2022年解析幾何計算處理技巧

1、解析幾何計算處理技巧中學解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標系中，用方程的觀點來研究曲線，體現(xiàn)了用代數的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至會中止解題的過程，達到“望題興嘆”的地步特別是高考過程中，在規(guī)定的時間內，保質保量完成解題的任務，計算能力是一個重要的方面為此，從以下幾個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程考點一回歸定義，以逸待勞回歸定義的實質是重新審視概念，并用相應的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法圓錐曲線的定義既是有關圓錐曲線問題的出發(fā)點，又是新知識、新思維的生長點對于相關的圓錐曲線中的數學問題

2、，若能根據已知條件，巧妙靈活應用定義，往往能達到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果典例 如圖， f1，f2是橢圓 c1：x24y21 與雙曲線c2的公共焦點，a，b 分別是 c1，c2在第二、四象限的公共點若四邊形af1bf2為矩形，則c2的離心率是 () a.2b.3c.32d.62解題觀摩 由已知，得f1(3，0)，f2(3，0)，設雙曲線c2的實半軸長為a，由橢圓及雙曲線的定義和已知，可得|af1|af2|4，|af2|af1|2a，|af1|2 |af2|212，解得 a22， 故 a2.所以雙曲線c2的離心率e3262. 答案 d 關鍵點撥 本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立|af1

3、|， |af2|的等量關系，從而快速求出雙曲線實半軸長a 的值，進而求出雙曲線的離心率，大大降低了運算量對點訓練 1.如圖，設拋物線y24x 的焦點為f，不經過焦點的直線上有三個不同的點a，b，c，其中點a， b在拋物線上，點c 在 y 軸上，則 bcf 與 acf 的面積之比是() a.|bf|1|af|1b.|bf|21|af|21c.|bf|1|af|1d.|bf|21|af|21解析： 選 a由題意可得sbcfsacf|bc|ac|xbxa|bf|p2|af|p2|bf|1|af|1. 2 拋物線 y2 4mx(m0)的焦點為f， 點 p 為該拋物線上的動點， 若點 a(m,0)， 則

4、|pf|pa|的最小值為 _解析：設點 p 的坐標為 (xp，yp)， 由拋物線的定義，知 |pf| xp m，又|pa|2(xpm)2y2p(xpm)24mxp，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -則2)|(papfxpm2xpm24mxp114mxpxpm2114mxp2xp m212(當且僅當xpm 時取等號 )，所以|pf|pa|

5、22，所以|pf|pa|的最小值為22. 答案：22考點二設而不求，金蟬脫殼設而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實質是整體結構意義上的變式和整體思想的應用設而不求的靈魂是通過科學的手段使運算量最大限度地減少，通過設出相應的參數，利用題設條件加以巧妙轉化，以參數為過渡，設而不求典例 已知橢圓e：x2a2y2b21(ab0)的右焦點為f(3，0)，過點 f 的直線交e 于 a，b 兩點若 ab 的中點坐標為 (1， 1)，則 e 的標準方程為() a.x245y2361 b.x236y2271 c.x227y2181 d.x218y291 解題觀摩 設 a(x1，y1)，

6、b(x2，y2)，則 x1x22，y1y2 2，x21a2y21b21，x22a2y22b21，得x1x2x1x2a2y1y2y1 y2b20，所以 kaby1y2x1x2b2x1x2a2y1y2b2a2.又 kab013112，所以b2a212.又 9c2a2b2，解得 b29，a218，所以橢圓e 的方程為x218y291. 答案 d 關鍵點撥 (1)本題設出a，b 兩點的坐標，卻不求出a， b 兩點的坐標，巧妙地表達出直線ab 的斜率，通過將直線ab 的斜率 “ 算兩次 ” 建立幾何量之間的關系，從而快速解決問題(2)在運用圓錐曲線問題中的設而不求方法技巧時，需要做到： 凡是不必直接計算

