2022年蘇教版_九年級數(shù)學一元二次方程及解法

1、1.一元二次方程的概念一元二次方程1. 學問.才能聚焦只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程叫做 一元二次方程；判定一個方程是否是一元二次方程：（1） ）方程是整式方程；（2） ）方程中只含有一個未知數(shù)；（3） ）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.2. 一元二次方程的解（根）2. 方法.技巧平臺使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）例題 1把以下方程化為一般形式， 并寫出它的二次項系數(shù)， 一次項系數(shù)和常數(shù)項， 如方程不是一元二次方程， 請說明理由；（ 1）x26x292x3（ 2） x22x12x27例題 2以下哪些數(shù)時一元二次方程x24 x3 的根？ - 3，

2、-2，-1,0,1,2,3,43 一元二次方程的判定如方程無法確定為一元二次方程時，我們常將方程化為一般形式，并確定未知數(shù)是否只有1 個，未知數(shù)最高次數(shù)為 2，最高次數(shù)的項的系數(shù)為非零實數(shù)；2如 x12x12 化為一般形式為4x2 ，不是一元二次方程2x22 x21 化為一般形式為x28 x2 0 是一元二次方程；【規(guī)律】 任何一個一元二次方程經(jīng)過整理（去括號、去分母、移項、合并同類項）都可化成一元二次方程的一般形式；3. 創(chuàng)新 .思維拓展易錯點 1：對一元二次方程的定義懂得不透一元二次方程的定義包括三方面內(nèi)容：（ 1）是整式方程； （2）只含有一個未知數(shù)； （ 3）未知數(shù)的最高次數(shù)是 2.

3、這三個條件必需同時滿意，缺一不行；例下 列 關(guān) 于 x 的 方 程 ： ax 2bxc0 ； 2 x22x3 ; 2x2x50 ； 23x32 x ，其中肯定是一元二次方程的有（）a. 1 個b. 2 個c. 3 個d. 4 個易錯點 2：寫一元二次方程的各項時易錯如要指出一元二次方程的各項，必需先把一元二次方程寫成一般形式，即各項是在方程為一般形式的前提下定義的， 在寫時肯定要留意符號問題； 如二次項系數(shù)為負數(shù)， 一般把方程兩邊都乘以-1，化為正數(shù)；例題 4某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價，每件銷售由原先的55 元降到了 35 元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，就以下方程正確選項（）2a. 55 1x3

4、52b. 35 1x552c. 55 1x352d. 35 1x55例題 5方程 m28m17 x22mx1 0 （） 填“是”或不是“不是”一元二次方程；例題 6以下方程中一元二次方程的個數(shù)是（）（ 1） 4 x23 x ； （ 2） x222 3x10 ；（ 3）1 x24 x30 ； （ 4） x20 ；（ 5）x10 ； （6） 6x x3356x2例題 72把方程 x15x x32 x23 化成一般形式，并指出它的二次項系數(shù)、二次項、一次項和常數(shù)項分別是；易錯點 3：判定一元二次方程時，易忽視a0 的條件而顯現(xiàn)錯誤一元二次方程中，二次項是必不行少的項，如方程意 a0；ax2bxc0

5、為一元二次方程，就肯定要注一元二次方程的解法1.用直接開平方法解一元二次方程1. 學問.才能聚焦用直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接接開平方法；例 1 解以下方程：22（ 1） x 2（ 2） 4x 1 02（ 3） x +6x+9=02例 2 解以下方程：（ x 1）2= 2（ x 1） 4 = 02 12（ 3 x） 3 = 04 2x-32 =x+2 22. 用配方法解一元二次方程把一個一元二次方程配成2xab b0 的形式來解一元二次方程的叫法叫做配平方；例 1、填空：2（1）x +6x+=x+2； 2x2-2x+=x-；23x 2-5x+=x-2；4x2+x+=x+2；5x

6、2+px+=x+2；例、解以下方程：22（1） x 4x 3 = 0（ 2） x 3x 1 = 03. 用公式法解一元二次方程 對 于 一 元 二 次 方 程ax2bxc0 a0； 當 b 4ac 0時 ， 它 的 根 是2bb24 ab2xb4ac2a0 ，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用這個公式解一元二次方程的方法叫做公式法；例 1 解以下方程： （公式法）22 x 3x2 = 0 2x 7x = 42（3） x2 x20（ 4） 2 xx10（5） 2 y2y102（ 6）1 t 223t1例 2 已知 y12x2 x3, y23x1 ，當 x 為什么值時， y1 與 y 2 相

7、等？4. 用因式分解法解一元二次方程運用分解因式求一元二次方程的解的方法叫做因式分解法；把一元二次方程通過因式分解轉(zhuǎn)化為例、解方程：xm xn0 的形式（）x24 x（） x3x x30（）2 x12x20（）2 y1282 y11602（）2x32x2（試著用 開平方法 和因式分解法 解方程）225. 一元二次方程根的判別式一元二次方程ax2bxc0 a0 的根的情形可由b4ac 來判定，因此b4ac 叫做一2元二次方程ax2bxc0 a0的根的判別式；例 1 不解方程，判定方程根的情形：222 x 3x-2 = 0 2x 7x +7=0x2（3）22 x20（ 4） x2 k1 xk10例

