2022年數(shù)學(xué)競賽入門高中數(shù)學(xué)初等函數(shù)知識點及練習(xí)題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)1 函數(shù)的圖象圖象變換主要有：平移變換、伸縮變換、對稱變換等。引理 1 函數(shù)圖象對稱性的判定1） 若定義在r上的函數(shù)fx滿足 fxaf bx ，則 fx 的圖象關(guān)于直線2abx對稱。2） 若定義在r上的函數(shù)fx 滿足 fxafbx ，則 fx的圖象關(guān)于點,02ab對稱。引理 2 1） 函數(shù) yfax 與函數(shù) yfxb 的圖象關(guān)于直線2abx對稱。2） 函數(shù) yfax 與函數(shù) yf bx 的圖象關(guān)于直線2abx對稱。注：引理1 中 1）是對一個函數(shù)而言的，引理2 中的兩個命題是對兩個函數(shù)而言的。證明的思路是一樣的，即任取一點求其對稱點驗證對稱點是否在函數(shù)圖象上最后由

2、點的任意性得證。2 函數(shù)的值域（最值）的求法常用方法有：（1）配方法：如果所給的函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的形式，一般采用配方法，但在求解時，要注意作為二次函數(shù)形式的自變量的取值范圍。（2）判別式法：將所給函數(shù)yfx 看作是關(guān)于x 的方程。若是關(guān)于x 的一元二次方程，則可利用判別式大于等于0 來求y的取值范圍，但要注意取等號的問題。（3）換元法：將一個復(fù)雜的函數(shù)中某個式子當(dāng)作整體，通過換元可化為我們熟知的表達式，這里要注意所換元的表達式的取值范圍。（4）利用函數(shù)單調(diào)性法：如果所給的函數(shù)是熟悉的已知函數(shù)的形式，則可利用函數(shù)的單調(diào)性來示值域，但要注意其單調(diào)區(qū)間。（5）反函數(shù)法：若某函數(shù)存在反函

3、數(shù)，則可利用互為反函數(shù)兩個函數(shù)的定義域與值域互換，改求反函數(shù)的定義域。（6）利用均值不等式法。（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造相應(yīng)圖形，數(shù)形結(jié)合求出最值。3.函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用（1）函數(shù)與其反函數(shù)在各自的定義域上具有相同的單調(diào)性。（2）對于復(fù)合函數(shù)yfg x，若 yf u 與 ug x 的單調(diào)性相同，則yfg x是增函數(shù)；若yf u 與 ug x 的單調(diào)性相反，則yfg x是減函數(shù)。（3）若 fx 與 g x 是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載

4、當(dāng) fx 與 g x 都是增（減）函數(shù)時，fxg x 也必為增（減）函數(shù)；當(dāng) fx 與 g x 恒大于 0，且 fx 與 g x 都是單調(diào)遞增（減）的，則 fxg x 也是單調(diào)遞增（減）的。（4）函數(shù)的單調(diào)性主要有以下應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域（或最值）；利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式；利用函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的單調(diào)性解方程等等。4.函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用（1）函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是圖象關(guān)于原點對稱；函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱。（2）定義域關(guān)于原點對稱的任何一個函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和的形式。（3）若函數(shù)是奇函數(shù)，則其反函數(shù)也為奇函數(shù)，

5、反之亦然。（4）函數(shù)的奇偶性主要有以下應(yīng)用：求函數(shù)值；求函數(shù)表達式；判斷函數(shù)的單調(diào)性：如果已知具有奇偶性的函數(shù)fx 在區(qū)間,a b0ab 上的單調(diào)性，由奇偶函數(shù)的對稱性可直接判斷fx 在,ba 上的單調(diào)性。5 函數(shù)的周期性對于函數(shù)fx ，如果存在一個不為零的正數(shù)t，使得當(dāng)x 取定義域中的每一個數(shù)時，fxtfx 總成立，那么稱fx 是周期函數(shù)，t稱為這個周期函數(shù)的周期。1） 若定義在r上的函數(shù)fx 滿足 fxafxb ，ab，則 fx 是周期函數(shù)，且周期為 ba 。2） 若定義在r上的函數(shù)fx 滿足 fxafxb ，ab，則 fx 是周期函數(shù)，且周期為 2 ba 。6 函數(shù)的對稱與周期的關(guān)系：1

6、） 若定義在r上的函數(shù)fx 既關(guān)于直線xa 對稱，又關(guān)于直線xb對稱，且ab，則fx 是周期函數(shù)，且2 ba 是周期。2） 若定義在r上的函數(shù)fx 既關(guān)于直線xa對稱，又關(guān)于點,0b對稱， 且ab， 則 fx是周期函數(shù)，且4ba 是周期。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載鞏固練習(xí)：一選擇題1 下面列舉的四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)122xyffxfy的函數(shù)f 是（） 。alg xb1xc3xd3x2 已知3sin4fxaxbx（,a b 為實數(shù)），且3lglog105f，則

