常微分方程總結(jié)

1、常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程叫做微分方程(本章內(nèi)容本章內(nèi)容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 , n 階常微分方程的形式是階常微分方程的形式是的的階階.分類分類或或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程) 1(00)

2、 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):的階數(shù)相同.特解特解xxy2dd21xy引例引例1Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 。微分方程的積分曲線族的一族曲線，稱它們?yōu)橛质瞧矫鎯?nèi)族函數(shù)；微分方程的通解是一的積分曲線。稱這條曲線為微分方程又是平面的一條曲線，個函數(shù)；微分方程的特解是一),()(21ncccxyyxyy行的切線。處有平的

3、每一條曲線在點線族中注：微分方程的積分曲中，積分曲線族為例；中，積分曲線為例),(1110022yxcxyxy轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè) y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(則有恒等式 )(yG)(xF當G(y) 與F(x) 可微且 G(

4、y) g(y)0 時, 說明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解隱式通解, 或通積分通積分.同樣,當F(x)= f (x)0 時,上述過程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u,便得原方程的通解通解.解法解法:分離變量: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié) 齊次方程 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程;定

5、解條件;2. 可分離變量方程的求解方法可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個解 .例如, 方程分離變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù) .解; 階;通解; 特解 y = x 及 y = C 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 .齊次方程的求解方法齊次方程的求解方法:)(ddxyxy令,xyu (1) 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 ( 如:

6、 例6 )(2) 利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPeCyd)(稱為齊次方程齊次方程 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是兩個不同的概念與上節(jié)的“齊次方程”本節(jié)的“齊次方程”函數(shù)

7、均為一次函數(shù)方程中未知函數(shù)及其導(dǎo)注：所謂線性，即是對應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解xxPCed)(2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy則xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程

8、伯努利方程伯努利方程的標準形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程線性方程)伯努利 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化為線性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,

9、0(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yxfy 可降階高階微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五節(jié)一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(

10、xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第七章 解法：降階一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n次次 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二

11、、二、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1. 方程)(yfy

12、如何代換求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般說, 用前者方便些. 均可. 有時用后者方便 . 例如,2)(yey 2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?答答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2) 遇到開平方時, 要根據(jù)題意確定正負號.例例6例例7機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為方程的共性共性 為二階線性微分方程. 例例1例例2, )()()(xfyxqyxpy 可歸結(jié)為同一形式同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時, 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時, 稱為齊次方程.

13、復(fù)習復(fù)習: 一階線性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解Yy0)(xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理疊加原理) )()(2211xy

14、CxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是不是所給二階方程的通解？是不是所給二階方程的通解？)()(2211xyCxyCy問題：問題：說明說明:不一定是所給二階方程的通解.例如例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解！并不是通解！但是但是)()(2211xyCxyCy則為解決通解的判別問題為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的下面引入函數(shù)的線性相關(guān)線性相關(guān)與與 線性無關(guān)線性無關(guān)概念概念. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義:)(,),(),(

15、21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān)線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān)線性無關(guān).若存在不全為不全為 0 的常數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線

16、性無關(guān)的充要條件充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無關(guān)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解, 則)()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1x

17、y ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21(自證) 推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個特解特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次齊次方程的通解通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 則是非齊次方程的通解非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(

18、xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ復(fù)習 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個獨立任意常數(shù),例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)(

19、)()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *四、常數(shù)變易法四、常數(shù)變易法

20、復(fù)習: 常數(shù)變易法: )()(xfyxpy對應(yīng)齊次方程的通解: )(1xyCy xxpexyd)(1)(設(shè)非齊次方程的解為 )(1xyy 代入原方程確定 ).(xu對二階非齊次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1. 已知對應(yīng)齊次方程通解: )()(2211xyCxyCy設(shè)的解為 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv )(),(21待定xvxv由于有兩個待定函數(shù), 所以要建立兩個方程:)(xu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含為使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy 將以上結(jié)果代入方程 : 2211v

21、yvy1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得)(2211xfvyvy故, 的系數(shù)行列式02121yyyyW21, yy是對應(yīng)齊次方程的解,21線性無關(guān)因yyP10 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 fyWvfyWv12211,1積分得: )(),(222111xgCvxgCv代入 即得非齊次方程的通解: )()(22112211xgyxgyyCyCy于是得 說明說明: 將的解設(shè)為 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一個必須滿足的條件即方程, 因此必需再附加一 個條件, 方程的引入是為了簡化計算.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 情形情形2.).(1xy僅知的齊

