2022年線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)第一章行列式1. n 階行列式121212111212122212121nnnntp ppnppnpp ppnnnnaaaaaadaaaaaa2.特殊行列式1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaada aaa aaa1212nn，1122121n nnn3.行列式的性質(zhì)定義記111212122212nnnnnnaaaaaadaaa，112111222212nntnnnnaaaaaadaaa，行列式td稱為行列式d的轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì) 1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì) 2 互換行列式的兩行ijrr或列ijcc，行列式變號 。推論

2、如果行列式有兩行（列）完全相同（成比例），則此行列式為零。性質(zhì) 3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)()jk rk， 等于用數(shù)k乘此行列式；推論 1 d的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到d的外面 ; 推論 2 d中某一行（列）所有元素為零，則=0d。性質(zhì) 4 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaadaaaaa精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載111211

3、1112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性質(zhì) 6 把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。計算行列式常用方法：利用定義；利用運(yùn)算ijrkr把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。4. 行列式按行（列）展開余子式在n階行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列劃去后，留下來的1n階行列式叫做元素ija的余子式，記作ijm。代數(shù)余子式1ijijijam記，叫做元素ija的代數(shù)余子式。引理一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）( , )

4、i j元外ija都為零，那么這行列式等于ija與它的代數(shù)余子式的乘積，即ijijda a。（高階行列式計算首先把行列上的元素盡可能多的化成0，保留一個非零元素，降階）定理n階行列式111212122212nnnnnnaaaaaadaaa等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即1122iiiiininda aa aa a，(1,2, )in1122jjjjnjnjda aaaa a或，(1,2, )jn。第二章矩陣1.矩陣111212122211nnmmmnaaaaaaaaaa行列式是數(shù)值，矩陣是數(shù)表，各個元素組成方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于n 的矩陣 a。 記作： an。行(

5、列 )矩陣： 只有一行 (列 )的矩陣。也稱行(列)向量。同型矩陣： 兩矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等。相等矩陣： ab同型 ,且對應(yīng)元素相等。記作：ab零矩陣： 元素都是零的矩陣（不同型的零矩陣不同）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載對角陣： 不在主對角線上的元素都是零。單位陣： 主對角線上元素都是1，其它元素都是0，記作： e注意矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同。2. 矩陣的運(yùn)

6、算矩陣的加法111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababababababab說明只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律1 abba；2abcabc1112121222113,()nnijijm nm nmmmnaaaaaaaaaaaaa設(shè)矩陣記，a稱為矩陣a的負(fù)矩陣40,aaabab 。數(shù)與矩陣相乘111212122211,nnmmmnaaaaaaaaaaaaaa數(shù) 與矩陣 的乘積記作或規(guī)定為數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律（設(shè)ab、為mn矩陣，,為數(shù)）1aa；2aaa；3abab。矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。矩陣與矩陣相

7、乘設(shè)(b )ijb是一個ms矩陣，(b )ijb是一個sn矩陣，那么規(guī)定矩陣a與矩陣b的乘積是一個mn矩陣( c)ijc，其中12121 122jjiiisijijissjsjbba aaa ba ba bb1sikkjka b，1,2,;1,2,im jn，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載并把此乘積記作cab注意1。a 與 b 能相乘的條件是：a 的列數(shù) b的行數(shù)。2。矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情況下，abba，而且兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。3。對于

8、 n 階方陣 a 和 b，若 ab=ba，則稱 a與 b 是可交換的。矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律1ab ca bc；2aba bab3 a bcabac，bc abaca4mnnnmmmnmnaeeaa5若 a 是 n 階方陣，則稱ak為 a 的 k 次冪，即kkaa aa個，并且mkm ka aa，kmmkaa,m k為正整數(shù)。規(guī)定： a0e （只有方陣才有冪運(yùn)算）注意矩陣不滿足交換律，即abba，kkkaba b（但也有例外）轉(zhuǎn)置矩陣把矩陣a的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做a的轉(zhuǎn)置矩陣，記作a，1ttaa；2tttabab；3ttaa；4tttabb a。方陣的行列式由n階方陣a的元素所構(gòu)成的

