2022年數(shù)學第5章相交線與平行線復(fù)習教案

1、第五章相交線與平行線第一節(jié)、知識梳理：相交線與平行線一、學習目標 1. 理解對頂角、鄰補角的概念，掌握其性質(zhì)，會用其性質(zhì)進行有關(guān)推理和計算； 2. 掌握垂線、垂線段、點到直線的距離的概念； 3. 掌握“三線八角”的內(nèi)容. 二、學習重點與難點學習重點： 1. 鄰補角、對頂角以及點到直線距離的概念； 2. 掌握兩直線平行的三個判定方法. 學習難點： 1. 對頂角的性質(zhì)、垂線性質(zhì)； 2. 靈活運用平行線的判定方法來解題. 三、知識概要 1.要正確理解鄰補角、對頂角的含義：（1）判斷兩個角是否是鄰補角，關(guān)鍵要看這兩個角的兩邊，其中一邊是公共邊，另外兩邊是互為反向延長線；（2）鄰補角是成對的，是具有特殊

2、位置關(guān)系的兩個互補的角；（3）判斷兩個角是否是對頂角，看這兩個角是不是有公共頂點且有相同的鄰補角，只有符合這兩個條件時，才能確定這兩個角是對頂角. 2. 垂線、垂線段和點到直線的距離是三個不同的概念，不要混淆：（1）兩條直線互相垂直是兩條直線相交的特殊情況，特殊在交角都為直角，垂線是其中一條直線對另一條直線的稱呼；（2）垂線是直線，垂線段是一條線段，是圖形. （3）點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說成垂線段是距離. 3. 兩條直線的位置關(guān)系，是在兩條直線在“同一平面內(nèi)”的前提下提出來的，它們的位置關(guān)系只有兩種：一是相交（有一個公共點），二是平行（沒有公共點）：（1）識別同位角、內(nèi)

3、錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是要抓住“三線八角”，只有“三線”出現(xiàn)且必須是兩線被第三線所截才能出現(xiàn)這三類角；（2）判定兩條直線平行時要正確判斷出是什么角，什么關(guān)系，由此可以推出哪兩條直精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -線平行 . 四、知識鏈接 1. 本周相交線、平行線是以前學的直線的位置關(guān)系的延伸. 2. 通過內(nèi)錯角、 同位角、 同旁內(nèi)角等角度的比較得到平行線. 而由平行線又可得到下周的平行線性質(zhì). 五、中考視點平行與相交線中的垂直是經(jīng)常考的內(nèi)容. 一般考其基礎(chǔ)知識，以填空選擇為主. 平行

4、線的性質(zhì)與平移一、學習目標 1. 掌握平行線的性質(zhì)并會應(yīng)用. 2. 理解命題并會判斷. 3. 理解平移的定義并會應(yīng)用平移的特征. 二、知識概要 1. 平行線的性質(zhì)性質(zhì) 1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等. 簡單說成：兩直線平行，同位角相等 . 性質(zhì) 2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等. 簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等 . 性質(zhì) 3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補. 簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 . 2. 兩條平行線的距離同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離 . 對于這個概念，應(yīng)注意三點：（1）兩條直線必須是平行的；（

5、2）第三條直線同時垂直于它們；（3）距離是線段的長度，是個具體的數(shù)，而不是線段這個圖形. 3. 關(guān)于命題判斷一件事情的語句叫做命題. 每個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成的. 4. 平移的概念精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -在平面內(nèi)， 將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動就稱做為平移. 5. 平移的基本特征平移的基本特征是：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等. 三、重點難點學習重點： 1. 平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用.

6、2. 平移的特征 . 學習難點： 1. 命題的判斷 . 2. 平移變換及其性質(zhì)應(yīng)用. 四、知識鏈接平行線的性質(zhì)與判定定理有互逆性，平移變換及性質(zhì)是研究動態(tài)幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容之一. 五、中考視點平行線的知識是每年必考的內(nèi)容，在填空選擇中經(jīng)常直接考平行線的性質(zhì). 在解答題中經(jīng)常與其他知識聯(lián)系，綜合考查. 平移知識也是考的比較多的內(nèi)容，尤其是在做輔助線時經(jīng)常用到 . 第二節(jié)、教材解讀:理解“三線八角”當兩條直線ab和 cd被第三條直線ef所截（如圖） ，可得到八個角. 根據(jù)位置特征不同，把 1 和 5、 2 和 6、 4 和 8、 3 和 7 這樣的稱作同位角；把4 和 6、 3 和5 這樣的稱作內(nèi)錯角

7、；把 4 和 5、3 和 6這樣的稱作同旁內(nèi)角. 在數(shù)學中也常把與同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角相關(guān)的問題稱作“三線八角”問題. 1. 所謂同位角也就是位置特征相同，如 1 和 5 同在“左上”（ab和 cd左側(cè)， ef上方） ；2 和 6同在“左下” （ab和 cd左側(cè)， ef下方）；4 和 8 同在“右上”（ab和 cd右側(cè)，ef上方）；3 和 7 同在“右下”（ ab和 cd右側(cè)， ef下方） . 2. 所謂內(nèi)錯角是指在兩條被截直線之內(nèi)，在第三條直線左右錯開的位置的角，如精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 37 頁 - - -