22、次方程的一個非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化簡得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111設(shè)其通解為 )()(2xzxZCz積分得)()(21xuxUCCu(一階線性方程)由此得原方程的通解: )()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy代入 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù)常系數(shù) 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第七節(jié)第七節(jié)齊次線性微分方程齊次線性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程求特征方程(代數(shù)方程代數(shù)方程)之根之根轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 第七章

23、第七章 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入代入得得0)(2xre qprr02qrpr稱稱為微分方程為微分方程的的特征方程特征方程,1. 當當042qp時時, 有有兩個相異實根兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解方程有兩個線性無關(guān)的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的因此方程的通解通解為為xrxreCeCy2121( r 為待定常數(shù)為待定常數(shù) ),xrer函數(shù)為常數(shù)時因為,所以令所以令的解為的解為 則微分則微分其根稱為其根稱為特征根特征根.機動機動 目錄目錄

24、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 當當042qp時時, 特征方程有特征方程有兩個相等實根兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解則微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解設(shè)另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x , 則得則得,12xrexy 因此原方程的因此原方程的通解通解為為xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 當當042qp時時, 特征

25、方程有特征方程有一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根irir21,xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的利用解的疊加原理疊加原理 , 得原方程的得原方程的線性無關(guān)特解線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的因此原方程的通解通解為為)sincos(21xCxCeyx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解（歐拉公式歐拉公式 ) sincosiei 小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxreCeCy212

26、121,:rr特征根21rr 實根實根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 若特征方程含若特征方程含 k 重復(fù)根重復(fù)根,ir若特征方程含若特征方程含 k 重實根重實根 r , 則其通解中必則其通解中必含對應(yīng)項含對應(yīng)項xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必則其通解中必含含對應(yīng)項對應(yīng)項)(01) 1(1)(均為常數(shù)kn

27、nnnayayayay特征方程特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣: : 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )()(2)()() 1 ()2(11112, 1212, 1121xSinxddxCosxccekirkxSincxCosceirexcxcckrkcerkkkkxxrxkkrx項：重共軛復(fù)根一對兩項：一對單共軛復(fù)根項：重實根一項：單實根通解中的對應(yīng)項微分方程的根特征方程小結(jié)小結(jié):內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根特征根:21, rr(1) 當當時時, 通解為通解為xrxreCeCy212121rr

28、(2) 當當時時, 通解為通解為xrexCCy1)(2121rr (3) 當當時時, 通解為通解為)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推廣可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習 求方程求方程0 yay的通解的通解 .答案答案:0a通解為通解為xCCy21:0a通解為通解為xaCxaCysincos21:0a通解為通解為xaxaeCeCy21作業(yè)作業(yè) P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第九節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù)非齊次線性

29、微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八節(jié)型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、 第七章 )(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為其通解為Yy *y非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解求特解的方法求特解的方法*y給出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù)待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法:機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 根據(jù)根據(jù) f

30、(x) 的的特殊形式特殊形式 ,)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 為實數(shù)為實數(shù) ,)(xPm設(shè)特解為設(shè)特解為, )(*xQeyx其中其中 為待定多項式為待定多項式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02qp即則取則取),(xQm從而得到特解從而得到特解形式為形式為. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為為 m 次多項式次多項式 .Q (x) 為為 m 次待定系數(shù)多項

31、式次待定系數(shù)多項式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (2) 若若 是特征方程的是特征方程的單根單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為為m 次多項式次多項式, 故特解形式為故特解形式為xmexQxy)(*(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是是 m 次多項式次多項式,故特解形式為故特解形式為xmexQxy)(*2小結(jié)小結(jié) 對方程對方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此結(jié)論此結(jié)論可推廣可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即當

32、當 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 時時,可設(shè)可設(shè)特解特解機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxxexyyyexyyeyy)23(2)3(;)2(;) 1 (25 設(shè)置：下列方程的特解應(yīng)怎樣xxmaeaeymxPr5*20, 1)(015) 1 (的根，非解：xxmecbxaxxexxQymxxPr)()(2,)(011)2(22*22的單根，是解：xxmebaxxexQxymxxPrr)()(1, 23)(0121) 3(212*2的重根，是二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步

33、 求出如下兩個方程的特解求出如下兩個方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路分析思路:第一步第一步 將將 f (x) 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點分析原方程特解的特點ximexP)()(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第一步第一步 利用歐拉公式將利用歐拉公式將 f (x) 變形變形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(則令,ma