9、行列式，叫做方陣a的行列式，記作a注意矩陣與行列式是兩個不同的概念，n 階矩陣是n2個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而 n階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個數(shù)。1taa；2naa；(3) aba bb aba對稱陣設(shè) a 為 n 階方陣，如果滿足a=at，那么 a 稱為對稱陣。伴隨矩陣行 列 式a的 各 個 元 素 的 代 數(shù) 余 子 式ija所 構(gòu) 成 的 如 下 矩 陣112111222212nnnnnnaaaaaaaaaa稱為矩陣 a 的伴隨矩陣。性質(zhì)aaa aa e（易忘知識點(diǎn) ）總結(jié)（1）只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的

10、行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律。（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同。逆矩陣：ab bae，則說矩陣a 是可逆的， 并把矩陣b 稱為 a 的逆矩陣。1ab即。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載說明1 a ，b 互為逆陣，a = b-12只對方陣定義逆陣。 （只有方陣才有逆矩陣）3.若 a是可逆矩陣，則a的逆矩陣是唯一的。定理 1 矩陣 a 可逆的充分必要條件是0a，并且當(dāng)a可逆時，有1*1aaa（重要 ）奇異矩陣與非奇異矩陣當(dāng)0a時，a稱為奇

11、異矩陣，當(dāng)0a時，a稱為非奇異矩陣。即0aaa可逆為非奇異矩陣。求逆矩陣方法*1(1)| 021(3)|aaaaaa先求并判斷當(dāng)時逆陣存在；（ ）求；求。初等變換的應(yīng)用：求逆矩陣：1(|)|aeea初等行變換。逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)1111,aaaa若 可逆 則亦可逆 且1112,0,aaaa若 可逆 數(shù)則可逆 且。1113,a bababb a若為同階方陣且均可逆則亦可逆 且()。114,tttaaaa若 可逆 則亦可逆且。115,aaa若 可逆 則有。3.矩陣的初等變換初等行（列）變換1()ijrr對調(diào)兩行，記作。20()ikrk以數(shù)乘以某一行的所有元素，記作。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

12、 - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載3()ijkrkr把某一行所有元素的倍加到另一行對應(yīng)的元素上去，記作。初等列變換： 把初等行變換中的行變?yōu)榱?，即為初等列變換，所用記號是把 “r”換成“c” 。矩陣等價abab如果矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，就稱矩陣與等價。行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零，每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也是非零行的第一個非零元。 （非零行數(shù)及矩陣的秩）.00000340005213023012

13、的秩求矩陣br(b)=3 行最簡形矩陣：行階梯矩陣中非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為 0. 標(biāo)準(zhǔn)型 ：對行最簡形矩陣再施以初等列變換，可以變換為形如rm neofoo的矩陣，稱為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是所有與矩陣a 等價的矩陣中形狀最簡單的矩陣。初等變換的應(yīng)用求逆矩陣：1(|)|a eea初等行變換或1aeea初等列變換。4. 矩陣的秩矩陣的秩任何矩陣m na，總可以經(jīng)過有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的。（非零行的行數(shù)即為矩陣的秩）說明1. 矩陣 amn，則r(a) minm,n; 2. r(a) = r(at); 3. r(a)

14、r 的充分必要條件是至少有一個r 階子式不為零 ; 4. r(a) r 的充分必要條件是所有r + 1 階子式都為零 . 滿秩和滿秩矩陣矩陣ijm naa， 若()r am， 稱 a 為行滿秩矩陣； 若( )r an，稱 a 為列滿秩矩陣；,( ),anr ana若 為 階方陣 且則稱 為滿秩矩陣。()nar an若階方陣滿秩，即0a；1a 必存在；a為非奇異陣；,.nnaeae必能化為單位陣即精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載矩陣秩的求法定理 1 矩陣 a 經(jīng)過有

15、限次行(列)初等變換后其秩不變。即若ab，則 r(a)=r(b)。推論()()pqr paqr a若 、可逆，則矩陣秩的性質(zhì)總結(jié)(1)0()min, m nr am n( 2 )()()tr ara(3),abr ar b若則()()pqr p a qr a(4) 若 、可逆，則(5) max( ),( )( ,)( )()()( , )()1.r ar br a br ar bbbr ar ar ab特別當(dāng)為非零列向量時，有(6)()()()r abr ar b(7)()min( ),( ).r abr ar b(8),()().m nn labor ar bn若則(9)ab=oab=o設(shè)，

