)用題。通過(guò)例題教學(xué)，得

12、出了一個(gè)數(shù)量關(guān)系式：總數(shù)量÷相對(duì)應(yīng)的份數(shù)=平均數(shù)，課講得很好！但是接著就見(jiàn)老師講：請(qǐng)大家把這個(gè)數(shù)量關(guān)系式仔細(xì)觀察一下，然后把眼睛閉起來(lái)，在腦子里想一想，剛才我們觀察的數(shù)量關(guān)系式是怎樣的，在腦子里留下來(lái)了嗎？學(xué)生答：留下了。老師說(shuō)：留下了就把眼睛睜開(kāi)。天哪！我讓學(xué)生閉眼回想是為了讓學(xué)生把感知過(guò)的平方分米的樣子留在腦子里，形成表象。兒童認(rèn)知概念是循著“形象表象抽象”的過(guò)程進(jìn)行的。數(shù)量關(guān)系式已是抽象規(guī)則，怎能再拽回到形象、表象的階段，讓學(xué)生閉眼回想呢？以上兩個(gè)案例說(shuō)明現(xiàn)在許多教師數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的缺失。盡管許多優(yōu)秀教師在教學(xué)過(guò)程中也都注意了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，改進(jìn)教學(xué)方法，研究并解決各種教學(xué)問(wèn)

13、題，但是都是憑著教學(xué)經(jīng)驗(yàn)而為。當(dāng)然，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)也能幫助我們解決問(wèn)題，但這種經(jīng)驗(yàn)沒(méi)有經(jīng)過(guò)理性思辨，并不能對(duì)學(xué)和教做出科學(xué)的解讀，也就常常不具備一般意義。正如上述認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)教學(xué)，僅認(rèn)識(shí)1/2、1/4可以如是拷貝，而不能普遍運(yùn)用于概念教學(xué)中。認(rèn)識(shí)平方分米中的“閉眼回想”，不是包治百病的靈丹妙藥，到處可用，而只是為了讓學(xué)生形成平方分米的表象，把它在腦子里留下來(lái)。顯然，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)確實(shí)要置于數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)理論的視角之下了。數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)關(guān)注什么說(shuō)到這里，究竟什么是數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)呢？數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)有哪些內(nèi)容呢？今天又準(zhǔn)備怎樣重提數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)呢？心理學(xué)獨(dú)立地成為一門(mén)科學(xué)，至今已有130年歷史。但是，從它誕生

14、之日起，就與教育密切地結(jié)合在一起，形成了教育心理學(xué)（教學(xué)心理學(xué)）的應(yīng)用性研究。把心理學(xué)原理應(yīng)用于學(xué)科教學(xué)，盡管只有五六十年歷史，但已成為學(xué)科教學(xué)的迫切需要。小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)與教，時(shí)刻反映著人的心理活動(dòng)，亟需在心理學(xué)的理論指導(dǎo)下進(jìn)行實(shí)踐。數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)作為一門(mén)科學(xué)，具有豐富的內(nèi)容，很難三言?xún)烧Z(yǔ)說(shuō)清楚。這里不妨從奧蘇伯爾的一段話(huà)說(shuō)起，來(lái)略談一二吧！關(guān)于學(xué)習(xí)的過(guò)程，著名認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾說(shuō)過(guò)：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話(huà)，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)生學(xué)習(xí)新知的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道些什么。要探明這一點(diǎn)，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。”現(xiàn)在，我們不妨把這高度濃縮的一條原理化解開(kāi)來(lái)

15、，看看有哪些心理學(xué)原理，讓我選擇幾條來(lái)重提一下。第一，許多心理學(xué)原理關(guān)注“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”。1傳統(tǒng)的認(rèn)知心理學(xué)中的準(zhǔn)備學(xué)習(xí)就關(guān)注“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”。奧蘇伯爾的認(rèn)知心理理論認(rèn)為：“一切新的學(xué)習(xí)都是在原有學(xué)習(xí)的根基上產(chǎn)生的，新知總是通過(guò)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用后獲得意義的?！边@樣，探明新知賴(lài)以建立的相關(guān)舊知，使“新知之舟泊于其錨樁上”，就成為學(xué)生獲得新知的重要前提了。所以，教學(xué)某項(xiàng)新知前，教師應(yīng)在學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中探明：新知需要哪些舊知支撐，并且組織重現(xiàn)、喚起、激活，使學(xué)生學(xué)習(xí)新知處于良好的準(zhǔn)備狀態(tài)，這便是認(rèn)知心理學(xué)的準(zhǔn)備學(xué)習(xí)。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法“9加幾”的

