ch函數(shù)極限定義與性質(zhì)實用教案

1、幾何幾何(j h)解釋解釋:1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa推論推論(tuln)11/24/2021第1頁/共58頁第一頁，共58頁。數(shù)列數(shù)列(shli)極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)1.有界性有界性(全局性）全局性）定理定理1 1 收斂收斂(shulin)(shulin)的數(shù)列必定的數(shù)列必定有界有界. .注意：有界性是數(shù)列收斂注意：有界性是數(shù)列收斂(shulin)的必要條的必要條件件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .11/24/2021第2頁/共58頁第二頁，共58頁。2.唯一性唯一性定理定理2 2 每個收斂的數(shù)列只有一個每個收斂的數(shù)列只有一個(y )(y )極限極限. .3

2、.3.子列的收斂性子列的收斂性定理定理(dngl)3 (dngl)3 如果數(shù)列收斂，則它的任一個如果數(shù)列收斂，則它的任一個子數(shù)列也收斂，且極限相同子數(shù)列也收斂，且極限相同. .11/24/2021第3頁/共58頁第三頁，共58頁。第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)極限的極限的定義定義一、自變量的變化一、自變量的變化(binhu)(binhu)過程過程二、自變量趨向無窮大時函數(shù)二、自變量趨向無窮大時函數(shù)(hnsh)(hnsh)的的極限極限三、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限 新課新課 第一章第一章 11/24/2021第4頁/共58頁第四頁，共58頁。一、

3、自變量的變化一、自變量的變化(binhu)過過程程2. x 0有定義有定義 , 對任意給定的無論對任意給定的無論(wln)多么小的正數(shù)多么小的正數(shù) ,總存在正數(shù)總存在正數(shù) X , 當(dāng)當(dāng) x X 時，時， 恒有恒有 | f(x)A|， 則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 是函數(shù)是函數(shù) f(x) 當(dāng)當(dāng) x+ 時的極限時的極限 .1. x +時時 f (x) 的極限的極限(jxin)當(dāng)當(dāng) 時時11/24/2021第8頁/共58頁第八頁，共58頁。幾何幾何(j h)意義意義xxysin 11/24/2021第9頁/共58頁第九頁，共58頁。2. x - 時時 f (x) 的極限的極限(jxin)定義定義 設(shè)設(shè) f(

4、x) 在在 x 0有定義有定義 , 對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù)(zhngsh) ,總存在正數(shù)總存在正數(shù)(zhngsh) X , 當(dāng)當(dāng) x- X 時，時，恒有恒有| f(x)A|，則稱常數(shù)，則稱常數(shù) A 是函數(shù)是函數(shù) f(x) 當(dāng)當(dāng) x- 時時的極限的極限 .記為記為無論無論(wln)多么小多么小11/24/2021第10頁/共58頁第十頁，共58頁。幾何幾何(j h)意義意義xxysin 11/24/2021第11頁/共58頁第十一頁，共58頁。3. x 時時f(x)的極限的極限(jxin)定理定理(dngl)：幾何幾何(j h)意義意義注注否否11/24/2021第12頁/共58頁第十

5、二頁，共58頁。xxysin 幾何幾何(j h)意義意義 0, 總總存在正數(shù)存在正數(shù) 0,只要只要 f 的定義域中的點的定義域中的點 x 滿足滿足0|x x0| 時，恒有時，恒有 |f(x)A|0 ?不能不能! 11/24/2021第35頁/共58頁第三十五頁，共58頁。定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)。 推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設(shè)設(shè)。 由此也可證由此也可證“極限極限(jxin)的唯的唯一性一性”

6、?不能不能! 當(dāng)當(dāng)?shù)?A=B=011/24/2021第36頁/共58頁第三十六頁，共58頁。4.函數(shù)極限的歸并性函數(shù)極限的歸并性(函數(shù)極限與數(shù)列函數(shù)極限與數(shù)列(shli)極極限的關(guān)系限的關(guān)系)定義定義 .)()(., )(1時時的的子子列列當(dāng)當(dāng)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱數(shù)數(shù)列列時時使使得得中中有有數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)在在過過程程axxfxfaxnaxaxnnnn .)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則則有有時時的的一一個個子子列列當(dāng)當(dāng)是是數(shù)數(shù)列列若若定理定理例如例如(lr),則則11/24/2021第37頁/共58頁第三十七頁，共58頁。例如例如(lr),xxysin 函

7、數(shù)極限與數(shù)列函數(shù)極限與數(shù)列(shli)極限的極限的關(guān)系關(guān)系函數(shù)極限存在函數(shù)極限存在(cnzi)(cnzi)的充要條件是它的任何子列的的充要條件是它的任何子列的極限都存在極限都存在(cnzi),(cnzi),且相等且相等. (Heine. (Heine定理，又稱歸定理，又稱歸并原則并原則) )即即11/24/2021第38頁/共58頁第三十八頁，共58頁。例例611/24/2021第39頁/共58頁第三十九頁，共58頁。例例6證證xy1sin 二者不相等二者不相等(xingdng),11/24/2021第40頁/共58頁第四十頁，共58頁。五、小結(jié)五、小結(jié)(xioji)1. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)