8、 - - - - - -4 和 6 在 ab和 cd之內(nèi)，而在ef左右兩邊錯開的角；3 和 5 在 ab和 cd之內(nèi)，而在ef左右兩邊錯開的角. 3. 所謂同旁內(nèi)角是指在第三條直線同旁，而在兩條被截直線之內(nèi)的位置的角，如4 和 5同在 ef 上邊而在ab和 cd之內(nèi)； 3和 6 同在 ef 下邊而在ab和 cd之內(nèi) . 第三節(jié)、錯解剖析【例 1】填空：從直線外一點到這條直線的_，叫做點到直線的距離錯解：垂線段【思考與分析】點到直線的距離是指垂線段的長度，它是一個數(shù)量而不是圖形錯誤的原因是概念不清. 正解：垂線段的長度【例 2】判斷正誤：有公共端點且沒有公共邊的兩個角是對頂角錯解：正確【思考與分

9、析】此題錯在沒有抓住對頂角概念的實質(zhì)，出現(xiàn)了擴大概念實質(zhì)和概念外延的錯誤，把一些不是對頂角的角看成了對頂角，如下圖中1 和 2 有公共頂點且沒有公共邊，但它們不是對頂角錯誤的原因是概念不清. 正解：如果一個角與另一個角有公共端點且兩邊分別是這個角的兩邊的反向延長線，那么這兩個角叫對頂角【例 3】如圖，若ab cd ，cd ef，則 ab ef.理由是什么？錯解：等量代換精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -【思考與分析】上面的回答把相等和平行混為一談，相等說的是兩個量的大小關(guān)系，平行說

10、的則是兩條直線的位置關(guān)系，完全不是一碼事，所以，平行線的傳遞性是不能用 等量代換 來表達的錯誤的原因是位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系混淆正解：平行于同一條直線的兩條直線平行【例 4】判斷正誤：同一平面內(nèi)不相交的兩條線是平行線錯解：正確 . 【思考與分析】 平行線是講同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系.不相交的兩條射線或線段有可能延長或反向延長后相交錯誤的原因是沒有分清“三線”的區(qū)別和聯(lián)系. 正解：同一平面內(nèi)不相交的兩條直線是平行線【例 5】判斷正誤：不相交的兩條直線是平行線錯解：正確【思考與分析】在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線是平行線，但在空間里很容易找到不相交的兩條直線，而且它們并不平行，錯誤的原因是思考不周.

11、 正解：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線是平行線第四節(jié)、思維點撥【例 1】已知，如圖，直線ab 、cd相交于 o，oe平分 bod 且 aoe=150 ，你能求出aoc的度數(shù)嗎？【思考與分析】觀察圖形我們可知，aoe與 boe是鄰補角，所以boe的度數(shù)可求，又由 oe是 bod的角平分線可求得bod=2 boe ，而 aoc與 bod 是對頂角，故aoc可求 . 解： ab 是直線（已知）， aoe與 boe 是鄰補角（鄰補角定義）. aoe+ boe=180 （補角定義）. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 37 頁 - -

12、- - - - - - -又 aoe=150 （已知）， boe=180 - aoe=180 150=30（等式性質(zhì)）. oe 平分 bod （已知）， bod=2 boe （角平分線定義）. 即 bod=2 30 60. aoc與 bod是對頂角（由圖可知）， aoc bod （對頂角相等）. aoc 60. 反思：在思考過程中抓住角平分線de與各個角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 【例 2】 如圖，直線 ab 、cd相交于點o，oe ab于點 o，of平分 aoe ，1=1530，則下列結(jié)論中不正確的是（） . a. 2=45 b. 1=3 c. aod與 1 互為補角 d. 1 的余角等于7530

13、思考與解 : oe ab ， aoe=90 . of平分 aoe ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 37 頁 - - - - - - - - - 1 與 3 是對頂角，1=3. b正確 . aod與 1 互為補角 . c正確 . 1=1530， 1 的余角 =90-15 30=7430. d不正確 . 故選 d. 【小結(jié)】 我們在做這類選擇題時，首先把題中條件與圖形一一對應(yīng)，然后看每個結(jié)論是否與條件沖突 . 【例 3】已知，如圖，直線ab 、cd互相垂直，垂足為o，直線 ef過點 o， dof 32，你能求出 aoe的度數(shù)

14、嗎？【思考與分析】我們由ab cd可知 aoc 90，因此，aoe與 eoc 互余 . 又因為eoc 與 dof是對頂角，于是eoc=32 ，于是 aoe可求 . 解法一：直線cd與 ef交于 o （已知）， eoc= dof （對頂角相等）. dof 32（已知）， eoc=32 （等量代換）. ab 、cd互相垂直（已知），aoc 90（垂直定義）. aoe+ eoc=90 . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -aoe=90 - eoc=90 -32 =58. 解法二：直線ab