16、計(jì)算，教師組織了如下已知進(jìn)行復(fù)習(xí)、激活。（1）學(xué)生逐題分解后，師說(shuō)：唉，這些數(shù)都可以分成1和另外一個(gè)數(shù)。（2）9（  ）10生齊答：9（1）10師（強(qiáng)調(diào)）：唉，9加上了1，就正好湊成了10，9和1是一對(duì)好朋友。（3）把下面“”外的三個(gè)數(shù)連加起來(lái)。動(dòng)腦筋，很快算出結(jié)果來(lái)。   師：（指名算得快的學(xué)生）你們?yōu)槭裁此愕眠@么快？生：因?yàn)?加上1可以湊成10，我先把9加1得10，再用10加上第三個(gè)數(shù)，10加幾一下就算出十幾。教師在親切的談話(huà)中復(fù)現(xiàn)、激活相關(guān)舊知，加上學(xué)生解答后的追問(wèn)、強(qiáng)化，凸顯了9加幾轉(zhuǎn)化為10加幾的認(rèn)知趨勢(shì)。作為“先行組織者”，相關(guān)舊知的復(fù)習(xí)緊緊

17、對(duì)準(zhǔn)了新知，促進(jìn)新舊知識(shí)充分地積極地相互作用，形成了固定新知的準(zhǔn)備態(tài)勢(shì)和積極的學(xué)習(xí)心向，把學(xué)生的認(rèn)知推進(jìn)了新知的門(mén)檻。2. 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論關(guān)注的是全體學(xué)生各自的建構(gòu)潛能。新一輪基礎(chǔ)教育課程改革，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論是其重要的支撐理論。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)者的知識(shí)不是由教師傳授而獲得的，而是學(xué)習(xí)者在一定的社會(huì)文化背景下，根據(jù)已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法（在同伴及教師的幫助下）主動(dòng)地通過(guò)意義建構(gòu)的方式而獲得的。其間涉及情境、協(xié)作、會(huì)話(huà)和意義建構(gòu)四大要素。而所謂“意義建構(gòu)”，即是要使學(xué)習(xí)者將新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間建立起實(shí)質(zhì)性的、非人為的聯(lián)系，借助自身“已經(jīng)知道了什么”賦予新知識(shí)以意義。

18、這里，學(xué)習(xí)者已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)對(duì)于其能否實(shí)現(xiàn)對(duì)新知識(shí)的意義建構(gòu)具有至關(guān)重要的作用。有人會(huì)說(shuō)，這與傳統(tǒng)的準(zhǔn)備學(xué)習(xí)不是同一回事嗎？其實(shí)，這不是一回事！準(zhǔn)備學(xué)習(xí)，是對(duì)那些支撐新知學(xué)習(xí)的已有知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)、喚醒、激活，為新知學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備，是教師組織的；建構(gòu)主義學(xué)習(xí)不是教師統(tǒng)一組織相關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)，而是在一定的情境中由學(xué)生自主地調(diào)度各自已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法（我把它叫建構(gòu)潛能），與新知相互作用，建構(gòu)新知意義。因?yàn)閷W(xué)生家庭環(huán)境、文化背景和思維方式不同，他們已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法、思維方式等建構(gòu)潛能也有差異，基于各自已有經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)過(guò)程和結(jié)果也有不同，這樣就出現(xiàn)了算法多樣化，但是他們都在主動(dòng)地建構(gòu)、主動(dòng)地發(fā)展。建構(gòu)主義