7、就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“ 設而不求 ” ；“ 設而不求 ” 不可避免地要設參、消參，而設參的原則是宜少不宜多對點訓練 1已知 o 為坐標原點， f 是橢圓 c：x2a2y2b2 1(ab0)的左焦點， a，b 分別為 c 的左、右頂點p 為 c上一點，且pfx 軸過點a 的直線 l 與線段 pf 交于點 m，與 y 軸交于點e，若直線bm 經過 oe 的中點，則 c 的離心率為 () a.13b.12c.23d.34解析： 選 a設 oe 的中點為g，由題意設直線l 的方程為yk(xa)，分別令 x c 與 x0 得|fm |k(ac)，|oe|ka，由 obg fbm ，得|o

8、g|fm |ob|fb|，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -即12kak acaac，整理得ca13，所以橢圓c 的離心率e13. 2過點 m(1,1)作斜率為12的直線與橢圓c：x2a2y2b2 1(ab0)相交于 a， b兩點，若m 是線段 ab 的中點，則橢圓c 的離心率等于 _解析： 設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x

9、21a2y21b21，x22a2y22b21，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22， y1 y2 2，b2a212， a22b2.又 b2a2c2， a22(a2c2)， a2 2c2，ca22. 即橢圓 c 的離心率e22. 答案：22考點三巧設參數，變換主元換元引參是一種重要的數學方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關系能夠相互聯(lián)系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達到事半功倍常見的參數可以選擇點的坐標、直線的斜率、直線的傾斜角等在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大

10、或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件典例 設橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右頂點分別為a，b，點 p 在橢圓上且異于a，b 兩點， o 為坐標原點若 |ap|oa|，證明直線op 的斜率 k 滿足 |k|3. 解題觀摩 法一 ：依題意，直線op 的方程為ykx，設點 p 的坐標為 (x0，y0)由條件得y0kx0，x20a2y20b21，消去 y0并整理，得x20a2b2k2a2b2.由 |ap|oa|，a(a,0)及 y0 kx0，得(x0a)2k2x20 a2，整理得 (1k2)x202ax00.而 x00，于是 x02a1k2，代入，整理得(1k2)2 4k22)(ba4.又

11、ab 0，故 (1 k2)24k24，即 k214，因此 k23，所以 |k|3. 法二 ：依題意，直線op 的方程為y kx，可設點p的坐標為 (x0， kx0)由點 p 在橢圓上，得x20a2k2x20b21.因為 ab0，kx00，所以x20a2k2x20a21，即 (1k2)x20 a2.由|ap|oa|及 a(a,0)，得 (x0a)2k2x20a2，整理得 (1k2)x202ax0 0，于是 x02a1 k2，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d

12、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -代入，得 (1k2) 4a21 k2 2a2，解得 k23，所以 |k|3. 法三 ：設 p(acos ，bsin )(0 2)，則線段op 的中點 q 的坐標為)sin2,cos2(ba. |ap|oa|? aq op? kaqk 1.又 a(a,0)，所以 kaqbsin 2aacos ，即 bsin akaqcos 2akaq. 從而可得 |2akaq|b2 a2k2aqa1 k2aq，解得 |kaq|33，故 |k|1|kaq|3. 關鍵點撥 求解本題利用橢圓的參數

13、方程，可快速建立各點之間的聯(lián)系，降低運算量對點訓練 設直線l 與拋物線y24x 相交于 a，b 兩點，與圓c： (x 5)2y2r2(r0)相切于點m，且 m 為線段ab 的中點，若這樣的直線l 恰有 4 條，求 r 的取值范圍解： 當斜率不存在時，有兩條，當斜率存在時，不妨設直線l 的方程為xtym，a(x1，y1)，b(x2， y2)，代入拋物線y24x 并整理得y24ty 4m0，則有 16t216m0，y1y24t，y1y2 4m，那么 x1x2(ty1m)(ty2m) 4t22m，可得線段ab 的中點 m(2t2 m,2t)，而由題意可得直線ab 與直線 mc 垂直，即 kmc ka