15、 、cd互相垂直（已知）， bod 90（垂直定義）. bof+ dof=90 . dof 32（已知）， bof=90 - dof=58 . 直線 ab與直線 ef交于點 o （已知）， aoe= bof （對頂角相等）. aoe 58. 反思：第一種解法先用對頂角后用互余，第二種解法先用互余后用對頂角，我們在平時做題時也應(yīng)該多想多做，多角度分析解決問題. 【例 4】 如圖 3， 直線 ab與 cd相交于點f， ef cd ， 則 afe與 dfb之間的關(guān)系是_. 【思考與分析】我們由所給的條件efcd ，得 cfe=90 ，也就是說afe afc=90 ，又根據(jù)對頂角相等，得afc dfb

16、 ，所以 afe dfb=90 . 本題也可利用平角的定義來解，即由 afe dfb efd=180 ，又因為 efd=90 ，所以 afe dfb=90 . 解：afe與 dfb互為余角（或afe dfb=90 ） . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -【小結(jié)】這類題目的特點是有條件而無結(jié)論，要從所給的條件出發(fā)，通過分析、比較、猜想，尋找多種解法和結(jié)論，再進行說理證明. 這類題目具有較強的探索性，思維空間較大且靈活，突破了死記概念的傳統(tǒng)模式. 【例 5】 平行直線 ab和 cd與

17、相交直線ef 、gh相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（）對. a. 4 對 b. 8對 c. 12對 d. 16對【思考與解】我們可將原圖分解為八個“三線八角”即“直線ab和 cd 被直線ef所截” 、 “直線 ab和 cd 被直線 gh所截”、 “直線 ef和 gh被直線 ab所截” 、 “直線 ef和gh被直線 cd所截”、 “直線 ab和 ef被直線 gh所截”、 “直線 ef和 cd 被直線 gh所截”、 “直線 ab和 gh被直線 ef所截”、 “直線 gh和 cd 被直線 ef所截” . 每一個“三線八角”都有兩對同旁內(nèi)角，故原圖中共有16 對，因此選擇d. 【小結(jié)】 解這類問題， 關(guān)鍵是

18、如何用圖形分解法把圖形分成若干個“三線八角” . 【例題】（1）如圖1，在 abc 中， abc=90 ，a=50， bd ac ，則 cbd的度數(shù)是. （2）已知：如圖2，直線 ab cd ，直線 ef分別交 ab 、cd于點 e、f， bef的平分線與 dfe 的平分線相交于點p你能說明 p=90嗎？（3） 如圖 3， 已知 ab cd ， c=75 ， a=25， 則 e的度數(shù)為 . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -【思考與解】 （1）解法一：由題意我們知bd ac.所以

19、abd+ bac=180 .所以 cbd=180 -50 -90 =40 . 解法二：由題意我們知c=90 - a=90-50 =40. 又因為 bd ac. 所以 cbd= c=40. （2）因為 ab cd. 所以根據(jù)平行線的性質(zhì)得：bef+ efd=180 . 又因為 ep 、fp分別平分 bef和 efd. 所以 p=180- （ 1+2） = 180 -90=90. （3）因為 ab cd. 所以 bfe= c=75. 所以 afe=180 - bfe= 180-75 =105 . 所以 e=180- a-afe=180 -25 -105=50反思：我們在做這類題的時候，一定要想是不

20、是這樣做最簡單，是不是只有這一種解法？【例 6】如圖 1，如果 b 1=250，那么 d . 【思考與分析】我們通過觀察圖形，由b 1=250可得 ab dc 、adbc ，再利用其性質(zhì)同旁內(nèi)角互補可得d的度數(shù) . 解：因為 b 1，所以 ab dc ，所以 b bcd=180 ， bcd=130 . 又因為 b 2，所以 ad bc ，所以 bcd d=180， d=50 . 反思： 我們解題時用的是同旁內(nèi)角互補. 還可以利用 d 1 b 50. 也可以利用 d 2 b50. 大家可以試一試. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10

21、頁，共 37 頁 - - - - - - - - -【例 7】如圖 2，直線 l1、l2分別與直線l3、l4相交， 1 與 3 互余， 3 的余角與 2 互補， 4125，則 3 . 思考與解：因為1 與 3 互余， 3 的余角與 2 互補，所以 1 2180. 所以 l1l2. 所以 3 5180 455. 反思： 我們難以理解的是為什么1 2180？我們可由題意列式1 390， 90 3 2180. 兩個式子相加可得1 2180. 在解決有關(guān)平行問題的時候，有時需要添加必要的輔助線，而添加平行線作為輔助線，更是解決此類問題好的幫手. 下面舉幾例說明. 【例 8】如圖 1 所示，直線ab，

22、acf 50， abe 28，求 a的大小 . 【思考與分析】要求a的大小，關(guān)鍵是確定輔助線的位置. 于是我們會想到過點a作 ad b，這樣利用平行線的知識即可求解. 解：過點a作 adb，則 dac acf 50. 又因為 ab，所以 ad a. 所以 dab abe 28. 所以 bac dac dab 50 28 22，即 a的大小是22. 反思：在解題時我們做ad b，那么是不是必須要做輔助線呢？我們繼續(xù)思考：a在 abg中，abe也在 abg中且等于28，那么只要求出agb的度數(shù)， 就可求 a的度數(shù). 【例 9】如圖 2，ab cd ，eo與 fo相交于點o，試猜想 aeo 、 eo

