數(shù)與式地運(yùn)算、因式分解(教師版)

1、數(shù)與式的運(yùn)算一、乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式:平方差公式完全平方公式(a b)(a _b)二 a2 _b2 ； (a 二 b)2 = a2 二 2ab b2.我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:立方和公式立方差公式三數(shù)和平方公式兩數(shù)和完全立方公式兩數(shù)差完全立方公式【例1】計(jì)算：2233(a b)(a -ab b )=a b ;2233(ab)(a ab b )二 a_b ;2 2 2 2(a b c) = a bc2(ab bc ac);(a b)3 二 a3 3a2b 3ab2 b3 ；(a _b)3 =a3 _3a2b 3ab2 _b3(7 x)(497x x2)2

2、2(1 -a)(1 a)(a a 1)(a -a 1)(a b -c)(. a -b -c) (4)(2y2 ( x2答案：(1) x3343(2) 1-a6(3) a c-b-2.ac422422(4) x 2x y y -8x 8y 16例題的設(shè)計(jì)意圖(1)(2)兩個(gè)例子讓學(xué)生熟悉立方和與立方差公式(3)( 4)利用整體代換思想簡化運(yùn)算。二、根式式子、a(a 一0)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：_a (a 0)a (a ： 0)b(a 0,b-0)(1) (.a)2 二a(a_0)(2) , a2 =| a 戶三 0 (a =0)(3)=石拓(a 啟 0,b 蘭0)(4) fAA就叫做繁分式，

3、繁分式的化簡常用B三、分式A 當(dāng)分式A的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，B以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的基本性質(zhì).【例2】化簡(1) 、2 32 - 3(2)例題的設(shè)計(jì)意圖(1 )考查根式的性質(zhì)(2)繁分式的化簡，我個(gè)人比較傾向解法二，運(yùn)算速度快(1)解法一：因?yàn)?2 、3 2、22 - J3 2 2 - 3 = 4 2 =623-2-3所以 23. 2 -h：j6解法二:廠3、32 23 1(掐十1)2炎4-2 3.3 彳 一2、3 12故 232 -3=6解法一：利用到 a/-P計(jì)算原式的平方，然后再開方.(2)解法一：原式X rrx x2 -1X(1 - X) X X

4、(x 1)(x -1)Xx -X十1xX2X - Xx 1x(x 1) x 1x2解法二：原式=x+(1_x) X(1、(x ) XXx.中x -1x -X +1x(x 1)xX2x - X說明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，A A X m解法二則是利用分式的基本性質(zhì)-進(jìn)行化簡一般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩B B漢m種方法.因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形.在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的基本技能。因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還

5、有公式法(立方和、立方差公式卜十字相乘法、求根法和分組分解法等等。一、公式法(立方和、立方差公式)2 2 2 2公式 1 】a b c 2ab 2bc 2ca = (a b c)【公式 2】a3 3a2b 3ab2 b3 =(a b)3322. 33【公式 3】a -3a b 3ab - - b(a _ b)3322【公式 4】a b(a b)(a -ab b )【公式 5】a3 _b3 =(a -b)(a2 ab b2)【例1】把下列各式分解因式：-8x3 _27y3 =；313 4(x-y) - 尹 y)二； 8x336x2y+54xy227y3 = 一；76 x - xy 二；【答案】(

6、1)_(2x 3y)(4x2-6xy 9y2)(2) jx-3y)(7x2-6xy 3y2)3(3) ( 3)(2x-3y)2 2 2 2(4) x(x y)(x -xy y )(x - y)(x xy y )二、十字相乘法一般二次三項(xiàng)式ax2 bx c型的因式分解。大家知道，2(x+o)(a2X+q) =ae2X + azcjx + gq . 反 過來， 就 得到：2 I"iax - (ac ' aQx g二(盼cJdx c?)我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成比a1 X &常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，把a(bǔ)1，a2，c1，c2寫成a2 c2，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到

