2022年數(shù)列求和方法大全例題變式解析標(biāo)準(zhǔn)答案——強烈推薦

1、1 / 13 1.7 數(shù)列前 n項和求法知識點一倒序相加法特征描述：此種方法主要針對類似等差數(shù)列中112nnaaaa,具有這樣特點的數(shù)列思考：你能區(qū)分這類特征嗎？知識點二錯位相減法特征描述：此種方法主要用于數(shù)列nnba的求和，其中na為等差數(shù)列，nb是公比為q的等比數(shù)列，只需用nnsqs便可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和，但要注意討論q=1 和 q1 兩種情況思考：錯位時是怎樣的對應(yīng)關(guān)系？知識點三分組劃歸法特征描述：此方法主要用于無法整體求和的數(shù)列，例如1，112，11124，11124+ +112n，可將其通項寫成等比、等差等我們熟悉的數(shù)列分別進(jìn)行求和，再綜合求出所有項的和思考：求出通項公式后如何分組

2、？知識點四奇偶求合法特征描述：此種方法是針對于奇、偶數(shù)項，要討論的數(shù)列例如11357( 1)(21)nnsn， 要求 sn， 就必須分奇偶來討論，最后進(jìn)行綜合思考：如何討論？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2 / 13 知識點五裂項相消法特征描述：此方法主要針對12231111nna aa aaa這樣的求和，其中an是等差數(shù)列思考：裂

3、項公式你知道幾個？知識點六分類討論法特征描述： 此方法是針對數(shù)列na的其中幾項符號與另外的項不同，而求各項絕對值的和的問題，主要是要分段求. 思考：如何表示分段求和？考點一倒序相加法例題 1： 等差數(shù)列求和12nnsaaa變式 1： 求證：nnnnnnncnccc2)1()12(53210變式 2： 數(shù)列求和2222sin 1sin 2sin 3sin 89考點二錯位相減法例題 2： 試化簡下列和式：21123(0)nnsxxnxx變式 1： 已知數(shù)列)0()12( ,5,3 , 112aanaan，求前 n 項和。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

4、 - - 第 2 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -3 / 13 變式 2： 求數(shù)列23,2,3,naaana；的前 n 項和變式 3：求和：nnanaaas32321考點三：分組劃歸法例三： 求數(shù)列 1，112，11124，11124+ +112n的和 . 變式 1： 5，55，555， 5555，5(101)9n，；變式 2：1 3,24,35, (2),n n；變式 3： 數(shù)列 1,(1+2),(1+2+22), (1+2+

5、2 2+2 n1),前 n 項的和是（）a2 nb2 n2 c2 n+1n2 dn2n 考點四：奇偶求合法例四：11357( 1)(21)nnsn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -4 / 13 變式 1： 求和：n 1nsn-3 （-1 ）（4）nn變式 2：已知數(shù)列 an中 a1=2，an+an+1=1，sn為an前 n 項和，求 s

6、n變式 3：已知數(shù)列 an中 a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n3） ，sn為an前 n 項和，求 sn考點五：裂項相消法例五： an為首項為a1,公差為 d 的等差數(shù)列，求12233411111nnnsa aa aa aaa變式 1：1111,1 3 24 3 5(2)n n；變式 2： 數(shù)列通項公式為11nann；求該數(shù)列前n 項和變式 3： ：求和)12)(12()2(534312222nnnsn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

7、- - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -5 / 13 考點六：分類討論法例六： 在公差為d 的等差數(shù)列 an中，已知a110，且 a1，2a22，5a3成等比數(shù)列(1) 求 d，an；(2) 若 d0，求 |a1| |a2| |a3| |an|. 變式 1： 在等差數(shù)列na中，,369181716aaaa其前n項和為ns. （1）求ns的最小值，并求出ns的最小值時n的值；（2）求nnaaat21. 變 式2： 設(shè) 數(shù) 列na滿 足132, 511naaann， 已 知 存 在 常 數(shù)qp,使 數(shù) 列qpnan為等比數(shù)列

8、.求naaa21. 變式 3：已知等比數(shù)列 na中，1a=64，q=21，設(shè)nb=log2na，求數(shù)列 |nb| 的前 n 項和ns. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -6 / 13 答案及解讀考點一例一：等差數(shù)列求和12nnsaaa111()(1) aadand把項的次序反過來，則：()(1) nnnnsaadand+得：1112()

