2022年角平分線的性質(zhì)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載教案標(biāo)題角平分線的性質(zhì)教師姓名學(xué)生姓名學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用范圍全國(guó)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)1角平分線的畫(huà)法、角平分線的性質(zhì); 2. 綜合應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問(wèn)題. 能力目標(biāo).1 掌握角平分線的性質(zhì); 2 會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線. 情感態(tài)度價(jià)值觀在利用尺規(guī)作圖的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力與探索精神, 體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于動(dòng)腦和動(dòng)手的良好品質(zhì). 知識(shí)點(diǎn)角平分線的定義; 角平分線的性質(zhì); 角平分線的判定. （注意 ：知識(shí)點(diǎn)標(biāo)注要與試題庫(kù)中所給知識(shí)點(diǎn)一致）重難點(diǎn)重點(diǎn)：利用尺規(guī)作已知角的平分線角平分線的性質(zhì)難點(diǎn)：根據(jù)具體的條件，選用圓的一

2、般方程解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載知識(shí)講解1、角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。2、角平分線的性質(zhì)1、角平分線分得的兩個(gè)角相等，都等于該角的一半；2、角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等。3.、角平分線的判定在角的內(nèi)部

3、，到該角兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的平分線上。例題講解考點(diǎn)一作角的平分線例 1 如圖，已知點(diǎn)c為直線ab上一點(diǎn)，過(guò)c作直線cm，使cmab于c。【答案】精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載【規(guī)范解答】作法：1、以 c為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與ca 、cb分別交于點(diǎn)d 、e；2、分別以d、 e為圓心，大于12de 的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩弧交于點(diǎn)m ；3、作直線cm 。所以，直線cm 即為所求?！究偨Y(jié)與反思】此題要求 “大于12de 的長(zhǎng)為半徑” 的理由是： 半徑如果小于1

4、2de ，則兩弧無(wú)法相交；而半徑如果等于12de ，則兩弧交點(diǎn)位于c點(diǎn)處，無(wú)法作出直線cm 。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不光要知道怎么做題，還要知道為什么要這樣做。本題屬于作圖題。在解決作圖題時(shí)要求做到規(guī)范地使用尺規(guī)，規(guī)范地使用作圖語(yǔ)言，規(guī)范地按照步驟作出圖形，并且作圖的痕跡要保留，不能擦掉?？键c(diǎn)二角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線性質(zhì)的符號(hào)語(yǔ)言：p在aob的平分線上精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載pdoa于d，peob于epdpe例 2 如圖，ad是

5、abc的角平分線，deab，dfac， 垂足分別是,e f 。 連接ef，交ad于點(diǎn)g。說(shuō)出ad與ef之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論?！敬鸢浮縠fad，且egfg.【規(guī)范解答】efad，且egfg證明：ad平分bacdeab，dfac，垂足分別是,e fdedf在rtdea和rt dfa中dedfadadrtdeartdfa（hl）adeadf精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載在 dge 和 dgf中dedfgdegdfdgdgdgedgf（sas ）egfg，90d

6、gedgfefad，且egfg?！究偨Y(jié)與反思】通過(guò)此題我們知道，證明兩條線段相等，除了利用全等三角形的性質(zhì)外，還可以利用角平分線的性質(zhì)。這樣我們又多了一種證明線段相等的辦法。在利用角平分線的性質(zhì)時(shí)，“角平分線”和“兩個(gè)垂直”這兩個(gè)條件缺一不可。例 3 如圖，d是abc的外角ace的平分線上一點(diǎn)，dfac于f，debc于e，且交bc的延長(zhǎng)線于e。求證：cecf?！敬鸢浮縞ecf【規(guī)范解答】cd是ace的平分線，dfac于f，debc于e90decdfc，dedf在rtdec和rt dfc中dcdcdedfrtdecrtdfc（hl ）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

7、 - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載cecf【總結(jié)與反思】 利用角平分線的性質(zhì)可以證明線段相等，而線段相等可能又是證明其他結(jié)論所需要的條件。小結(jié)：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意以下三個(gè)問(wèn)題：（1）這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長(zhǎng)；（2）該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形的性質(zhì)；（3）使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有兩個(gè)垂直?？键c(diǎn)三角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線判定的符號(hào)語(yǔ)言：pdoa于d，peob于e且pdpep在aob的平分線上（或?qū)懗蒾p是aob的平分線）

8、例 4 如圖，becf，dfac于f，deab于e，bf和ce交于點(diǎn)d。求證：ad平分bac?！敬鸢浮恳?jiàn)規(guī)范解答精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載【規(guī)范解答】dfac于f，deab于e90debdfc在bde和cdf中debdfcbdecdfbecfbdecdf（aas ）dedf又dfac于f，deab于ead平分bac?！究偨Y(jié)與反思】判定角的平分線時(shí)若題目中只給出一個(gè)條件dedf或dfac，deab，那么得出ad平分bac這一結(jié)論是錯(cuò)誤的。例 5 如圖，,f g

9、 是oa上兩點(diǎn)，,m n 是ob上兩點(diǎn)，且fgmn，pfgpmnss，試問(wèn)點(diǎn)p是否在aob的平分線上？【答案】p在aob的平分線上?！疽?guī)范解答】證明：過(guò)點(diǎn)p作pdoa于 d ，peob于 e 12pfgsfgpd ，12pmnsmnpe ，而pfgpmnss精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載1122fgpdmnpe又fgmnpdpe又pdoa于 d，peob于 e p在aob的平分線上。【總結(jié)與反思】利用面積證明相關(guān)結(jié)論是一種常見(jiàn)方法。面積法有著其他方法所不具有的優(yōu)