14、b 1，可得2t02t2m51t 1，整理得m 32t2(當 t0 時)，把 m3 2t2代入 16t216m 0，可得 3t20，即 0t23，又由于圓心到直線的距離等于半徑，即 d|5m|1t222t21t221t2r，而由 0t2 3 可得 2r4.故 r 的取值范圍為(2,4)考點四數形結合，偷梁換柱著名數學家華羅庚說過：“數與形本是兩相倚，焉能分作兩邊飛數缺形時少直觀，形少數時難入微”在圓錐曲線的一些問題中，許多對應的長度、數式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數形結合的思想方法，可解決一些相應問題典例 已知 f 是雙曲線c：x2y281 的右焦點， p 是 c

15、的左支上一點， a(0,66)當 apf 周長最小時，該三角形的面積為_解題觀摩 設雙曲線的左焦點為f1，根據雙曲線的定義可知|pf|2a|pf1|，則 apf 的周長為 |pa|pf|af|pa| 2a|pf1|af|pa|pf1| |af|2a，由于 |af|2a 是定值，要使apf 的周長最小，則|pa|pf1|最小，即p，a，f1共線，由于a(0,66)，f1(3,0)，則直線 af1的方程為x3y661，即 xy2 63，代入雙曲線方程整理可得y266y96 0，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - -

16、- - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -解得 y2 6或 y 8 6(舍去 )，所以點p 的縱坐標為2 6，所以126 6 612626126. 答案 126 關鍵點撥 要求 apf 的周長的最小值，其實就是轉化為求解三角形三邊長之和，根據已知條件與雙曲線定義加以轉化為已知邊的長度問題與已知量的等價條件來分析，根據直線與雙曲線的位置關系，通過數形結合確定點 p 的位置，通過求解點p 的坐標進而利用三角形的面積公式來處理對點訓練 1橢圓x25y241 的左焦點為f

17、，直線 xm 與橢圓相交于點m，n，當 fmn 的周長最大時，fmn 的面積是 () a.55b.6 55c.8 55d.4 55解析： 選 c如圖所示，設橢圓的右焦點為f，連接 mf ，nf. 因為 |mf |nf|mf |nf |mf |nf |mn|，所以當直線xm 過橢圓的右焦點時，fmn 的周長最大此時 |mn|2b2a855，又 ca2b254 1，所以此時 fmn 的面積 s 122855855.故選 c. 2設 p 為雙曲線x2y2151 右支上一點，m，n 分別是圓c1：(x4)2y24 和圓 c2：(x4)2y21 上的點，設 |pm|pn|的最大值和最小值分別為m，n，則

18、 |mn|() a4 b.5 c6 d7 解析： 選 c由題意得，圓c1：(x4)2y24 的圓心為 (4,0)，半徑為r12；圓 c2：(x4)2y21 的圓心為 (4,0)，半徑為r21. 設雙曲線x2y2151 的左、右焦點分別為f1(4,0)，f2(4,0)如圖所示，連接pf1，pf2，f1m， f2n，則 |pf1|pf2|2.又 |pm|max|pf1| r1， |pn|min|pf2|r2，所以 |pm|pn|的最大值m|pf1|pf2|r1r25.又|pm|min|pf1| r1， |pn|max|pf2|r2，所以 |pm|pn|的最小值n|pf1| |pf2|r1r2 1，

19、所以 |mn|6.故選 c. 考點五妙借向量，無中生有平面向量是銜接代數與幾何的紐帶，溝通“數”與“形”，融數、形于一體，是數形結合的典范，具有幾何形式與代數形式的雙重身份，是數學知識的一個交匯點和聯(lián)系多項知識的媒介妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運算效率，達到良好效果精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -典例 如圖，在平面直角坐

20、標系xoy 中， f 是橢圓x2a2y2b2 1(ab0)的右焦點，直線 yb2與橢圓交于b， c 兩點，且 bfc90 ， 則該橢圓的離心率是_解題觀摩 把 yb2代入橢圓x2a2y2b21，可得x 32a，則b)2,23(ba，c)2,23(ba，而 f(c,0)，則 fb)2,23(bca，fc)2,23(bca，又 bfc 90 ，故有 fb fc )2,23(bca)2,23(bcac234a214b2c234a214(a2c2)34c212a20，則有 3c22a2，所以該橢圓的離心率eca63. 答案 63關鍵點撥 本題通過相關向量坐標的確定，結合 bfc90 ，巧妙借助平面向量

