隨機過程隨機分析推薦課件

1、2021/8/221第六章第六章 隨機分析隨機分析2021/8/222 隨機分析簡介隨機分析簡介 微積分中普通函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分微積分中普通函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等概念推廣到隨機過程的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和等概念推廣到隨機過程的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分上即隨機分析積分上即隨機分析2021/8/223 隨機分析簡介隨機分析簡介 一、均方收斂一、均方收斂 定義定義6.4 設(shè)有二階矩隨機序列設(shè)有二階矩隨機序列Xn和二和二階矩隨機變量階矩隨機變量X，若有若有成立，則稱成立，則稱Xn均方收斂于均方收斂于X。記作記作 或或0|lim2XXEnnXXnnl.i.mXXnm.s(mean square) (limit in

2、 mean) 2021/8/224隨機分析簡介隨機分析簡介定理定理6.2（柯西收斂定理）（柯西收斂定理） 二階矩隨機序列二階矩隨機序列Xn收斂于二階矩隨機收斂于二階矩隨機變量變量X的充要條件是的充要條件是0|lim2,mnmnXXE2021/8/225隨機分析簡介隨機分析簡介定理定理6.2 設(shè)設(shè)Xn, Yn, Zn,都是二階矩隨機都是二階矩隨機序列，序列，U是二階矩隨機變量，是二階矩隨機變量，cn為常數(shù)為常數(shù)序列，序列，a,b,c為常數(shù)，令為常數(shù)，令則則(1) (2) (3),l.i.mXXnn,l.i.mYYnn,l.i.mZZnnccnnlimcccnnnnliml.i.mUUnl.i.m

3、cUUcnnl.i.m2021/8/226隨機分析簡介隨機分析簡介(4)(5)(6)bYaXbYaXnnnl.i.mnnnnXEEXEXl.i.mlimnnnnnnnYXEXYEYXEl.i.ml.i.mlim222l.i.mlimnnnnXEXEXE2021/8/227隨機分析簡介隨機分析簡介 定理定理6.4 設(shè)設(shè)Xn 為二階矩隨機序列，為二階矩隨機序列，則則Xn均方收斂的充要條件是下列極限均方收斂的充要條件是下列極限存在存在mnmnXXE,lim2021/8/228隨機分析簡介隨機分析簡介 二、均方連續(xù)二、均方連續(xù) 定義定義6.6 設(shè)有二階矩過程設(shè)有二階矩過程X(t),t T，若若對每一個

4、對每一個t T ，有，有則稱則稱X(t)在在t點均方連續(xù)，記作點均方連續(xù)，記作若對若對T中的一切點都均方連續(xù)，則稱中的一切點都均方連續(xù)，則稱X(t)在在T上均方連續(xù)上均方連續(xù)0| )()(|lim20tXhtXEh)()(l.i.m0tXhtXh2021/8/229隨機分析簡介隨機分析簡介 定理定理6.5（均方連續(xù)準(zhǔn)則）（均方連續(xù)準(zhǔn)則） 二階矩過程二階矩過程X(t),t T，在在t點均方連續(xù)點均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在點在點(t,t)處連續(xù)。處連續(xù)。 推論推論 若相關(guān)函數(shù)若相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上連續(xù)，則它在上連續(xù)，則它在T

5、T上連續(xù)。上連續(xù)。),(),(),( ),(| )()(|2ttRthtRhttRhthtRtXhtXEXXXX 2021/8/2210隨機分析簡介隨機分析簡介 三、均方導(dǎo)數(shù)三、均方導(dǎo)數(shù) 定義定義6.7 二階矩過程二階矩過程X(t),t T，若存在若存在隨機過程隨機過程X (t)，滿足滿足則稱則稱X(t)在在t點均方可微，點均方可微，記作記作并稱并稱X (t)為為X(t)在在t點的均方導(dǎo)數(shù)。點的均方導(dǎo)數(shù)。0)()()(lim20tXhtXhtXEhhtXhtXdttdXtXh)()(l.i.m)()(02021/8/2211隨機分析簡介隨機分析簡介 若若X(t)在在T上每一點均方可微，則稱上每

