初三---相似圖形思維導圖內容---111

1、太奇黃岡智能學校寶安校區(qū)比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段線段a、b、c、d成比例，表示為或abcd（稱其為比例式），其中a、b、c、d叫做組成比例的項，a、d叫做比例外項，b、c叫做比例內項，線段d叫做a、b、c的第四比例項若作為比例內項是兩條相同的線段，即abbc或，那么線段b叫做線段a和c的比例中項例1、如果，且xyz12，求x，y，z的值解：設，則x3k4，y2k3，z4k8代入xyz12中，得3k42k34k812，解得k3x3k43×345，y2k32×333，z4k84×38

2、4比例的基本性質其中（3）稱為合比性質，（4）稱為等比性質例2、已知a,b,c分別是ABC的三邊長，且，試猜想ABC的形狀，并說明理由解：因為a+b+c0, 且,所以，同理，因為 a0,b0,c0，所以a-b=0, b-c=0, c-a=0,即a=b,b=c,c=a,所以 a=b=c所以ABC是等邊三角形例3、如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上，若這個矩形是正方形，那么邊長是多少？若這個矩形的長是寬的兩倍，則邊長是多少？ 解：（1）設正方形邊長為xmm， PQAD，PNBC，根

3、據平行線分線段成比例得，由題意知PN=PQ=x，AD=80，BC=120，兩式相加得解得x=48.這個正方形的邊長為48mm（2）設長方形的寬為xmm，長為2xmm， PQAD，PNBC，根據平行線分線段成比例得，若PN=2x， PQ=x，AD=80，BC=120，兩式相加得解得x=若PN=x， PQ=2x，AD=80，BC=120，兩式相加得解得x=30（mm），2x=60(mm). 答：矩形的長為寬為或長為60mm，寬為30mm相似多邊形1）相似圖形定義：形狀相同的圖形稱為相似圖形2）相似多邊形定義：一般地，各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對應邊的比叫做它們的相

4、似比3）相似多邊形的性質及判定相似多邊形的性質：對應角相等，對應邊成比例相似多邊形的判定：(1)邊數相同；(2)對應角相等；(3)對應邊成比例判定兩個多邊形相似，這三個條件缺一不可，另外，形狀相同的圖形也是相似圖形相似三角形的判定1、相似三角形定義：對應角相等，對應邊的比相等的兩個三角形叫相似三角形其中對應邊的比稱為相似比，當相似比等于1時，兩個相似三角形全等2、相似三角形的判定（1）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似（2）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似（3）如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似（4

5、）如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似（5）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形相似.例4、已知，如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC所在直線解析式為(1)在x軸上存在這樣的點M，使MAB為等腰三角形，求出所有符合要求的點M的坐標；(2)動點P從點C開始在線段CO上以每秒個單位長度的速度向點O移動，同時，動點Q從點O開始在線段OA上以每秒1個單位長度的速度向點A移動設P、Q移動的時間為t秒是否存在這樣的時刻t，使OPQ與BCP相似，并說明理由；設BPQ的面積為S，求S與t間的函數關系式，并求出t為何值時，S有最小值解：(1)如圖，易知A(

6、0,1)，AB為底邊，則，AB為腰且MA=AB時，由題意可知，由對稱性知AB為腰且MB=AB時，由題意可知由對稱性知(2)假設存在這樣的時刻t，使OPQ與BCP相似如圖所示，OQ=t，由得，即t2t1=0或3t=2，解得又0t1，當時，OPQ與BCP相似當時，面積S有最小值，最小值是例5、正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直，（1）證明：；（2）設，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN面積最大，并求出最大面積；（3）當M點運動到什么位置時，求x的值（1）證明：在正方形ABCD中，

7、在中，（2）解：，當時，y取最大值，最大值為10（3）解：，要使，必須有，由（1）知，當點M運動到BC的中點時，此時黃金分割設一條線段AB的長度為a，C點在靠近B點的黃金分割點上，且AC為b 近似值為0.618例6、已知點C是線段AB的黃金分割點，AC，且ACBC，求線段AB與BC的長。解：設AB=x，BC=x-55+5，由AC/AB=BC/AC，得x（x-55+5）=（55-5）²x²-55x+5x+505-150=0x=（55-5）±5（5-5）/2x1=10，x2=55-15(小于0舍去）。AB=10，BC=15-55.相似三角形的性質（1）相似三角形的對應

8、角相等，對應邊成比例（2）相似三角形的對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比（3）相似三角形的周長的比等于相似比（4）相似三角形的面積的比等于相似比的平方例7、如圖，ABC中，DEBC，BE和CD相交于點F，且SEFC=3SEFD求SADESABC解： 位似1、位似變換的定義若兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線都經過同一個點，則這樣的兩個圖形叫位似圖形，這個點叫位似中心，這時的相似比又稱位似比從定義可看出，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形2、位似圖形的性質位似圖形的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比例8、如圖ABC中，AB80cm，高CD6

9、0cm，矩形EFGH中E、F在AB邊上，G在BC邊上，H在三角形內，且EF:GF2:1（1）在ABC內畫出矩形GFEH的位似形，使其頂點在ABC的邊上（保留作圖痕跡）（2）求所作的矩形的面積解：（1）矩形GFEH的位似形其長與寬的比為2:1，設其寬為x，則長為2x，根據相似三角形的性質可知：，兩式左右兩邊分別相加得：，解得：x24，由此先找出點I，然后作IJAB于點J，作IKAB交AC于點K，再過點K作KLAB于點L，連接各頂點，四邊形IJLK即為所求所畫圖形如下所示：（2）由（1）可知，該矩形的長為48，寬為24，3、在平面直角坐標系中，圖形經過平移、旋轉、軸對稱后，各點的坐標會發(fā)生相應變化，同樣，圖形經過位似變換后，點的坐標也會發(fā)生相應變化變化規(guī)律為：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，位似比為k，那么位似圖形對應點的坐標值的比等于k或k警示：（1）這是以原點為位似中心的位似變換中圖形坐標的變化規(guī)律（2）當對應點在同一象限內時，對應點坐標的比（指橫坐標與橫坐標，縱坐標與縱坐標的比）等于k（3）當一個點在x軸上，它的對應點仍在x軸上，且橫坐標的比等于k或k（這時縱坐標為0，比值不存在），在y軸上的情形類似例9、如圖，ABC的三個頂點坐標分別為A（-2，4）、B（-3，1）、C（-1，1），以坐標原點O為位似中心，相似比為2，在第二象限內將ABC放大