21、的坐標運算來轉化圓錐曲線中的相關問題，從形入手轉化為相應數的形式，簡化運算對點訓練 設直線 l 是圓 o： x2 y2 2 上動點 p(x0，y0)(x0y00)處的切線， l 與雙曲線x2y221 交于不同的兩點a，b，則 aob 為() a90b.60c45d30解析： 選 a點 p(x0，y0)(x0y00)在圓 o：x2y22 上， x20 y20 2，圓在點p(x0，y0)處的切線方程為x0 xy0y2.由x2y221，x0 xy0y 2及 x20y202 得(3x204)x24x0 x82x20 0.切線l 與雙曲線交于不同的兩點 a，b，且 0 x202， 3x20 40，且 1

22、6x204(3x204) (8 2x20) 0，設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1 x24x03x20 4， x1x282x203x204.oa ob x1x2 y1y2 x1x21y20(2 x0 x1)(2x0 x2)x1x212x2042x0(x1x2)x20 x1x282x203x20 412x2048x203x204x208 2x203x2040， aob90 . 考點六巧用 “ 根與系數的關系”某些涉及線段長度關系的問題可以通過解方程、求坐標，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關的點的同名坐標為方程的根，由根與系數的關系求出兩根間的關系或有關

23、線段長度間的關系后者往往計算量小，解題過程簡捷典例 已知橢圓x24y21 的左頂點為a，過 a 作兩條互相垂直的弦am，an 交橢圓于m，n 兩點精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -(1)當直線 am 的斜率為1時，求點m 的坐標；(2)當直線 am 的斜率變化時，直線mn 是否過 x 軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若

24、不過定點，請說明理由解題觀摩 (1)直線 am 的斜率為1 時，直線 am 的方程為yx2，代入橢圓方程并化簡得5x216x120. 解得 x1 2，x265，所以 m)54,56(. (2)設直線 am 的斜率為k，直線 am 的方程為yk(x2)，聯(lián)立方程yk x2 ，x24y21，化簡得 (14k2)x216k2x16k240.則 xaxm16k214k2，xm xa16k214k2216k214k22 8k21 4k2.同理，可得xn2k28k24. 由(1)知若存在定點，則此點必為p)0,56(. 證明如下：因為kmpymxm65k2 8k21 4k2228k214k2655k44k

25、2，同理可得kpn5k44k2. 所以直線mn 過 x 軸上的一定點p)0,56(. 關鍵點撥 本例在第 (2)問中可應用根與系數的關系求出xm28k214k2，這體現(xiàn)了整體思想這是解決解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設而不求，大大降低了運算量對點訓練 已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的離心率為12，且經過點p)23, 1(，左、右焦點分別為f1，f2. (1)求橢圓 c 的方程；(2)過 f1的直線l 與橢圓 c 相交于 a，b 兩點，若 af2b 的內切圓半徑為327，求以f2為圓心且與直線l相切的圓的方程解： (1)由ca12，得 a2c，所以 a24c2， b23c2

26、，將點 p)23,1 (的坐標代入橢圓方程得c21，故所求橢圓方程為x24y231. (2)由(1)可知 f1(1,0)，設直線l 的方程為xty1，代入橢圓方程，整理得(43t2)y26ty90，顯然判別式大于0 恒成立，設a(x1，y1)，b(x2，y2)， af2b 的內切圓半徑為r0，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -則有 y1

27、y26t43t2，y1y2943t2， r0327，12r0(|af1|bf1|bf2|af2|)12r0 4a1283 271227，所以12t214 3t21227，解得 t21，因為所求圓與直線l 相切，所以半徑r2t2 12，所以所求圓的方程為(x1)2y22. 課時跟蹤檢測 1在平面直角坐標系xoy 中，設直線y x2 與圓 x2y2r2(r 0)交于 a，b 兩點， o 為坐標原點，若圓上一點 c 滿足 oc54oa34ob，則 r() a2 10b.10c25d.5解析： 選 b已知 oc54oa34ob，兩邊平方化簡得oa ob35r2，所以 cosaob35，所以 cosao