16、若為列滿秩矩陣，則（矩陣乘法的消去率）。第三章1. n 維向量n 個數(shù)a1,a2, ,an組成的一個有序數(shù)組(a1,a2, ,an) 稱為一個n 維向量 ,記為1212()(,).tnnaaa aaa列向量形式 或（行向量形式），其中第i 個數(shù) ai稱為向量的第 i 個分量。向量組若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。設(shè)矩陣a=(aij)mn有n 個m 維列向量，即11121121222212jnjnmmmjmnaaaaaaaaaaaaa，12na ,a ,aa向量組稱為矩陣的列向量組。同理，也可說矩陣a 有 m 個行向量組組成。向量，向量組，矩陣與方程組的關(guān)系向量組

17、矩陣：12(,)ma精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載向量方程方程組：11112122122212nn1n2n.mmmmaaabaaabxxxaaab，可簡寫作1122nnxxx向量方程方程組矩陣形式112212(,)mnnxbxbaxbxb線性組合給定向量組12:,ma和向量b，如果存在一組數(shù)12,m，使1122mmb，則向量b 是向量組a 的線性組合 ，這時稱 b 向量能由向量組a線性表示 。定理 1 向量 b 能由向量組12:,ma線性表示的充分必要條件是矩陣

18、12(,)maa aa的秩等于矩陣12(,b)mba aa的秩。即 r(a)=r(a,b)。向量組的線性表示設(shè)有兩個向量組1212:,:,msab及，若 b 組中每個向量都能由向量組a 線性表示，則稱向量組b能由向量組a線性表示，若向量組a 與向量組 b 能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。向量組的線性相關(guān)給定向量組12m:,a，如果存在不全為零的數(shù)12,mk kk使11220mmkkk，則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)；若當(dāng)且僅當(dāng)120mkkk時上式成立，則稱向量組a 線性無關(guān)。線性相關(guān)：可線性組合表示的，線性無關(guān)：相互獨(dú)立，互不代表注意精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

19、- - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.對于向量組來說，不是線性無關(guān)，就是線性相關(guān)。2.對于兩個向量來說，線性相關(guān)意味著兩向量的分量對應(yīng)成比例，幾何含義兩向量共線；三個向量線性相關(guān)意味著三向量共面。3.,0,0,向量組只有一個向量時 若則說線性相關(guān)若則說線性無關(guān)。4.包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的，此時總存在不為零的k，使得1200000nk線性相關(guān)性的判定定理向量組12,m（當(dāng)2m時）線性相關(guān)的充分必要條件是12,m中至少有一個向量可由其余m-1 個向量線性表示定理 4 向 量 組12:,ma a aa線

20、 性 相 關(guān) 的 充 分 必 要 條 件 是 它 所 構(gòu) 成 的 矩 陣12(,)maa aa小于向量的個數(shù)m，向量組線性無關(guān)的充分必要條件是r（a） =m。最大線性無關(guān)向量組設(shè)有向量組a，如果在a 中能選出r 個向量12,r，滿足：0121:,ra（）向量組線性無關(guān)；(2)向量組 a 中任意 r +1 個向量 (如果有的話 )都線性相關(guān)；則稱向量組012:,ra是向量組a 的一個最大線性無關(guān)向量組。(2)*向量組 a 中任何一個 (其它)向量可由012:,ra線性表示。第四章 線性方程組的解線性方程組1111221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa

21、 xa xbaxaxaxb如果有解，則稱其為相容的，否則稱為不相容的。n 元齊次線性方程組ax=0 （1）r(a) = n ax=0 有唯一解，零解（無非零解）（2）r(a) n ax=0 有非零解 . n 元非齊次線性方程組axb（1）無解的充分必要條件是(a)r(a, b)r（2）有唯一解的充分必要條件是(a)r(a,b)nr（3）有無限多解的充分必要條件是(a)r(a,b)nr基礎(chǔ)解系齊次線性方程組0ax的通解具有形式1122xcc(c1, c2為任意常數(shù) )，稱精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載通解式112212,xccc c 為任意常數(shù)中向量12,構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。非齊次線性