23、f 、 cfo之間精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -的關(guān)系，并說明理由. 【思考與分析】由于beo 、 eof 、 dfo三個角的位置較散，設(shè)法通過輔助線使之相對集中，我們可以考慮abcd ，可以過點o作 mn ab ，這樣即可找到三個角之間的關(guān)系了 . 由此猜想 aeo+ cfo+ eof=360 . 解：過點o作 mn ab. 因為 ab cd ，所以 cd mn. 所以 aeo+ eom=180 ， mof+ cfo=180 . 所以 aeo+ cfo+ eof= aeo+

24、 eom mof+ cfo 180 180 360. 反思：我們解這道題是用的兩組同旁內(nèi)角之和. 其實我們還可以連結(jié)ef，正好把這三個角分成一組同旁內(nèi)角和一個三角形的三個內(nèi)角. 由同旁內(nèi)角和三角形內(nèi)角和可得出同樣的結(jié)論 . 【例 10】如圖 3，已知 ab ed ， a+e， b+c+ d.試探索 與 2 的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由. 【思考與分析】 我們由已知條件ab ed可知 a+e180，于是只需知道 b+c+ d 的大小即可探索出與 2 的數(shù)量關(guān)系 . 此時可以過點c 作 cfab ，從而求出 b+c+ d 360，即有 2 . 解：猜想 2. 理由是：過c作 cfab ，因為 ab

25、ed ，所以 a+ e180. 又因為 ab ed ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -所以 cfde ，即（ b+1）+（ 2+d） 360. 故 2 . 【小結(jié)】這道題的思路與我們做的上題是相同的，也可以連結(jié)bd來解 . 第五節(jié)、競賽數(shù)學在競賽試題中，平行和垂直是做為基礎(chǔ)知識應(yīng)用在一些綜合性的題目之中，單獨出題的情況很少，但當平行和垂直的性質(zhì)與實際情況結(jié)合時，往往也會被做為新題型來考查. 【例 1】 請說明在同一平面內(nèi)三條直線的位置關(guān)系及交點個數(shù). 【思考與分析】本題有多種分

26、類，如以兩條直線的位置關(guān)系分類，再考慮第三條直線的位置；又如以三條直線交點的個數(shù)分類等. 下面我們就第二種分類加以說明. 解：（1）如圖 1，三條直線互相平行，此時交點個數(shù)為0；（2）如圖 2，三條直線相交于同一點，此時交點個數(shù)為1；（3）如圖 3，三條直線兩兩相交且不交于同一點，此時交點個數(shù)為3；（4）如圖 4，其中兩條直線平行，都與第三條直線相交，此時交點個數(shù)為2. 綜上所述，平面內(nèi)三條直線的交點個數(shù)為0 或 1 或 2 或 3 個. （如果按第一種情況進行分類研究，又該如何呢？請大家思考一下. ）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

27、13 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -反思：求解中（ 2）、（3）兩種情況稱為三條直線兩兩相交. 當題目中圖形不全或不確定時，我們一定要注意分類. 【例 2】 （1）請你在平面上畫出6 條直線（沒有三條共點），使得它們中的每條直線都恰與另3 條直線相交，并簡單說明畫法. （2）能否在平面上畫出7 條直線（任意3 條都不共點），使得它們中的每條直線都恰與另 3 條直線相交，如果能，請畫出一例，如果不能，請簡述理由. 【思考與分析】“6 條直線相交且任意3 條都不共點”，要解決這個問題，我們可以首先畫出兩條相交直線，這樣可以發(fā)現(xiàn)若不出現(xiàn)3 條直線共點可以出現(xiàn)平行線. 對于（2）

28、中所求，可以根據(jù)（1）得到的結(jié)論先對其進行推理，不要盲目的畫圖. 解：（ 1）在平面上任取一點a，過 a作兩直線m1與 n1. 在 n1 上取兩點 b、c，在m1上取兩點d、g.過 b作 m2 m1，過 c作 m3 m1 ，過 d作 n2n1，過 g作 n3n1，這時m2 、 m3 、n2、n3 交得 e、f、h、i 四點，如圖所示. 由于彼此平行的直線不相交，所以，圖中每條直線都恰與另3 條直線相交 . （2）在平面上不能畫出沒有3 線共點的7 條直線，使得其中每條直線都恰與另外 3 條直線相交 . 理由如下：假設(shè)平面上可以畫出7 條直線，其中每一條都恰與其它3條相交，因兩直線相交只有一個交

29、點，又因沒有 3 條直線共點， 所以每條直線上恰有與另3條直線交得的3 個不同的交點. 根據(jù)直線去數(shù)這些交點，共有 3721 個交點， 但每個交點分屬兩條直線， 被重復(fù)計數(shù)一次， 所以這 7 條直線交點總數(shù)為因為這與交點個數(shù)應(yīng)為整數(shù)矛盾 .所以，滿足題設(shè)條件的7 條直線是畫不出來的. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -反思：本題在說明理由時應(yīng)用了假設(shè)法. 利用假設(shè)推導出結(jié)果是否與題中條件沖突. 這與我們以后要學的反證法相類似. 【例 3】 平行直線 ab和 cd與相交直線ef 、