9、()nnnnnsaaaaaa個1()nn aa1()2nnn aas變式 1：思路分析：由mnnmncc可用倒序相加法求和。證：令)1()12(53210nnnnnncncccs則)2(35)12()12(0121nnnnnnnnccccncnsmnnmnccnnnnnncncncncns)22()22()22()22(2:)2()1 (210有nnnnnnnnccccns2)1()1(210等式成立變式 2：設(shè)2222sin 1sin 2sin 3sin 89s，又2222sin 89sin 88sin 87sin 1s，289s，892s考點二例二：21123(0)nnsxxnxx精品學(xué)習(xí)

10、資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -7 / 13 解：若x=1，則 sn=1+2+3+ +n = (1)2n n若 x 1,則21123nnsxxnx2323nnxsxxxnx兩式相減得：2(1)1nx sxx+nnnxx111nnxnxx21(1)1nnnxnxsxx變式 1：思路分析：已知數(shù)列各項是等差數(shù)列1，3，5， 2n-1 與等比數(shù)列1

11、20,naaaa對應(yīng)項積，可用錯位相減法求和。解：1)12(53112nnanaas2)12(5332nnanaaaasnnnanaaaasa)12(22221)1(:21132當(dāng)nnnnaaasaa) 12()1 ()1(21)1( ,121時21)1() 12() 12(1aananasnnn當(dāng)2,1nsan時變式 2：2323nnsaaana，當(dāng)1a時，123ns(1)2n nn，當(dāng)1a時，2323nsaaanna，23423nasaaa1nna，兩式相減得23(1)na saaa11(1)1nnnnaaananaa，212(1)(1)nnnnanaasa精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f

12、- - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -8 / 13 變式 3：nnanaaas32321解：2)1(3211nnnsan時，01aa時，因為nnanaaas323211321211nnnananaasa由得：)1) 1() 1() 1()1(2) 1() 1() 1()1(11)11(1111)11(22112aaaanaaannsaaanaasanaaaanaaasan

13、nnnnnnnnnn綜上所述，所以考點三例三： 求數(shù)列 1，112，11124，11124+ +112n的和 . 解：11111242nna111( )1221212nn1111(1)(1)224ns1111(1)242n精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -9 / 13 211(21)(2)(2)2211(2)2n11112(1)242n

14、n11222nn變式 1：555555555nns個5(999999999)9n個235(101)(101)(101)(101)9n23550510101010(101)9819nnnn變式 2：2(2)2n nnn， 原式222(1232)2(123n)n(1)(27)6n nn變式 3： c 考點四例四：解：當(dāng) n = 2k (kn+) 時 , 2(1 3)(57)nkss(43)(41)kk2kn當(dāng)21()nkkn時，21222 (41)nkkksssakk21kn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 13 頁 - - -

15、 - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -10 / 13 綜合得：1( 1)nnsn變式 1：解：當(dāng)n為偶數(shù)時： s1 591342nnnnn當(dāng)n為奇數(shù)時：1 59 134n 32ns（4 -3）（4 - ）n-1nnnn變式 2：解：當(dāng) n 為偶數(shù)時：12341nnnsaaaaaa12341()()()122nnnnaaaaaa當(dāng) n 為奇數(shù)時：123451()()()nnnsaaaaaaa13222nn變式 3：解： an- an-2=2 （n3）a1,a3,a

16、5, ,a2n-1為等差數(shù)列； a2,a4,a6, ,a2n為等差數(shù)列當(dāng) n 為奇數(shù)時：11(1) 22nnan當(dāng) n 為偶數(shù)時：4(1) 222nnan即 nn+時，1( 1)nnann 為奇數(shù)時：1(1)(1 23)2122nnn nsnnn 為偶數(shù)時：(1)(1 23)222nnn nsnn考點五例五：解：1111()()kkkkkkkkadaa aaadd aad1111111()()kkkkd aaddaa精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f

17、 - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -11 / 13 1223111111()()nsdaadaa1111()nnd aa122311111111()()()nndaaaaaa1111()nd aa111(1) na and變式 1：11 11()(2)22n nnn，11111111(1)()()()2324352nsnn1111(1)2212nn變式 2：解：1111(1)(1)nnnannnnnnnn11121321nsnn(21)( 32)(1)nn11n變式 3：思路分析 :分式求和可用裂項相消法求和.

18、 解:)121121(211)12)(12(11) 12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak12)1(2)1211 (21)121121()5131()311(2121nnnnnnnnaaasnn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -12 / 13 練習(xí) :求nnanaaas32321答案 :)1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannsnnn考點六例六：解： (1)由題意得 a15a3(2a22)2，即 d23d40. 所以 d 1 或 d4. 所以 an n11，n n*或 an4n6，n n*. (2) 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項和為 sn. 因為 d0，由 (1) 得 d 1，an n 11，則當(dāng) n11 時， |a1| |a2| |a3| |an| 12n2212n. 當(dāng) n12 時， |a1| |a2| |a3| |