7、2 2a©，如果它正好等于 ax bx c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax bx c就可以分解成(印x &)(去乂 q),其中a1，Ci位于上一行，比，C2位于下一行.這種借助畫十字交叉線 分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法.注意:1、十字相乘法思路：分解二次三項(xiàng)式，嘗試十字相乘法。 分解二次常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘做加法; 叉乘和是一次項(xiàng)，十字相乘分解它。2、并非所有的二次三項(xiàng)式都能用十字相乘法分解 分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試,【例2】把下列各式分解因式： x2+2x-8 =. x2-7x+6 =2 2 2 5x2+7x_6= ； x

8、+xy 6y =(5) (x2 +x)2 8(x2 +x) +12 =2 2【答案】 x 2x -8 =(x 4)(x -2). x -7x 6 = (x -1)(x -6). 5x2 7x-6=(x 2)(5x-3) .(4)(x 3y)(x-2y)(5)(x 3)(x-2)(x 2)(x-1)【變式】用十字相乘法求下列方程的根2 2 x2x -8 =0 X-7X 6 = 0 5x2 7x-6=0(4) (x2 x)2-8(x2 x) 12=03【答案】(1) -4,2 (2) 1,6 (3) -2嚴(yán)(4) -3,-2,1,25【拓展】雙十字相乘法對于某些二元二次六項(xiàng)式 (Ax2 Bxy C

9、y2 Dx Ey F )，我們也可以用十字相乘法分解因式。例如，分解因式2x2 -7xy -22y2 -5x 35y -3 我們將上式按 x降冪排列，2 2并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x -(7y 5)x-(22y -35y 3)可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.對于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為-2勿？3 y-3=(y2 - 3卜(y11。再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以 原式=x，(2y-3)2x，(-11y T) = (x，2y-3)(2x-11y，1)上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法(雙十字相乘法)。具體步驟：分解形如ax2 bxy

10、 cy2 dx e f的二次六項(xiàng)式，在草稿紙上，將 a分解f分解成jk乘積作為第三列，如下圖如果mq np = b, pk qj =e,mk nj = d ,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十2 2字相乘規(guī)則。則 ax bxy cy dx ey f 二 mx py j nx qy k【例】把下列各式分解因式：2 2 x +2xy3y +3x + y+2 = ；2 2)2x ' xy _3y x_4y_12 2 4x -14xy 6y -7x y -2 二、 ；2 2 【答案】 x 2xy -3y 3x y 2 二(x 3y 2)(x - y 1)2 2 2x xy -3y -

11、x-4y-1 = (2x 3y 1)(x - y-1)2 2 4x -14xy 6y -7x y _2 = (4x _2y 1)(x _3y _2)三、求根法2如果關(guān)于x的一元二次方程ax bx 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2，那么多項(xiàng)式2ax2 bx c可以分解為 ax bx c=a(x-X1)(x-X2)。2 2由 ax bx c = a(x-xj(x-X2) =ax -a(% x?)x， 比較 系數(shù)得*必円故axjX2 =caX1X2 :ca就得到韋達(dá)定理。f +bX1 +X2 =一韋達(dá)定理：設(shè)X1, X2疋關(guān)于x的 兀二次方程 ax bx c = 0的兩根，貝0c 為X2 :a【例3】把下列

12、各式分解因式：2 2 x +4x-4 =； (2) 2x +3x_1 =-3. 174)(x【答案】 x2 4x-4 =(x 2-2V)(x 2 2 &)；22x 3x-1=2(x b + Jb2 4ac-b - Jb2 -4ac2jb2 -4ac2a2a2a I Xi X2| =【例4】若X1和X2分別是(1)求 | X1 X2|的值;兀二次方程 2x2 + 5x 3= 0的兩根.(2)求的值；(3) X13 + X23.X-iX2解：/ X1和X2分別是,5.% x2 ：2 2兀二次方程 2x2 + 5x 3= 0的兩根，222223(1 ). I X1 X2| = X1 + X2