30、gh相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（）對. a. 4對 b. 8對 c. 12對 d. 16對【思考與解】我們可將原圖分解為八個“三線八角”即“直線ab和 cd 被直線ef所截”、 “直線 ab和 cd 被直線 gh所截” 、 “直線 ef和 gh被直線 ab所截” 、 “直線 ef和gh被直線 cd所截”、 “直線 ab和 ef被直線 gh所截”、 “直線 ef和 cd 被直線 gh所截”、 “直線 ab和 gh被直線 ef所截”、 “直線 gh和 cd 被直線 ef所截” . 每一個“三線八角”都有兩對同旁內(nèi)角，故原圖中共有16 對，因此選擇d. 【小結(jié)】解這類問題，關(guān)鍵是如何用圖形分解法把圖形

31、分成若干個“三線八角”. 【例 4】 有 10 條公路（假設(shè)公路是筆直的，并且可以無限延伸），無任何三條公路交于同一個岔口，現(xiàn)有31 名交警，剛好滿足每個岔口有且只有一名交警執(zhí)勤，請你畫出公路示意圖. 【思考與解】我們可以把公路想象成直線，岔口想象成交點，由警察的人數(shù)及題意可知， 10 條直線剛好有31 個交點 . 根據(jù)前面所學知識，平面上的10 條直線，若兩兩相交，最多出現(xiàn)45 個交點，現(xiàn)在只要求出現(xiàn)31 個交點， 就要減去 14 個交點， 這種情況下，通常采取兩種辦法：（1）多條直線共點；（2）出現(xiàn)平行線 . 根據(jù)題意，方法（1）不能實現(xiàn)，所以想到使用平行線.在某一方向上有5 條直線互相平

32、行，則減少10 個交點，若6 條直線平行，則可減少15 個交點，所以這個方向上最多可取5 條平行線，這時還有4 個點要去掉，換一個方向取3 條平行線，即可再減少3 個交點，這時還剩下2 條直線與1 個要減去的點，只須讓其在第三個方向上互相平行即可，如圖所示：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -【小結(jié)】本題考查我們對知識的綜合應(yīng)用能力，在做題時，要牢牢把握平行線的性質(zhì)，與圖形結(jié)合，從簡單的圖形推理找出問題的入手點. 【例 5】 把正方形abcd 邊 ad平移得到ef， 作出平移后的正

33、方形能有幾種作法？【思考與分析】據(jù)題意，平移是指正方形整體平移，只有一個. 我們根據(jù)以前學過的作圖方法和本周學的平移作圖，作法有如下幾個：作法 1： 過 e作 ef的垂線， 截取 eg ef，過 g點作 ef的平行線， 截取 gh ef （注意截取方向） ，連接 fh就得到平移后的正方形. 如圖（ 1）. 作法 2： 過 e、f 分別作 ef的垂線，截取eg ef ，fh ef （注意截取方向） ，連接gh ，就得到平移后的正方形. 如圖（ 1）. 作法 3： 過 f 作 ef的垂線， 截取 fh ef，過 h點作 ef的平行線， 截取 gh ef （注意截取方向） ，連接 eg就得到平移后的

34、正方形. 如圖（ 1）. 作法：過 e作 ac的平行線，過f 作 bd的平行線，截取eh=ac ，fg=bd （注意截取方向） .連接 eg ，gh ， hf，就得到平移后的正方形. 如圖（ 2）. 作法 5： 連接 ea ，fd，過 b點作 ea的平行線，過c 作 fd的平行線 . 截取 bg=ea ，ch=fd （注意截取方向）. 如圖（ 3）. 連接 eg ， gh ，hf，就得到平移后的正方形. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -【小結(jié)】平移變換不改變圖形的形狀、大小和方

35、向 . 連結(jié)對應(yīng)點的線段平行且相等.要描述一個平移變換，必須指出平移的方向和移動的距離【例 6】電腦游戲上有一種俄羅斯方塊的游戲，游戲規(guī)則：在所給各種各樣的方塊中，通過平移、旋轉(zhuǎn)的方式，羅列方塊使之排滿每一橫行，每排滿一行，便消去一行，得100 分，依次類推（本題特殊規(guī)定，只準平移），小方塊在屏幕頂端居中出現(xiàn)（奇數(shù)列時居中偏左）現(xiàn)在電腦屏幕上顯示（如圖所示）. （1） 若按規(guī)定，想得分，甲方塊需要怎樣平移，才可能直接得分或為以后打下得分基礎(chǔ)？乙方塊呢？（ 2） 若你把甲方塊放到左側(cè)，發(fā)現(xiàn)屏幕已暗示出丙方塊為形狀，在這種情況下，丙方塊只需如何移動，便可得多少分？（注：屏幕上一共有10 行 10