6、一點均方可微，則稱X(t)在在T上均方可微。上均方可微。 類似地可定義二階均方導(dǎo)數(shù)類似地可定義二階均方導(dǎo)數(shù) 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)的廣義二階導(dǎo)數(shù)定義為的廣義二階導(dǎo)數(shù)定義為htXhtXdttXdtXh)()(l.i.m)()(0 21212212121122110021212),(),( ),(),(lim),(21hhttRhttRhhthtRhthtRttttRXXXXhhX2021/8/2212隨機分析簡介隨機分析簡介 定理定理6.6（均方可微準(zhǔn)則）（均方可微準(zhǔn)則） 二階矩過程二階矩過程X(t),t T，在在t點均方可微點均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t

7、1,t2)在點在點(t,t)的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。 推論推論1 二階矩過程二階矩過程X(t),t T 在在T上均方上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一點廣義二階可微。上每一點廣義二階可微。 推論推論2 若相關(guān)函數(shù)若相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一點廣義二階可微，則上每一點廣義二階可微，則2021/8/2213隨機分析簡介隨機分析簡介 )()(),(),()4()()()()(),()3()()()()(),()2()()()() 1 (),(,),(,),(,)(21122122121221

8、1212212112112121212221121tXtXEttttRttttRtXtXEttXtXEtttRtXtXEttXtXEtttRtXEdttdEXdttdmTTttttRtttRtttRTdttdmXXXXXXXXX上上存存在在，并并且且有有在在上上在在2021/8/2214隨機分析簡介隨機分析簡介 四、均方積分四、均方積分 設(shè)設(shè)X(t),t T為二階矩過程，為二階矩過程，f(t)為普通函為普通函數(shù)，其中數(shù)，其中T=a,b，用一組分點將用一組分點將T劃分如劃分如下：下：a=t0t1tn=b，), 2 , 1(, )()(,max11111nittttttXtfSttiiiniiii

9、inniini其中其中作和式作和式記記2021/8/2215隨機分析簡介隨機分析簡介定義定義6.8 如果當(dāng)如果當(dāng) n0時，時，Sn均方收斂于均方收斂于S，即即 ，則稱在區(qū)間，則稱在區(qū)間a,b上均方可積，并記為上均方可積，并記為0|lim20SSEnn)()(l.i.m )()(110iiiniibatttXtfdttXtfSn2021/8/2216隨機分析簡介隨機分析簡介 定理定理6.7（均方可積準(zhǔn)則）（均方可積準(zhǔn)則） f(t)X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可積的充要條上均方可積的充要條件為件為 存在，存在， 特別地，二階矩過程特別地，二階矩過程X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上上均方可積的充要條

10、件為均方可積的充要條件為RX(t1,t2)在在a,b a,b上可積。上可積。 babaXdtdtttRtftf212121),()()(2021/8/2217隨機分析簡介隨機分析簡介 定理定理6.8 設(shè)設(shè) f(t)X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可上均方可積，則有積，則有(1)(2)babababadttEXdttXEdttEXtfdttXtfE)()()()()()(特特別別地地有有 babaXbababaXbabadtdtttRdttXEdtdtttRtftfdttXtfdttXtfE21212212121222111),()(),()()()()()()(特特別別地地有有2021/8/2

11、218隨機分析簡介隨機分析簡介 定理定理6.9 設(shè)二階矩過程設(shè)二階矩過程X(t),t T 在區(qū)在區(qū)間間a,b上均方連續(xù)，則上均方連續(xù)，則在均方意義下存在，且隨機過程在均方意義下存在，且隨機過程Y(t),t T在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可微，有上均方可微，有Y (t)=X(t)。 推論推論 設(shè)設(shè)X(t)均方可微，且均方可微，且X (t)均方連均方連續(xù)，則續(xù)，則)( ,)()(btadXtYta batadXaXbXdXaXtX )()()()()()( 特別地有特別地有2021/8/2219隨機分析簡介隨機分析簡介 例例6.7 設(shè)設(shè) X(t),t T 是實均方可微過程，是實均方可微過程，求其導(dǎo)數(shù)過程求其導(dǎo)數(shù)過程X (t),t T的協(xié)方差函數(shù)的協(xié)方差函數(shù)BX (s,t)。解解 由定理由定理6.6推論推論2(1)由定理由定理6.6推論推論2(4)()()()(tmtXEdttdEXd