10、勢(shì)，比如它不要求考慮線段的位置關(guān)系。小結(jié)：角平分線的判定與角平分線的性質(zhì)是互逆的。判定角的平分線要滿足兩個(gè)條件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”則設(shè)法證明“相等”，若已知“相等”則設(shè)法證明“垂直”?？键c(diǎn)四角平分線的綜合應(yīng)用例 6 如圖，在abc中，90c，ad平分bac，deab于e，f在ac上，bddf。求證：cfeb?！敬鸢浮?見(jiàn)規(guī)范解答【規(guī)范解答】精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載ad平分bac，90c，deabdcde在rtfcd與rt bed中dcded

11、fbdrtfcdrtbed（hl）cfeb?！痉此寂c總結(jié)】掌握角平分線的性質(zhì)和判定固然重要，但學(xué)會(huì)分析題目所給條件更是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例 7 如圖，已知在abc中，bddc，12。求證：ad平分bac?！敬鸢浮?見(jiàn)規(guī)范解答【規(guī)范解答】過(guò)點(diǎn) d作deab于 e，dfac于 f 故，90bedcfd在bde與cdf中12bedcfdbdcdbdecdf（aas ）dedf精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載又deab于 e，dfac于 f ad平分bac?！痉此寂c總結(jié)】

12、當(dāng)題目中有角平分線這一條件時(shí)，解題時(shí)常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線；當(dāng)有垂線這一條件時(shí)，常作輔助線得到角的平分線。小結(jié)：用角平分線證明線段相等或角相等時(shí)，常常與證明三角形全等配合使用，證明時(shí)要先觀察需證明的線段或角（或通過(guò)等量代換得到的線段或角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載課后作業(yè)（注意 ：題目可以來(lái)自試題庫(kù)，但注意題目選擇要有層次性）a. 基礎(chǔ)題自測(cè)1、到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）a. 三條中線的交點(diǎn)b.

13、 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)c. 三條高的交點(diǎn)d. 三條角平分線的交點(diǎn)【答案】 d 【規(guī)范解答】角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等。2、 在r t a b c中，90c，ad平分bac， 交bc于點(diǎn)d， 若32bc， 且:9 : 7b d c d，則點(diǎn)d到ab的距離為（）a. 18 b. 16 c. 14 d. 12 【答案】 c 【規(guī)范解答】a e c d b 過(guò) d作 de垂直于 ab ，因?yàn)?bc=32 ，且:9: 7bdcd，所以 bd=18 , cd=14 ，又因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等，所以d到 ab的距離為14。3、如圖，直線123,l ll 表示三條互

14、相交叉的公路，現(xiàn)要修建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的地址有（）a. 一處b. 兩處c. 三處d. 四處【答案】 d 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載【規(guī)范解答】 因?yàn)榈浇堑膬蛇叺木嚯x相等的點(diǎn)在角的平分線上，所以可供選擇的地點(diǎn)可在這三條直線圍成的三角形的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處或這個(gè)三角形的外角平分線的交點(diǎn)處，如圖，可供選擇的地址有p1、p2、p3、 p4共四處，答案為四處。4、 如圖，abc中，90c， 點(diǎn)o為abc的三條角平分線的交點(diǎn)，o

15、dbc，oeac，ofab，點(diǎn),d e f 分別是垂足，且10abcm，8bccm，6cacm，則點(diǎn)o到三邊,ab ac bc 的距離分別等于（） cma. 2 、2、2 b. 3 、3、3 c. 4 、4、4 d. 2 、3、5 【答案】 a 【規(guī)范解答】角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等，所以設(shè)od=oe=of=r，因?yàn)?6-r)，r=2，所以點(diǎn)o到三邊,ab ac bc 的距離分別等于2cm。b.中檔題演練1、如圖，已知,ba ca 分別是dbc，ecb的平分線，bdde，cede，垂足分別為,d e ，則da與ea有怎樣的數(shù)量關(guān)系_?！敬鸢浮縟aea精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

16、- - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、已知abc中，90c，ad平分a，2adbdcd，點(diǎn)d到ab的距離等于5.6 cm ，則bc的長(zhǎng)為 _ cm?！?答案】16.8【規(guī)范解答】解 :作 de ab于點(diǎn) e ad平分 a，dc ac ，de ab cd de 5.6 bd 2cd 11.2 bc bc cd 16.8 3、 8. 如圖， bd 是abc的平分線，deab于 e，dfbc于 f，236abcscm，18abcm，12bccm，則 de的長(zhǎng)是 _。【答案】125cm【規(guī)范解答】解：abd

17、cbd，deab，dfbcdedfabdcbdabcsss1118123622dedf(96)36de，125dec.難題我破解1. 如圖，ab/cd，90b，e是bc的中點(diǎn)，de平分adc。 求證：ae平分dab。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載【答案】 見(jiàn)規(guī)范解答【規(guī)范解答】證明：過(guò)點(diǎn)e作efad于 f de平分adc，ecdc，effdceef又cebeefbe又efaf，beabae平分dab。2如圖，已知在四邊形abcd中，180bd，ac平分bad，cead，e為垂足。求證：2abadae?！敬鸢浮恳?jiàn)規(guī)范解答【規(guī)范