36、列）【思考與分析】第（ 1）題觀察甲方塊與底部方塊的特點，我們可得出平移方式.精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -第（ 2）題將丙方塊通過平移嵌入空隙之中，即可得分. 解： （1） 甲方塊可左移3個單位，下移7 個單位放到屏幕左側(cè)；乙方塊需向右平移 3 個單位，下移8 個單位，放到屏幕右側(cè). （可用其他平移方式）（2） 丙方塊下移7 個單位，便可排滿2 行，得 200 分. 【小結(jié)】解本題的關(guān)鍵是將各個方塊通過平移嵌成一個長方形，需根據(jù)方塊和現(xiàn)有圖形選擇合理的平移方式. 【例 7】

37、如圖 1，已知直線l1l2，直線 l3 和直線 l1、l2交于點 c和 d，在 c、d之間有一點p，如果 p點在 c 、d之間運動時，問pac ，apb ，pbd之間的關(guān)系是否發(fā)生變化.若點 p在 c、d兩點的外側(cè)運動時（p點與點 c、d不重合），試探索 pac ，apb ，pbd之間的關(guān)系又是如何？【思考與分析】若p 點在 c、d 之間運動時，我們只要過點p 作出 l1的平行線即可知道 apb pac+ pbd ；若點 p在 c、d 兩點的外側(cè)運動時（p點與點 c、d不重合），則可以分為如圖2 和如圖 3 兩種情形，同樣分別過點p作出 l1或 l2的平行線， 即有 apb pbd pac或

38、apb pac pbd. 解：若 p點在 c、d之間運動時，則有apb pac+ pbd.理由是：如圖1，過點 p作 pe l1，則 ape pac ，又因為 l1l2，所以 pe l2 ，所以 bpe pbd ，所以 ape+bpe pac+ pbd ，即 apb pac+ pbd. 若點 p在 c、d兩點的外側(cè)運動時（p點與點 c、d不重合），則有兩種情形：（1）如圖 2，有結(jié)論： apb pbd pac.理由是：過點p作 pe l1，則 ape pac ，又因為l1l2，所以pe l2，所以 bpe pbd ，所以 apb bpe- ape ，即 apb 精品學習資料 可選擇p d f

39、- - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -pbd pac. （2）如圖3，有結(jié)論： apb pac pbd.理由是：過點p作 pe l2，則 bpe pbd ，又因為l1l2，所以pe l1，所以 ape pac ，所以 apb ape-bpe ，即apb pac-pbd. 【小結(jié)】我們做這類題的時候可以發(fā)現(xiàn)：點的移動帶動角的位置變化，角的位置變化決定了角之間的關(guān)系. 因此我們可以利用分類思想來分析題意，解決多種情況的討論. 第六節(jié)、本章訓練基礎(chǔ)訓練題一、選擇題（每題5 分，共 35 分） 1. 兩條平行線被第三條直線

40、所截，那么一組同位角的平分線的關(guān)系是（） . a. 互相垂直 b. 互相平行 c. 相交但不垂直 d. 不能確定 2. 下列說法正確的是（）. a. 相等的角是對頂角 b. 兩直線平行，同位角相等 c. 同旁內(nèi)角互補 d. 兩直線平行，同位角互補 3. 如圖 1 所示，已知de bc ，cd是 acb的平分線， b72， acb 40，那么 bdc等于（）. a.78 b.90 c.88 d.92 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 37 頁 - - - - - - - - - 4. 下列說法：兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補；同

41、位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；垂直于同一直線的兩直線平行，其中是平行線的性質(zhì)的是（）. a. b. 和 c. d. 和 5. 船向北偏東50方向航行到某地后，依原航線返回，船返回時方向應(yīng)該是（） a. 南偏西 40 b. 北偏西 50 c. 北偏西 40d.南偏西 50 6. 線段 ab是由線段 cd經(jīng)過平移得到的， 那么線段 ac與 bd的關(guān)系為（） . a. 平行b.相交c.相等d.平行且相等 7. 如果兩個角有一條邊在同一條直線上，而另一條邊互相平行，那么這兩個角的關(guān)系是（）. a. 相等b.互補 c. 相等或互補d.沒有關(guān)系二、填空題（每題5 分，共 35 分） 8.

42、ab， ac 則_，根據(jù) _. 9. 經(jīng)過平移后的圖形與原來圖形的_. 和_. 分別相等，圖形的_. 和_. 沒有發(fā)生改變 . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 37 頁 - - - - - - - - - 10. 在同一平面上， 如果 ab ef，ac ef，那么點 c與直線 ab的位置關(guān)系是_. 11. 把 abc向右平移4cm得 a1b1c1，再把 a1b1c1向下平移3cm得 a2b2c2，若把a2b2c2看成是由 abc經(jīng)一次平移得到的，請量一量，其平移的距離是_.cm. 12. 船的航向從正北方向依逆時針方向駛

43、向西南方向，它轉(zhuǎn)了_度. 13. 已知梯形abcd ，ad bc ，bc 6，ad 3，ab 4，cd 2，ab平移后到de處，則cde的周長是 _ 14. 如果 abc經(jīng)過平移后得到def ，若 a 41， c32， ef 3cm ，則 e_. ， bc _ cm 三、解答題（每題10 分，共 30 分） 15. 如圖， ac ab ， 1=30， b60，（1）你能確定ad與 bc平行嗎 ? （2）能確定ab平行于 cd嗎? 16. 如圖， ad平分 eac ，ad bc，你能確定b與 c的數(shù)量關(guān)系嗎 ? 17. 如圖所示， ab cd,ad bc ，a的 2 倍與 c的 3 倍互補， 求