8、極限的統(tǒng)一定義極限的統(tǒng)一定義;)(limAxfx (見下表見下表)11/24/2021第41頁/共58頁第四十一頁，共58頁。過過 程程時時 刻刻從此從此(cngc)時刻時刻以后以后 x0 xx 00 xx 0 xx 0 xx00 xxx 00 xxx 過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 2.11/24/2021第42頁/共58頁第四十二頁，共58頁。二、自變量趨向無窮大時函數(shù)二、自變量趨向無窮大時函數(shù)(hnsh)的極限的極限11/24/2021第43頁/共58頁第四十三頁，共58頁。二、自變量趨向二、自變量趨向(qxing)無窮大時函數(shù)的無窮大時函數(shù)的極限極限11/24/2021第

9、44頁/共58頁第四十四頁，共58頁。二、自變量趨向二、自變量趨向(qxing)無窮大時函數(shù)的無窮大時函數(shù)的極限極限11/24/2021第45頁/共58頁第四十五頁，共58頁。二、自變量趨向二、自變量趨向(qxing)無窮大時函數(shù)的無窮大時函數(shù)的極限極限11/24/2021第46頁/共58頁第四十六頁，共58頁。二、自變量趨向無窮大時函數(shù)二、自變量趨向無窮大時函數(shù)(hnsh)的極限的極限11/24/2021第47頁/共58頁第四十七頁，共58頁。二、自變量趨向二、自變量趨向(qxing)無窮大時函數(shù)無窮大時函數(shù)的極限的極限11/24/2021第48頁/共58頁第四十八頁，共58頁。二、自變量趨

10、向二、自變量趨向(qxing)無窮大時函無窮大時函數(shù)的極限數(shù)的極限11/24/2021第49頁/共58頁第四十九頁，共58頁。二、自變量趨向二、自變量趨向(qxing)無窮大時函數(shù)的無窮大時函數(shù)的極限極限sinx/xx11/24/2021第50頁/共58頁第五十頁，共58頁。.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時，只要時，只要取取，問當(dāng)，問當(dāng)時，時，、當(dāng)、當(dāng).001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要時，時，取取，問當(dāng)，問當(dāng)時，時，、當(dāng)、當(dāng) 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221

11、 xxxxxx、練練 習(xí)習(xí) 題題11/24/2021第51頁/共58頁第五十一頁，共58頁。.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時極限存在的充分時極限存在的充分當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存存在在時時的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) xxxx 11/24/2021第52頁/共58頁第五十二頁，共58頁。練習(xí)題答案練習(xí)題答案(d n)11/24/2021第53頁/共58頁第五十三頁，共58頁。備注備注Heine定理海涅定理定理海涅定理limx-af(x)=b存在的充要條件存在的充要條件是是:對屬于函數(shù)對屬于函數(shù)

12、f(x)定義域的任意數(shù)列，定義域的任意數(shù)列，且且limn-an = a，ana，有，有l(wèi)imn-f(an)=b。海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的橋梁。海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的橋梁。根據(jù)海涅定理，求函數(shù)極限則可化為求數(shù)列極限，根據(jù)海涅定理，求函數(shù)極限則可化為求數(shù)列極限，同樣求數(shù)列極限也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限。同樣求數(shù)列極限也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限。 因此，函數(shù)極限的所有性因此，函數(shù)極限的所有性 質(zhì)都可用數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)質(zhì)都可用數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)來加以證明。根據(jù)海涅定理的必要重要條件還可以判斷函數(shù)極限是否存在。來加以證明。根據(jù)海涅定理的必要重要條件還可以判斷函數(shù)極限是否存在。所以在求

13、數(shù)列或函數(shù)極限時，海涅定理起著重要的作用。所以在求數(shù)列或函數(shù)極限時，海涅定理起著重要的作用。 海涅定理是德國數(shù)學(xué)家海涅（海涅定理是德國數(shù)學(xué)家海涅（Heine）給出的，應(yīng)用）給出的，應(yīng)用(yngyng)海涅定海涅定理人們可把函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化（歸結(jié)）成數(shù)列問題，因而人們又稱它為歸結(jié)理人們可把函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化（歸結(jié)）成數(shù)列問題，因而人們又稱它為歸結(jié)原則。原則。11/24/2021第54頁/共58頁第五十四頁，共58頁。M-Myxoy=f(x)I有界有界則稱則稱 f(x) 在在I 上上有界有界.若這若這M不存在不存在(cnzi)，則稱，則稱 f(x)在在 I 上無界上無界.例：例：有界有界有界有界無界

14、無界1121/2oy1yx 補充補充(bchng)知識知識函數(shù)函數(shù)(hnsh)的有界性的有界性:設(shè)設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義上有定義v 11/24/2021第55頁/共58頁第五十五頁，共58頁。 設(shè)設(shè) f(x) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 I I 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,若若 M1 M1 和和 M2 M2 使使x xI, I, 都有都有 M1 f(x) M2 , M1 f(x) M2 , 則稱則稱 f(x) f(x) 在在 I I 內(nèi)有內(nèi)有界界, ,而而M1M1和和 M2M2稱為稱為(chn wi)f(x)(chn wi)f(x)在在 I I 上的一個下界和一個上界上的一個下界和一個上界. .M-Myxoy=f(x)I有界有界則稱則稱 f(x) 在在I 上上有界有界.若這若這M不存在不存在(cnzi)，則稱，則稱 f(x)在在 I 上無界上無界.函數(shù)有界的另一種函數(shù)有界的另一種(y zhn)定義定義:1121/2oy1yx 有界有界函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:設(shè)設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義上有定義v 補充補充11/24/2021第56頁/共58頁第五十六頁，共58頁。M-Myxoy=f(x)I有界有界則稱則稱 f(x) 在在I 上上有界有界.若這