19、學(xué)習(xí)的一個(gè)重要意義就在于能使全體學(xué)生都能有差異地得到發(fā)展。仍以9加幾的教學(xué)為例，教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生計(jì)算96?？稍鯓佑?jì)算呢？老師說(shuō)：“小朋友們一定能自己設(shè)法計(jì)算出結(jié)果?！边@是調(diào)用學(xué)生各自的相關(guān)已知來(lái)建構(gòu)新知方法。此時(shí)，基于各自原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)起來(lái)的方法真是豐富極了！有學(xué)生說(shuō)，96，我就從9起，一個(gè)一個(gè)往上數(shù)6個(gè)，數(shù)得15個(gè)；有學(xué)生說(shuō)，我從6里拿出1來(lái)，加到9上去，得10，再加上剩下的5，得15；有學(xué)生說(shuō)，我從9里拿出4來(lái)加到6上去，得10，再加上剩下的5，得15；有學(xué)生說(shuō)，我把9看成10，就多看了1（多加了1），從6里去掉1，10加5得15；還有學(xué)生說(shuō)，我把9和6都看成5，55得10

20、，再加上少加的4和1，得15有人說(shuō)，這不是算法多樣化嗎？這是的！從教育心理學(xué)的角度說(shuō)，這是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，讓學(xué)生在一定的情境中主動(dòng)地基于各自的已有知識(shí)建構(gòu)新知意義，才出現(xiàn)算法多樣化，全體學(xué)生都能有差異地得到發(fā)展。第一種是基于他數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，第二、三、四種都基于湊10、連加等已有經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的方法，第五種則基于樸素的假設(shè)思想而建構(gòu)的方法。3關(guān)注“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”，我們可以借助“原型啟發(fā)”，解決問(wèn)題。我們知道，學(xué)習(xí)者進(jìn)行新的學(xué)習(xí)，比如認(rèn)識(shí)新事物、學(xué)習(xí)新的概念或規(guī)則、解決新的問(wèn)題等，常?？梢允艿揭郧罢J(rèn)知的某些類(lèi)似事物和知識(shí)的啟示，從而找到獲取新知或解決新問(wèn)題的途徑。這種儲(chǔ)備在學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的類(lèi)似事

21、物就是“原型”，它對(duì)學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)新事物、解決新問(wèn)題所起的作用，心理學(xué)上叫作原型啟發(fā)。比如，魯班發(fā)明鋸子，鳥(niǎo)與飛機(jī)，蝙蝠與雷達(dá)，簡(jiǎn)算42/（43×42）等，當(dāng)然，學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否具有鮮明的“原型”以及學(xué)習(xí)者能否根據(jù)新的學(xué)習(xí)任務(wù)的特點(diǎn)，自覺(jué)地調(diào)動(dòng)相應(yīng)的原型，以實(shí)現(xiàn)“原型”的啟發(fā)價(jià)值，對(duì)于個(gè)體的學(xué)習(xí)活動(dòng)是至關(guān)重要的。第二，許多心理學(xué)原理還關(guān)注著學(xué)生對(duì)相關(guān)已知的掌握程度。1 遷移。遷移是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響。就小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)而言，遷移主要指先前的知識(shí)、技能對(duì)后來(lái)學(xué)習(xí)新的知識(shí)、技能的影響，如果是積極影響，就稱(chēng)為正遷移（或簡(jiǎn)稱(chēng)遷移）；如果是消極影響，就稱(chēng)為負(fù)遷移（簡(jiǎn)稱(chēng)干擾）。由于數(shù)學(xué)知識(shí)

22、都是內(nèi)在聯(lián)系著的，所以，遷移現(xiàn)象普遍存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中。從教學(xué)任務(wù)看，我們所期望并努力實(shí)現(xiàn)的當(dāng)然是促進(jìn)性的正遷移（并注意避免干擾性負(fù)遷移）。把握遷移原理的教師十分注意利用學(xué)生先前獲得的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)后繼學(xué)習(xí)施以積極影響，遷移為新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以擴(kuò)展和壯大。從遷移的原理來(lái)看，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（也就是已經(jīng)知道了什么）當(dāng)然是影響遷移的最關(guān)鍵因素。而直接影響遷移的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有三個(gè)變量：可利用性，即在新的學(xué)習(xí)任務(wù)面前，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否有適當(dāng)?shù)钠鸸潭ㄗ饔玫挠^念可以利用；可辨別性，就是新的有潛在意義的學(xué)習(xí)任務(wù)與同化它的原有概念系統(tǒng)的可辨別程度如何？也就是說(shuō)，學(xué)習(xí)者原有知識(shí)與要學(xué)習(xí)