44、 a和 d的度數(shù) . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -答案一、 1.b 2.b 3.c 4.a 5.d 6.d 7.c 二、 8. b，c，平行于同一條直線的兩條直線平行 9. 對應(yīng)角、對應(yīng)邊，形狀、大小 10. 在直線 ab上 11. 5 12. 135 13. 9 14. 107， 3 三、15.【思考與分析】 通過觀察圖形并結(jié)合題中條件我們可以得到：acb=180 - bac abc 180 90 60 30.由此可得ad bc.但是由題中條件我們求不出d或者 acd ，

45、因此不能判定ab與 cd是否平行 . 解：（ 1）因為 bac=90 ， b 60，且 bac b acb=180 ，所以 acb=180 bac b180 90 60 30. 所以 ad bc （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）. （2）不能確定 . 因為求不出 d或者 acd ，找不到兩直線平行的判定條件，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -所以 ab與 cd不一定平行 . 16. 【解題思路】我們通過觀察圖形并結(jié)合題中條件可知，要想知道b與 c的數(shù)量關(guān)系，就得利用ad bc ，從而得

46、到 b 1， c 2. 只要 1 2，那么 b c.而題中給出了ad平分 eac ，正好得到 1 2！解：因為ad bc，所以 b 1（兩直線平行，同位角相等）. 所以 c 2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）. 又因為 ad平分 eac ，所以 1 2. 所以 b c. 17. 【思考與分析】經(jīng)過仔細分析我們可知，題目要求a和 d的度數(shù)，而條件只給出了 a和 c的關(guān)系 . 因此，分清a 、 c和 d三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 解：因為ab cd ，所以 a d180. 所以 a 180 d. 因為 ad bc ，所以 c d180. 所以 c 180 d. 所以 a c. 再由 2 a3c180解

47、得 a c36. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -所以 d 144. 提高訓練題一、填空題 1. 直線 l1，l2在 同一平面內(nèi)不相交，則它們的位置關(guān)系是 . 2. 若直線 l1/ l2， l2/ l3，則_ / _，其理由是 . 3. 若直線 l1/l2，一條射線與l1有交點，那么這條射線與l2的位置關(guān)系是 . 二、選擇題 1. 下列哪種情況，直線l1和 l2不一定是平行線（） a. l1和 l2是不相交的兩條直線 b. l1和 l2都平行于直線l3 c. 在同一平面內(nèi)l1和

48、 l2沒有一個公共點 d. 在同一平面內(nèi)，l1l3，l2l3 2. 若 1 與 2 的關(guān)系為內(nèi)錯角，1=40，則 2 等于（） a. 40 b. 140 c. 40 或 140 d. 不確定 3. 下列說法正確的是（） a. 若兩個角相等, 則這兩個角是對頂角 b. 若兩個角是對頂角, 則這兩個角是相等精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 37 頁 - - - - - - - - - c. 若兩個角不是對頂角, 則這兩個角不相等 d. 所有的對頂角相等三、解答題 1. 如圖，已知三角形abc ，分別過a，b，c三點作它們的對邊

49、bc ，ca ，ab的平行線. 2. 如圖， a/b ，a 與 c 相交，那么b 與 c 相交嗎？為什么？ 3. 如圖， ad/bc，ae=be. （1） 過 e作 ef/bc 交 cd于 f，過 d作 dg/ab 交 bc于 g ；（2） ef 和 ad平行嗎？為什么？答案一、填空題 1. 平行精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 37 頁 - - - - - - - - - 2. l1，l3，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 3. 相交或不相交二、選擇題 1.a 2.d 3.b 三、解答題 1. 解

50、：如下圖 . 2. 解：相交，理由如下：假設(shè) b 與 c 不相交，那么在這個平面內(nèi)，bc. 而題中給出了ab，所以 ac，這與題中 a、c 相交矛盾，所以b 與 c 相交 . 3. 解：（ 1）如下圖 . （2）平行，理由如下：因為 ad bc ，又因為ef bc ，所以 efad. 強化訓練題1. 如圖，直線a/b的條件是（）. a. 1= 3 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 37 頁 - - - - - - - - - b. 2= 3 c. 1= 2 d. 1+ 2=180 2. 如圖，下列條件能推出ab/cd 的是

51、（）. a. a= c b. b=d c. a+ b=180 d. a+d=180 3. 如圖，下列推導正確的是（）. a. 因為 1=3，所以 c/d b. 因為 1=4，所以 a/b c. 因為 1+2=180，所以 c/d d. 因為 2=4，所以 a/b 4. 如圖，已知直線ab 、cd相交于點o ， oa平分 eoc ， eoc=70 ，則 bod 的度數(shù)等于（）. a.30 b. 35 c.20 d.40 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 37 頁 - - - - - - - - - 5. 如圖所示， ab 、

