2014-2017高考真題-選修4-5不等式選講

1、2014-2017高考真題-選修 4-5不等式選講選修4-5不等式選講考點不等式選講1. (2017漸課標 I ,23)已知函數 f (x) = x2+ax+4, g (x) =|x+1|+|x-1|. (10分)當a=1時，求不等式f (x) >g(x)的解集;若不等式f (x) Ag(x)的解集包含-1, 1,求a的取值范圍.1.(1)解：當a=1時，f (x) =-x2+x+4,是開口向下，對稱軸為x=12的二次函數， 2x2,-l<x< 1g (x) =|x+1|+|x - 1|=國二 1當 x6 (1, +°°)時，令x2+x+4=2x,解得 x

2、= 2,g (x)在(1,+°°)上單調遞增，f (x)在(1, +°°)上單調遞減，.二此時f (x) >g后二1(x)的解集為(1,2 ;當 x6 1, 1時,g (x) =2, f (x) Af( - 1) =2.當x6 ( - °°, - 1)時，g (x)單調遞減，f (x)單調遞增，且g (1) =f (- 1) =2.綜上所述，f (x) >g (x)的解集為-1,;(2)依題意得：-x2+ax+4A2在-1, 1恒成立，即x2-ax-20底-1, 1恒成立，則只需 獷-口(-1)-2£0 ,解得-

3、1<a<,l 故a的取值范圍是-1,1.2) (2017漸課標 H ,23)已知 a>0, b>0, a (2017漸課標出,23)已知函數 f (x) =|x+1|- |x-2|.+b3=2,證明：(I) (a+b) (a5+b5) >4(H) a+bW2.2.證明：(I)由柯西不等式得：(a+b) (a5+b5) >(存了 +亞石) 2= (a3+b3) 2>4當且僅當 冠= 府，即a=b=1時取等號，(C)a3+b3=2,(a+b) (a2-ab+b2) =2,(a+b) (a+b) 2-3ab=2,(a+b) 3- 3ab (a+b) =2,知

4、勾=ab,(ti+句二由均值不等式可得：(a+b) 3-2<44 (a+b) 3&工.a+bW2,當且僅當a=b=1時等號成立.(I )求不等式f (x) Al的解集；(H )若不等式f (x) >2 - x+m的解集非空，求m的取值范圍./ 13. (I) f (x) =|x+1| - |x-2|= I, f (x) A1當1Wxw時，2x 1A解得 1Wxw；2當x>2時，3Al恒成立，故x>2;綜上，不等式f (x) Al的解集為x|x >1(n )原式等價于存在 x6R使得f (x) - x2+xAm成立，即 m< f (x) - x2+x

5、max , 設 g (x) =f (x) x2+x./ -1-R 十效- 11<X<2由(1)知，g (x)= 一工二十工十九工2 2,當xW-1時，g (x) =-x2+x-3,其開口向下，對稱軸方程為 x=三 一1,.g (x) <g( - 1) =- 1-1-3=-5;當-1<x<2時，g (x) =-x2+3x-1,其開口向下，對稱軸方程為x=工 6 (- 1, 2),.g(x) <g (二)=-+ + 二-1=4；1當xA2時，g (x) = -x2+x+3,其開口向下，對稱軸方程為x=三<2, . g (x) <g (2) =-4+2

6、=3=1;5綜上，g (x) max= 4,m的取值范圍為(-°°,1.4. (20171U蘇,21D)已知 a, b, c, d 為實數，且 a2+b2=4, c2+d2=16,證明 ac+bd< 8.4,證明：: a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cos& b=2sin 5 c=4cos g d=4sin 3.cos ( a . ac+bd=8 (cos % cos B+sin a sin=8fcos ( a- 3) <8 當且僅當-B) =1時取等號.因此 ac+bd< 8.5.(2016 全國 I , 24)已知函數 f(x)

7、= |x+1|-|2x-3|.在圖中畫出y=f(x)的圖象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.5.解(1)f(x)=x 4, x 1,33x 21 x 2, y=f(x)的圖象如圖所示.一 3x + 4, x>2(2)當f(x)= 1日寸，可得x= 1或x = 3;當f(x)= 1時，可得x = 1或x=5,31 ,、 一故 f(x)>1 的解集為x|1<x<3; f(x)< - 1 的解集為 x|x<a或x>5 .31 . 一所以|f(x)|>1的解集為x|x<,或1<x<3或x>5 .36.(2016 全國

8、m , 24)已知函數 f(x) = |2x-a| + a.(1)當a = 2時，求不等式f(x)w的解集；(2)設函數g(x) = |2x1|.當x6 R時，f(x)+g(x)n$求a的取值范圍.6.解 (1)當 a=2 時，f(x)=|2x 2| + 2.解不等式 |2x2|+2W6 得 1< 3.因此f(x) <的解集為x|- 1 x< 3.當 x R 時，f(x)+g(x)=|2x-a|+a+ |1 2x| 將x a+1 2x| 十a =|1 a| + a,所以當x6R時，f(x) + g(x)n痔價于|1a| + an理當awl時，等價于1 a + anj無解.當a

9、>1時，等價于a-1 + a>解得a>2.所以a的取值范圍是2, + s).7.(2016全國7 , 24)已知函數 f(x) =f(x)<2的解集.求M;(2)證明：當 a, b6M 時，|a+b|<|1 + ab|.八12x, x< 2，一117 .(1)解 f(x)= 1, 2<x<22x, x>2.,11當 x2日t,由 f(x)<2 得2x<2,解得 x>1,所以,-1<xV"2；一 11 一當-2<x<2時，f(x)<2；,11當x馬時，由f(x)<2得2x<2,解