23、的新知識(shí)之間的異同是否分辨清楚；穩(wěn)定性，就是在新的學(xué)習(xí)任務(wù)面前，原有的起固定作用的觀念的穩(wěn)定性和清晰性如何？原有觀念越穩(wěn)固越清晰，越有助于新的學(xué)習(xí)。知道了這一點(diǎn)，組織學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)就要注意：在學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中尋找和確定可以固定新知的相關(guān)舊知，為新的學(xué)習(xí)提供最佳關(guān)系和固定點(diǎn)。如學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義，可以從一個(gè)數(shù)乘以整數(shù)、一個(gè)數(shù)乘以小數(shù)的意義中類(lèi)推；學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)，可以根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)的內(nèi)在聯(lián)系，從除法的商不變規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)中遷移學(xué)習(xí)。學(xué)生掌握了三角形面積計(jì)算的推導(dǎo)方法，再學(xué)習(xí)梯形面積，可利用拼合圖形推導(dǎo)這一共同渠道，誘導(dǎo)學(xué)生自行遷移到梯形面積的推導(dǎo)中來(lái)。2. 同化和順應(yīng)。我們發(fā)現(xiàn)，建

24、構(gòu)主義理論只是籠統(tǒng)地說(shuō)明學(xué)習(xí)者基于已有知識(shí)建構(gòu)新知意義，并沒(méi)有說(shuō)明學(xué)習(xí)者是怎樣利用舊知建構(gòu)新知意義的。關(guān)于這一點(diǎn)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)解釋得清清楚楚，那就是同化和順應(yīng)。所學(xué)的新知識(shí)由于符合原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而順利地為原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)所接納，即為知識(shí)同化。如學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積計(jì)算后，學(xué)習(xí)正方形的面積計(jì)算，由于“正方形是一種特殊的長(zhǎng)方形”這一內(nèi)在聯(lián)系，很快感受到新舊知識(shí)間的相關(guān)契合，順利發(fā)生如下的同化過(guò)程：（1）感知新知問(wèn)題情境：正方形面積計(jì)算（2）新舊知相互作用：正方形是一種特殊的長(zhǎng)方形（長(zhǎng)和寬相等的長(zhǎng)方形）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)正方形邊長(zhǎng)長(zhǎng)方形的寬正方形邊長(zhǎng)（3）同化新知：長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬正方形面積=

25、邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)正方形面積的計(jì)算就同化在長(zhǎng)方形面積計(jì)算的方法中了。又如學(xué)生在學(xué)習(xí)正方形、長(zhǎng)方形、等腰三角形時(shí)已形成了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，學(xué)習(xí)圓時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓具有軸對(duì)稱(chēng)圖形的一切特征。因此圓也是軸對(duì)稱(chēng)圖形。有些知識(shí)一時(shí)無(wú)法被個(gè)體原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)所直接接受，必須進(jìn)行調(diào)整、重組乃至改造，重建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這便是順應(yīng)。比如學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法，教師先讓學(xué)生計(jì)算：56+36，3.45+33.8，+，然后逐題討論：（1）在豎式中整數(shù)加減法為什么要數(shù)位對(duì)齊？（突出：計(jì)數(shù)位相同才能相加）（2）在豎式中計(jì)算小數(shù)加減法為什么要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？（突出：小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊數(shù)位就對(duì)齊，計(jì)數(shù)單位相同才能加。）（3）同分母分?jǐn)?shù)加減法為什么分母相同分子可直接相加？（突出：分母相同，表示分?jǐn)?shù)單位相同，分子可以直接相加。）此時(shí)，學(xué)生已然明白，所有的加減法計(jì)算，只有在計(jì)數(shù)單位相同時(shí)才能直接相加。接著，出示異分母分?jǐn)?shù)加法+，問(wèn)學(xué)生：分子能直接相加嗎？生答：不能。師問(wèn)：為什么呢？生答：分母不同，分