試論高三數(shù)學(xué)恒成立問題解法

1、試論高三數(shù)學(xué)恒成立問題解法【摘要】高三數(shù)學(xué)中的恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、 二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函 數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在 培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此 也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過程中大致 可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變 量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根 據(jù)函數(shù)的圖象。【關(guān)鍵詞】高三數(shù)學(xué)；恒成立；解題過程一、一次函數(shù)型給定一次函數(shù) y=f (x) =ax+b (aho),若 y=f (x)在 m, n內(nèi)恒有f (x) >0,則根據(jù)函數(shù)的圖象(直線)可得上

2、述結(jié)論等價(jià)于)或)可合并定成同理，若在m, n內(nèi)恒有f (x) 2p+x恒成立的x的取 值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及p,關(guān)鍵在于 該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將 p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2, 2內(nèi)關(guān)于p的 一次函數(shù)大于0恒成立的問題。解略二、二次函數(shù)型若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0 (aho)大于0恒成立，則有 若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用 韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。例 2：設(shè) f (x) =x2-2ax+2,當(dāng) xg -1, +)時(shí)，都有 f (x) 2a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f (x)

3、 恒成立，若把a(bǔ)移到等 號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間-1, +8) 時(shí)恒大于0的問題。解：設(shè) f (x) = f (x) -a=x2-2ax+2-a.)當(dāng) zx=4 (a-1) (a+2) 3 即a+2上式等價(jià)于或解得ao, ( t匚-1, 1)恒成立。設(shè)f (t)二2t2-4t+4-a+則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=l,/.f (x)在t, 1內(nèi)單調(diào)遞減。只需 f (1) >0,即a-2.(下同)四、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f (x)是奇(偶)函數(shù)，則對(duì)一切定義域中的x , f (-x) =f (x)(f (-x)=f (x)恒成立；若函數(shù)尸f(x)的周期為t,則對(duì)

4、一切定義域中的x, f (x) =f (x+t)恒成立。例 4：若 f (x)二sin (x+ a ) +cos (x- a )為偶函數(shù)， 求a的值。分析：告訴我們偶函數(shù)的條件，即相當(dāng)于告訴我們一個(gè) 恒成立問題。解：由題得：f (-x) =f (x)對(duì)一切xwr恒成立， sin (x+ a ) +cos (x a ) =sin (x+ a ) +cos (x a ) 即 sin (x+ a ) +sin (x- a ) =cos (x+ a ) -cos (x-a ) 2sinx cos a 二2sinx sin a/. sinx (sin a +cos a ) =0對(duì)一切x wr恒成立，二只需也必須sin a +cos a =0o：a 二k. (kz)五、直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫 出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷 得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快 捷。例5：當(dāng)xe (1, 2)時(shí)