10、得x<1,所以，-2<x<1.所以 f(x)<2 的解集 M = x|-1<x<1.(2)證明 由(1)知，當 a,b6 M 時,-1<a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1+ab)2 = a2+b2-a2b2-1 = (a2-1)(1-b2)<0,即(a+b)2<(1 + ab)2,因此 |a+b|<|1 + ab|.8 .(2015重慶,16)若函數f(x)=|x+1| + 2|xa|的最小值為5,則實數a=8.4或6 由絕對值的性質知f(x)的最小值在x=-1或x=a時取得,3 .7右 f(-1)= 2|

11、1-a| = 5,a = 2或 a=,經檢驗均不合適；右 f(a) = 5,則|x+1| = 5, 2 = 4或2= 6,經檢驗合題意，因此 a=4或a= 6.9.(2015陜西,24)已知關于x的不等式|x+ a|< b的解集為x|2<x< 4.(1)求實數a, b的值；(2)求at+12 + 倔的最大值.一 b- a = 2,9.解(1)由|x+ a|< b,得一ba<x<ba,則解得 a= b-a = 4,3, b=1.(2)73t+12+ 址 =V3":t + Vt <當且僅當叱(V3) 2+12 (Wt) 2+ M) 2 = 2M4

12、t+t= 4, t=1 時等號成立，故(J-3t+12 + Vt)max =4.10.(2015新課標全國I ,24)已知函數 f(x) = |x+1|-2|x-a|, a>0.(1)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.10.解 (1)當 a=1 時，f(x)>1 化為|x+1| 2|x1|1>0.當x 1時，不等式化為x-4>0,無解；當1<x<1時，不等式化為3x- 2>0,解得2<x<1； 3當xAl時，不等式化為x + 2>0,解得1»&l

13、t;2.2 所以f(x)>1的解集為x 3<x<2 .x 1 2a, x< 1,(2)由題設可得，f(x)= 3x+1 2a, 14 3，x+ 1 + 2a, x>a.所以函數f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A2, 0 ,B(2a+1,0),C(a,a+1), 3 ABC的面積為|(a+ 1)2.由題設得2(a+ 1)2>6,故a>2.所以a的取值 33范圍為(2, +8).11.(2015新課標全國H , 24)設a、b、c、d均為正數，且a+b= c + d, 證明：(1)若 ab> cd,則 g+Vb>Vc+ Vd;(

14、2)Va+Vb» 4C+而是|ab|< |cd|的充要條件.11證明 (1)因為(g + Vb)2=a+b+2/0b,(加+ &)2 = c+d+2/Cd, 由題設a+b= c + d, ab>cd得(血+的)2>(加+”)2.因此，a+Jb> c+ d.(2)若|ab|< |cd|,則(a b)2<(cd)2,即(a+b)2 4abe (c+d)2 4cd.因為 a+ b=c+ d,所以 ab>cd.由(1)得« + 正>&+a.若油+鐘>加+ Vd,則(小+鐘)2>(加+vd)2,即 a+b+2

15、Va)> c+d+2 cd.因為 a+b=c+d,所以 ab>cd,于是(a b)2=(a + b)2 4abe(c+d)2 4cd=(cd)2.因止匕|a b|< |cd|.綜上，Va+冊)Vc+ &是|a b|< |cd|的充要條 件.12 .(2014廣東，9)不等式|x1|+|x+2| A的解集為.X A 1,12.3X"3或x"原不等式等價于(x-1) + (x+2) *2<x<1,xw 2,或或 一(x1) + (x + 2) >5 (x-1) (x+2) A解得乂42或乂土3.故原不等式的解集為x|x3或xA2

16、.5113 .(2014湖南，13)若關于x的不等式|ax2|<3的解集為x|3<x<3 , 貝 U a=.14 .-3 依題意，知 a'x2|<3? 3<ax 2<3? 1<ax<5,當 a>05 1-=一,一1 5a 3，、“時，不等式的解集為一a，5,從而有 15此方程組無解.=a3'5551a 3'當a<0時，不等式的解集為5, a ,從而有 1 1解得a=-一=一a 3'3.114 .(2014重慶，16)若不等式|2x1|+|x+2| N +2a+2對任意實數x 恒成立，則實數a的取值范圍是

17、.15115 . 1, 2令 f(x)= |2x-1|+|x+2|,易求得 f(x)min=2,依題息得 a2+2a+2,? -1 均為15.(2014 新課標全國 H , 24)設函數 f(x)=|x + ai+|x-a|(a>0).(1)證明:f(x) 42若f(3)<5,求a的取值范圍.16 .(1)證明由 a>0,有 f(x)= |x + | + |x a| x + (x -a)| = - + a>2.aaa所以 f(x) >2.(2)解f(3) = |3 + -|+|3a|.當 a>3 時，f(3)=a + -,由 f(3)<5 得aa3&l

18、t;a<5+ 212當 0<aW3時，f(3) = 6 a+-,由 f(3)<5 得二5<a<3.a2綜上，a的取值范圍是1+ ,5 5+ 212 ，217 .(2014天津，19)已知q和n均為給定的大于1的自然數.設集合M = 0,1,2,，q 1,集合 A = x|x = x+x2q+xnqn 1, xi 6 M , i =12 ，n.(1)當q = 2, n=3時，用列舉法表示集合 A;(2)設 s, t A, s= a + a2q+ anqn 1, t = b1 + b2q+ bnqn 1,其 中 ai, bi6M, i = 1,2,，n.證明：若 an<bn,則 s<t.18 .(1)解當 q=2,n = 3 Bt,M = 0,1