7、lglg3f的值是（） 。a5b3c3d 隨,a b 的值而定3 設(shè) fx是 定 義 在 實 數(shù) 集r上 的 函 數(shù) ， 且 滿 足 ： （ 1）1010fxfx； （ 2）2020fxfx 。則 fx 是（） 。a 偶函數(shù)，又是周期函數(shù)b 偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)c奇函數(shù)，又是周期函數(shù)d 奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)4 對于一切實數(shù)x 、y，函數(shù) f 滿足方程1fxyfxfyxy ，且11f，那么，1fnn n的整數(shù) n的個數(shù)共有（）個。a0b1c2d3x5 函數(shù)122xxxfx（） 。a 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)b 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)c既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)d 既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)6 若2525l

8、og 3log 3log 3log 3xyxy，則（） 。a0 xyb0 xyc0 xyd0 xy精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載二解答題1 設(shè)0,1a。若 f 是從a到r的一個映射，且滿足（1）0fx，對任何0,1x；（2）121fxfxfyfy，對任何,0,1x y。證明：存在一個實數(shù)0b ，使得對任何0,1x均有0fxb 。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 10 頁 - - - - - -

9、 - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載2 函數(shù) fx 定義在,00,上，對定義域中任意數(shù)x，在定義域中存在1x ，2x ，使12xxx ，12fxfx，且滿足以下三個條件：若12,00,x x，12fxfx或120 xxa ，則1212211fxfxfxxfxfx；1fa（ a 是正常數(shù)）；當(dāng)02xa時，0fx。試證： （1） fx 是奇函數(shù)；（2） fx 是周期函數(shù)，并求出其周期；（3） fx 在0,4a 內(nèi)是減函數(shù)。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載3.若函數(shù)21321)

10、(2xxf在區(qū)間,a b上的最小值為2a，最大值為2b，求,a b. 4.函數(shù)fx在0,1上連續(xù)，01ff，且對任意不同的12,0,1x x，都有1212f xfxxx，求證：1212f xf x。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載答案提示：一、選擇題：1.c 2. c 3.c 4.b 5.a 6.b 二、解答題：1. 分析：要證此問題，因f 是從a到r的映射，所以只要證明對任意,0,1x y均有fxfy 即可。證明：由（ 1） ， （2）得1121fxfyfxfy

11、fy fy令 xs，1ys，任意0,1s。則22121fsfsfs fs即210fsfs又210fsfs10fsfs，即1fsfsfs 關(guān)于12x對稱。由 fx 的對稱性可知1fxfx ，1fyfy ，任意的,0,1x y（ 2）式變成2fxfxfyfy即 fxfy 。再由, x y的任意性可知，又有fyfx ，于是fxfy 。存在一個實數(shù)0b 使得，對任意0,1x均有0fxb 。2. 證明： （1） 對任意,00,x， 由條件知， 在定義域內(nèi)存在12,x x ， 使12xxx ，且12fxfx，有精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7

12、頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載12122112122111fxfxfxfxxfxfxfxfxfxfxfxxfx所以 fx 為奇函數(shù)。（2）因 fx 是奇函數(shù)，1fa， 故1fa，于是120fa f afafaafafa，（）若0fx則211222fxfafxafxafafxfx，則1142212fxafxaaf xfxafx（）若0fx則1111fxfafxafxafafx，1321fxafxaafxa314303fxa fafxafxaafafxa可見仍有4fxaf x綜上所述，fx為周期函數(shù)，4a是一個周期。（3）先證fx在區(qū)間0,2a上是減函數(shù)。事實

13、上，任取1x，2x滿足1202xxa，則2102xxa，又有24220fafaafa，根據(jù)題設(shè)條件，有10fx，20fx，且21211210f xfxfxxfxfx，故12fxf x，知fx在區(qū)間0,2a上是減函數(shù)。當(dāng)2 ,4xaa時，又任取3x，4x，滿足3424axxa，則340222xaxaa，有34220fxafxa，1222fxfxaafxa精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載343443112211220fxfxfxafxafxafxa所以，fx在2 ,4

14、aa內(nèi)也是減函數(shù)。雖然，由上述推導(dǎo)過程知，對于任意的1204xxa，總有12f xfx，即fx在區(qū)間0,4a內(nèi)是減函數(shù)。3. 解：由條件知函數(shù)fx是頂點為30,2，對稱軸為0 x，開口向下的拋物線，在區(qū)間,a b上的最小值為2a，最大值為2b，對區(qū)間,a b的位置分別討論如下：（1）若0ab，則fx在區(qū)間,a b上單調(diào)遞減，故滿足22f abf ba，即22113222113222abba，解得1a，3b，區(qū)間,1,3a b。（2） 若0ab， 則fx在,0a上單調(diào)遞增， 在0,b上單調(diào)遞減， 故13022fb， 即134b。由0a，故20a，而21131339024232f b，所以f x在

15、xa時取最小值2a，即2113222aa，解得217a。所以13,217,4a b。（3）若0ab，則fx在區(qū)間,a b上單調(diào)遞增，即22f aaf bb，即22113222113222aabb，由于方程21132022xx兩根相異，故滿足0ab的區(qū)間不存在。故所求區(qū)間, a b為1,3或13217,4。4. 證明：因為f x在0,1上連續(xù)，所以fx在0,1上有最大值和最小值。不妨設(shè)最大值1mf t，最小值2mf t，12,0,1t t。（1）當(dāng)1212tt時，12121212fxfxf tf ttt，所以1212fxfx。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 10 頁 -