34、xlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 sincosiei 第二步第二步 求如下兩方程的特解求如下兩方程的特解 i是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多項式為mxQm故故ximexPyqypy)(111)()()( 等式兩邊取共軛等式兩邊取共軛 :ximexPyqypy)(111)(1y這說明為方程為方程 的特解的特解 .ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 設(shè)設(shè)則則 有有特解特解:機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回

35、返回 結(jié)束結(jié)束 第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)根據(jù)疊加原理疊加原理, 原方程有原方程有特解特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均為均為 m 次多項式次多項式 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第四步第四步 分析分析的特點yxRxRexyyymmxksincos11因因11yy*yy所以mmRR,因此均為均為 m 次實次實多項式多

36、項式 .11yyy本質(zhì)上為本質(zhì)上為實函數(shù)實函數(shù) ,11yy機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 小小 結(jié)結(jié):xxPxxPenlxsin)(cos)(對非齊次方程對非齊次方程yqypy ),(為常數(shù)qpxRxRexymmxksincos*則可設(shè)特解則可設(shè)特解:其中其中 為特征方程的為特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也上述結(jié)論也可推廣可推廣到高階方程的情形到高階方程的情形.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmexPyqypy)(. 1 為特征方程的為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根

37、重根,xmkexQxy)(*則設(shè)特解為則設(shè)特解為sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 為特征方程的為特征方程的 k (0, 1 )重根重根, ixkexy*則設(shè)特解為則設(shè)特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 思考與練習思考與練習時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為 xxxfcos)() 1當xexxxf22cos)()2當xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為

38、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空填空) 設(shè)設(shè)sin)(cos)(xxRxxRmm機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 求微分方程求微分方程xeyyy 44的通解的通解 (其中其中為實數(shù)為實數(shù) ) .解解: 特征方程特征方程,0442rr特征根特征根:221 rr對應(yīng)對應(yīng)齊齊次方程次方程通通解解:xexCCY221)(2時時,xeAy令代入原方程得代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為故原方程通解為xexCCy221)(xe2)2(12時時,2xexBy令代入原方程得代入原方程得,2

39、1B故原方程通解為故原方程通解為xexCCy221)(xex221機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3. 已知二階常微分方程已知二階常微分方程xecybyay 有有特解特解, )1 (2xxexey求微分方程的求微分方程的通解通解 .解解: 將將特解特解代入方程得恒等式代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比較系數(shù)得比較系數(shù)得01baca 201ba0a1b2c故原方程為故原方程為xeyy2 對應(yīng)對應(yīng)齊齊次方程次方程通通解解:xxeCeCY21xxexey原方程通解為原方程通解為xxeCeCy21xex機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下

40、頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十節(jié)歐拉方程 歐拉方程歐拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(為常數(shù)kp,tex 令常系數(shù)線性微分方程xtln即 第十二章 歐拉方程的算子解法歐拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令則xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222計算繁計算繁! tyyxddtytyyxdddd222 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,ln xt 則,ddtD 記則由上述計算可知: yDyxyDyDyx

41、22, ), 3, 2(ddktDkkkyDD) 1(用歸納法可證 ykDDDyxkk) 1() 1()(于是歐拉方程歐拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: 如何解下述微分方程提示提示:)()()(212xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu,teu 令原方程直接令 teax作業(yè)作業(yè) P319 2 ; 6; 8 第11節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 t

42、Ddd記)() 1(21aefypDpDDttDdd記機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一節(jié)微分方程的冪級數(shù)解法 一、一、一階微分方程問題一階微分方程問題 二、二、二階齊次線性微分方程問題二階齊次線性微分方程問題微分方程解法: 積分法 只能解一些特殊類型方程 冪級數(shù)法 本節(jié)介紹 數(shù)值解法 計算數(shù)學內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: 第十二章 一、一階微分方程問題一、一階微分方程問題 ),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多項式及是其中yyxxyxf冪級數(shù)解法: 202010)()(xxaxxayy將其代入原方程, 比較同次冪系數(shù)可定常數(shù) ,21aa由此確定的級數(shù)即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解. 設(shè)所求解為本質(zhì)上是待定系數(shù)法nnxxa)(0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù)線性微分方程組 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *第十二節(jié)解法舉例解方程組解方程組 高階方程求解高階方程求解 消元消元代入法 算子法 第十一章 常系數(shù)線性微分方程組解法步驟解法步驟:第一步 用消元法消去其他未知函數(shù)