52、 cd相交于點o ， ob平分 doe ，若 coe=120 ，則aoc= . 答案 1.c 2.d 3.c 4.b 5.30 相交線與平行線綜合訓練題 、選擇題（每小題5 分，共 30 分） 1. 在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（） a. 相交、平行 b. 相交、垂直 c. 平行、垂直 d. 平行、相交、垂直 2. 如圖 1，直線 ab 、cd相交于點 o ，且 aod+ boc=100 ，則 aoc 是（）度. a.150 b.130 c.100 d.90 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 頁，共 37 頁 - - -

53、 - - - - - - 3. 如圖 2，oa ob 、oc od ，則 l 與 2 的大小關(guān)系是（） a. 12 b. l= 2 c. l 2 d. 以上都不對 4. 如圖 3，若 a與（）互補，可判定ab cd. a. b b.c c. d d.以上都不是 5. 如圖 4， p為直線 m外一點，點 a、 b、 c在直線 m上， 且 pb m ， 垂足為 b， apc=90 ，則錯誤的是（） a. 線段 pb的長度叫做點p到直線 m的距離 b.pa 、pb 、pc三條線段中，pb最短 c. 線段 ac的長度等于點p到直線 m的距離 d. 線段 pa的長度叫做點a到直線 pc的距離 6. 如果

54、直線ab，b c，那么 a c，這個推理的依據(jù)是（） a. 等量代換 b. 平行公理 c. 同位角相等，兩直線平行 d. 平行于同一條直線的兩條直線互相平行精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -二、填空題（每小題5 分，共 30 分） 7. 如圖 5，已知直線ab 、cd相交于點o ，oe平分 boc ，若 aoc=40 ，則boc= _ 度， doe= _ 度. 8. 鄰補角的兩條平分線互相 . 9. 如圖 6，已知 ac，b c，那么_ _ ，這是根據(jù) . 10. 如圖 7，當圖

55、中 l 和 2 滿足 _ 時，能使oa ob （只需填上一個條件即可） . 11. 如圖 8 ，_ （己知） bcad（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） 12. 在同一平面內(nèi)，直線a、b 相交于點m ，且 ac，則 b 與 c 的關(guān)系是 . 三、解答題（每題10 分，共 40 分） 13. 如圖，直線ef、bc相交于點o ， aoc 是直角， aoe=115 ，求 cof的度數(shù) . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 頁，共 37 頁 - - - - - - - - - 14. 過鈍角的頂點向它的一邊作垂線，將此鈍角分成兩個度數(shù)之比為61

56、的角，求此鈍角的度數(shù) . 15. 如圖，已知直線ef與 ab 、cd分別相交于點g、h，且 1=3，那么 ab與 cd平行嗎 ?為什么 ? 16. 如圖，已知be是 b的平分線，交ac于 e，其中 l= 2，那么 de bc嗎?為什么? 答案一、 1.a 2.b 3.b 4.c 5.c 6.d 二、 7.140 ， 110 8. 垂直 9. a，b，在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條不重合的直線互相平行 10. 互余 11. 1 4 12. 相交三、13. 【解題思路】 觀察圖形并結(jié)合題意可以得到兩種方法求cof.一是利用余角定義90 aof ；一是利用對頂角相等boe cof. 解法一：因

57、為aoe=115 （已知），所以 aof=180 -115=65（平角定義）. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 31 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -所以 cof 90 aof 90 65 25. 解法二：因為aoe=115 （已知），所以 boe 115 -90 25. 所以 cof boe 25. 14. 【解題思路】首先要理解題意，然后根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合解題. 解：由題意畫出如下圖形：無論圖 1 還是圖 2 都把這個鈍角分為2： 16：1. 而 290，所以這個鈍角的度數(shù)是90105. 15.

58、【解題思路】要知道ab 、cd是否平行，就要找相應(yīng)的平行線判定條件，對號入座. 解：平行，原因如下：因為 1 ghd （對頂角相等） ，又因為 1 3（已知），所以 ghd 3. 所以 ab cd （同位角相等，兩直線平行）. 16. 【解題思路】要知道de 、bc是否平行，就要找相應(yīng)的平行線判定條件，由已知1 2，只要能說明2 ebc ，則可說明de、bc平行，而這一點可以由be是 b的平分線可以得到 . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 32 頁，共 37 頁 - - - - - - - - -解： de bc ，理由如下：因為 1

59、 2（已知），又因為 1 ebc （be是 b的平分線），所以 2 ebc. 所以 de bc （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）. 平行線的性質(zhì)和平移一、選擇題（每題5 分，共 30 分） 1. 兩條平行線被第三條直線所截得到的角中，角平分線互相垂直的是（） . . 同旁內(nèi)角. 內(nèi)錯角. 同位角. 內(nèi)錯角或同位角 2. 在同一平面內(nèi)，下列說法中，正確的有（）個 . 過兩點有且只有一條直線. 兩條不同的直線有且只有一個公共點. 過一點有且只有一條直線與己知直線垂直. 過一點有且只有一條直線與己知直線平行. a.1 個 b.2 個 c.3 個 d.4 個 3. 關(guān)于平移，下列說活正確的是（）. a. 原圖中兩頂點連成的線段長是平移的距離 b. 平移后的圖形中，兩頂點連成的線段長是平移的距離精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 頁，共 37 頁 - - - - - - - -