廣州市高二數(shù)學(xué)競賽試題

1、2012年廣州市高二數(shù)學(xué)競賽試題 2012513考生注意：1用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答，答案寫在答卷上； 2不準(zhǔn)使用計(jì)算器； 3考試用時(shí)120分鐘，全卷滿分150分.一、選擇題：本大題共4小題，每題6分，滿分24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)集合, 則有( ) A. B. C. D.2已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為, 且, 則公差的值為( ) A. B. C. D. 3. 方程所表示的曲線是 A. 一個(gè)圓 B. 兩個(gè)圓 C. 半個(gè)圓 D. 兩個(gè)半圓4. 的內(nèi)角、的對邊分別為、，設(shè)向量， 則是的( ) A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既

2、不充分又不必要條件二、填空題: 本大題共6小題，每題6分，滿分36分.5已知，則的值為 * . 6已知向量，若向量與向量共線（R，且，則的值為 * . 7. 在區(qū)間和上分別取一個(gè)數(shù), 記為 , 則方程表示焦點(diǎn)在軸上并且離心率小于的橢圓的概率為 * . 8. 三棱錐的所有棱長均為, 頂點(diǎn)在底面上的正投影為點(diǎn), 點(diǎn)在上, 且使, 則的長為 * . 9已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是 * .10. 對于任意兩個(gè)正數(shù), 定義運(yùn)算“”如下：，其中為常數(shù).已知，并且存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使得對于任意實(shí)數(shù)都有，則的值為 * . 三、解答題: 本大題共5小題，滿分90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1

3、1.(本小題滿分15分) 已知函數(shù)的最大值為. (1) 求的值;(2) 若, 求的值.12. (本小題滿分15分) 如圖,在三棱錐中, 平面, , , ,分別是的中點(diǎn).(1) 求證:; (2) 求二面角的余弦值;(3) 求點(diǎn)到平面的距離.13.(本小題滿分20分) 已知平面內(nèi)的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，記動點(diǎn)的軌跡為曲線. (1) 求曲線的方程;(2) 若直線與曲線相交于、兩點(diǎn), 問在曲線上是否存在點(diǎn),使為等邊三角形? 若存在, 求點(diǎn)的坐標(biāo); 若不存在, 說明理由.14. (本小題滿分20分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為, 對任意N都有（為常數(shù)，）.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）令，若數(shù)列為等

4、比數(shù)列，求的值；(3) 在滿足(2)的條件下, 記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為, 求證:.15.(本小題滿分20分)已知函數(shù)R.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于不同兩點(diǎn)、，過線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交、于點(diǎn)、，試判斷在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線是否平行，并說明理由.2012年廣州市高二數(shù)學(xué)競賽試題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點(diǎn)和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 2對解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題

5、的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：每小題6分，滿分24分。1A 2C 3D 4C二、填空題：每小題6分，滿分36分。5 6 7 8 9 10三、解答題：滿分90分。11. (1) 解: (其中). 函數(shù)的最大值為 , 解得. (2)解:由(1)知. , ,得. . 12.(1) 證明:取的中點(diǎn),連接.則,又平面,平面.平面,. 分別為的中點(diǎn),.,即,. 平面平面平面. 平面,. 解

6、:過作且與的延長線相交于點(diǎn), 連接.由三垂線定理知, 是二面角的平面角,也是二面角的平面角的補(bǔ)角, 在Rt中，. 在Rt中，. 在Rt中，. 二面角的余弦值為. (2) 解:過點(diǎn)作于, 由(2)知平面平面,且平面平面,平面. 的長為點(diǎn)到平面的距離.在Rt中，. 點(diǎn)是的中點(diǎn), 點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的倍. ,平面.點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離. 點(diǎn)到平面的距離是. 13.(1)解法1:點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小， 點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等。 點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線. 曲線的方程為. 解法2:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為, 依題意得,. 當(dāng)時(shí), 得, 化簡得. 當(dāng)時(shí), 得得

7、 化簡得,得,矛盾. 曲線的方程為. (2)解:設(shè)、的坐標(biāo)分別為,線段的中點(diǎn)為. 由消去,得. . ,. 點(diǎn). . 假設(shè)曲線上存在點(diǎn),使為等邊三角形,設(shè)點(diǎn), 由,得,即. 又,得. 由或 解得或 點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 點(diǎn)或不在曲線上, 曲線上不存在點(diǎn),使為等邊三角形. 14.(1) 解: 當(dāng)時(shí), 解得, 當(dāng)時(shí), , 整理得. 數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列. . (2)解:由(1)得,則. . 由,得, 解得. 又時(shí), ,顯然數(shù)列為等比數(shù)列，故. (3) 證明:由(2)知,故. . 當(dāng)時(shí), . . . 15.（1）解：， 函數(shù)的定義域?yàn)? . 當(dāng)時(shí)， 令得；令得. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間

8、為. 當(dāng)時(shí)，令得， . . （）當(dāng)，即時(shí)，得，故 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. （）當(dāng)，即時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為 ，. 若，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.若，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間. （2）證法1：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是. 則點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為. 在點(diǎn)處的切線斜率為， 在點(diǎn)處的切線斜率為. 假設(shè)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則， 即， 則. . 設(shè)，則. （*） 令，則. ，. 在上單調(diào)遞增. ，即，這與（*）式矛盾，假設(shè)不成立. 在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行. 證法2：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是. 則點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為. 在點(diǎn)處的切線斜率為， 在點(diǎn)