13、 2 X1X2= (X1 + X2) 4 X1X2=( 一?)4()=25 +6= 4947. | X1 X2| =2)二籌2X|X2X| X25 23(X1 X2)2-22 (匚)_2 匸)(X1X2)3792,33222(3)X1+X2=(X1+ X2)( X1 X1X2 + X2) = (X1 + X2)(X1 + X?) 3X1X2=(|)兀(5)2- 3 弓)一2 2 2215【點(diǎn)評】利用韋達(dá)定理求值，要熟練掌握以下等式變形：22 /、2 c11 為 X2 /、2 /、2 ,x1x2(x,x2)-2x1x2 ,(為x2)(x1x2)-4x1x2,x1 x2x, xI Xi -X21二

14、(Xi X2)2 - 4X1X2 , X1X22 X|2X2 二 XiX2(Xi X2),x23 = (x, x2)3x1x2(x1 x2)等等【重要結(jié)論】：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求 這一個(gè)量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)Xi和X2分別是-Xi :兀二次方程-4ac2a，X2ax2 + bx+ c= 0 (a 老)，則b -，b2 - 4ac2a|a|于是有下面的結(jié)論：b2 _4ac扎|a|若x1和x2分別是一元次方程 ax2 + bx+ c= 0 (a0),則 | x1 x2|(其中= b2|a|4ac).今后，在求一元二次方程的

15、兩根之差的絕對值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論.【變式】已知關(guān)于 X的方程X2+ 2(m 2)x+ m2 + 4 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù) 根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值.分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得 m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 因此，其根的判別式應(yīng)大于零.解：設(shè)X!, X2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得xi+ X2=- 2(m 2), X! X2= m2 + 42 2 / Xi + X2 Xi X2= 21 ,2二(Xi + X2) 3 Xi X2 = 21 , 即 2(m 2)2 3

16、(m2 + 4)= 2I, 化簡，得 m2 i6m i7= 0, 解得 m= i，或 m= i7當(dāng)m= i時(shí)，方程為X2 + 6x+ 5 = 0, > 0,滿足題意；當(dāng) m= i7 時(shí)，方程為 X2 + 30x+ 293= 0, = 302 4XiX293V0,不合題意，舍去.綜上，m= i7.說明：(i)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由 兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大 2i”求出m的值，取滿足條件的 m的 值即可。(2)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式 是否大于或大于零因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方

17、程有實(shí)數(shù)根。四、分組分解能分組分解的有四項(xiàng)或六項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的四項(xiàng)分組分解有兩種形式：二二分法(按字母分組按系數(shù)分組符合公式的兩項(xiàng)分組)，三一分法(先完全平方公式后平方差公式)。【例5】把下列各式分解因式： 5x 2xy T5x -6y =; 4a2 -b2 6a -3b 二; y2 _9 _x2 6x =; 8x3 _36x2y 54xy2_27y3 =; x3 px2 px pi 二.【答案】 5x2 2xy-i5x-6y=(x-3)(5x 2y) 4a2 -b2 6a-3b =(2a-b)(2a b 3) y2 _9 _x2 6x = (y x -3)(y -x 3)(2x -3y)

18、3課后練習(xí)(2) 8x3 -i2x2 6x -i42(4) x y - (20 - x )y42(6) y -9y 82(8) x -i3x 3629(i0) x - xy - y(i2) (a2 8a 7)(a2 8a i5) i5(x2 x i)(x p-i)i、把下列各式分解因式(i) 64x6 -yi2(3) 2x3n -i2x2ny2 i8xny4(5) 5 7(a i) -6(a i)2(7) x2 5x-24(9)-3x2 x i(ii) (x22x)2 -9(x 2)22、已知Xi,X2是方程X2 5x 2 = 0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求： （X -1 x2 1）:-x2 ；生 X2 :x； x2 ；X2 x-13、已知:,'是方程x2 - mx - 4m = 0的兩根，且2：工