8、 2（ 1）已知代數(shù)式x2m2x2m7 是一個完全平方式；求m 的值（2）已知一元二次方程 m22 x 22m1 x10 m為何值，方程有兩個不相等的實數(shù)根 m 為何值，方程有兩個相等的實數(shù)根 m 為何值，方程沒有實數(shù)根2例 3、 2021 年安徽省蕪湖市 關(guān)于 x 的方程 a 5 x 4x1 0 有實數(shù)根，就a 滿意（）a a1ba 1 且 a 5c a 1 且 a 5d a 56. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系22 方法，技巧平臺bb24ac關(guān)于 x 的一元二次方程axbxc0 a0 ，用求根公式求的x1，2a2xbb24ac, 就xxb , xxc ；2122ba1a例 . 不解方程，求出

9、方程兩根的和與兩根的積（直接口答）：22x + x = 0x +x + = 022 x x+ = 04x+ x +3= 02例 . 已知關(guān)于 x 的方程 x +x = 0 的一個根是，求另一個根及的值例 3、設(shè)方程 4x2 7x3=0 的兩根為 x 1，x 2，不解方程，求以下各式的值：212（ 1） x12+x 2；（ 2）（ x 3）（ x 3）；22例 4 2021年安徽省蕪湖市 已知 x1、 x2 為方程 x 3x1 0 的兩實根，就 x1 8x2 20 x例 5、已知關(guān)于 x 的方程22k21 xk0 的兩個實數(shù)根的平方和是11，求 k 的值2例 6、已知一元二次方程2x +3x-5

10、=0 ，不解方程，求以該方程的兩根的相反數(shù)為根的一元二次方程7. 幾種方法解一元二次方程的區(qū)分與聯(lián)系2. 創(chuàng)新.思維拓展6. 易錯點 1：用直接開平方法解一元二次方程時，對非負數(shù)的平方根的概念懂得不清2【例】解方程x327. 易錯點 2：用公式法解一元二次方程時，忽視化為一般形式致錯【例】解方程x25 x322【錯解】由于由于a1,b5, c3,b4ac5413130配方法公式法因式分解法先配方，再降次，通過配方方法可以推出求根公式適用于全部的一元二次方程直接利用求根公式適用于全部的一元二次方程先使方程左邊為兩個一次因式相乘，右邊為0，再分別使每個一次因式等于 0，適用于某些一元二次方程可推廣

11、到高次方程解一元二次方程的基本思路將二次方程化為一次方程，即降次，直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法并不是孤立的，直接開平方法實際也是因式分解法；x26x70可變形為x32220, 可配方化為x3228. 易錯點 3：用配方法解一元二次方程時，只在方程的一邊添加常數(shù)，而另一邊不加致錯9. 易錯點 4：忽視因式為0 致錯易錯點導(dǎo)析：當方程兩邊有相同的含字母的因式時，在解一元二次方程時不能約去，由于此因式可能為 0.10. 易錯點 5，用因式分解法解一元二次方程，右邊必需為011. 易錯點 6.：對根的判別式的三種情形有漏易錯點導(dǎo)析： 對關(guān)于某一方程有無實數(shù)根進行判定時，有的同學往往直接想到

12、b24ac0 的情形，而忽視了b24ac0 的情形而產(chǎn)生錯誤；12. 易錯點 7：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，忽視了判別式b4ac 應(yīng)滿意不小于 0.2易錯點導(dǎo)析：在利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，必需是在一元二次方程有實數(shù)根的前提下進行的，同學bc在解答時往往心急而直接使用x1x2, x1x2aa如方程無實數(shù)根，就不能求相關(guān)的值；【例】下面是一位同學編制的中學數(shù)學練習題：x1、 x2是方程x22 x20 的兩個實數(shù)根，求22x1x2的值；另一位同學給出明白答由于 xxx x, 所以x 2x 22xx2x x22220121 212121 2針對練習題和解答的正誤作出分析；一元二次方程及解法復(fù)習一、教

13、學目標1、透徹懂得一元二次方程意義2、嫻熟把握一元二次方程的解法二、預(yù)習導(dǎo)學1、預(yù)習檢測請用四種方法解以下方程，并比較哪些方法簡便；4x1 2 x5 2三、新課導(dǎo)學（一）探究運用例 1、（ 1）關(guān)于 y 的一元二次方程2 y y34 的一般形式是，它的二次項系數(shù)是，一次項是，常數(shù)項是；（2） 以下哪個是一元二次方程（）a、 x2 y1b、 x 250c、 x 280d、 3x8x6x2（3） 如 x 2 是方程2xax80 的解，就 a；（4） 下面是某同學在一次數(shù)學檢測中解答的填空題，其中答對的是（）a、如3 x26x ，就 x 2；b、如 x 2xk0 的一個根是 1，就 k 2c、如 abc0 ，就方程ax 2bxc0 必有一個根是 1；x23x2d、如的值為零，就x 2x22（5） 用配方法證明：關(guān)于x 的方程 m12m237 x3mx10 ，無論 m取何值，此方程都是一元二次方程；例 2、按要求解以下方程（ 1 ） 用 直 接 開 平 方 法 、（ 2021年 四 川 省 眉 山 ） 一 元 二 次 方 程2x260 的 解 為（2）因式