28、b255，又圓心 o(0,0)到直線的距離為|2|22，所以2r55，解得 r10. 2設 o 為坐標原點， p 是以 f 為焦點的拋物線y22px(p0)上任意一點， m 是線段 pf 上的點，且 |pm|2|mf|，則直線om 的斜率的最大值為() a.33b.23c.22d1 解析： 選 c如圖所示，設p(x0，y0)(y00)，則 y202px0，即 x0y202p.設 m(x ，y)，由 pm2mf，得xx02p2x ，yy02 0y ，化簡可得xpx03，yy03.直線 om 的斜率 ky03p x03y0py202p2p2p2y0y02p22p222(當且僅當y02p 時取等號

29、)故直線om 的斜率的最大值為22. 3(2019 惠州調研 )設 m，nr，若直線 l：mxny10 與 x 軸相交于點a，與 y 軸相交于點b，且直線精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -l 與圓 x2y24 相交所得的弦長為2，o 為坐標原點，則aob 面積的最小值為() a5 b.4 c3 d2 解析： 選 c由直線與圓相交所得的弦

30、長為2，得圓心到直線的距離d1m2n23，所以m2 n2132|mn|， 當且僅當mn 時等號成立 所以 |mn|16， 又 a)0 ,1(m， b)1,0(n， 所以 aob 的面積 s12|mn|3，故 aob 面積的最小值為3. 4(2019 蘭州模擬 )已知雙曲線c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點分別為f1，f2，點 p 為雙曲線右支上一點，若|pf1|28a|pf2|，則雙曲線c 的離心率的取值范圍為() a(1,3 b.3 ， ) c(0,3) d(0,3 解析： 選 a根據雙曲線的定義及點p 在雙曲線的右支上，得|pf1|pf2|2a，設 |pf1|m，|pf2|n

31、，則m n2a， m28an， m24mn 4n20， m2n，則 n 2a，m4a，依題得 |f1f2|pf1|pf2|，2c4a2a， eca3，又 e1， 1e3，即雙曲線c 的離心率的取值范圍為(1,35過拋物線y22px(p0)的焦點f，斜率為43的直線交拋物線于a，b 兩點，若 af fb ( 1)，則 的值為 () a5 b.4 c.43d.52解析： 選 b根據題意設a(x1，y1)，b(x2，y2)，由 af fb，得),2(11yxp),2(22ypx，故 y1y2，即 y1y2.設直線 ab 的方程為 y43)2(px，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x，得 y232pyp20

32、.故 y1y232p， y1y2 p2，則y1 y22y1y2y1y2y2y1294，即 1294.又 1，解得 4. 6.已知橢圓c：x24y21，過橢圓上一點a(0,1)作直線 l 交橢圓于另一點b，p 為線段 ab 的中點，若直線ab，op 的斜率存在且不為零，則kabkop_. 解析： 法一： (特殊值法 )取 b)23, 1(，則 p)432,21(，則 kab322，kop232，故 kab kop32223214. 法二： 由題意，設直線l 的方程為y kx1，聯(lián)立方程ykx 1，x24y21，消去 y 得， (14k2)x28kx0，得 xb8k14k2，即 b)4141,41

33、8(222kkkk. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -則 p)411,414(22kkk， kabk， kop14k， kab kop14. 法三： (點差法 )設 a(xa，ya)，b(xb，yb)，p(x0，y0)，則x2a4y2a1，x2b4y2b1，兩式相減得x2ax2b4y2ay2b0，化簡得yaybxaxbyaybxaxb

34、14，即yaybxaxby0 x014， kab kop14. 答案： 147已知ab 為圓x2y21 的一條直徑，點p 為直線xy20 上任意一點，則p a pb 的最小值為_解析： 由題意，設a(cos ，sin )，p(x，x2)，則 b( cos ， sin )， pa(cos x，sin x2)，pb (cos x， sin x 2)， pa pb(cos x)(cos x)(sin x2) (sin x2)x2(x2)2cos2 sin2 2x24x32(x1)21，當且僅當x 1，即 p(1，1)時， pa pb 取最小值1. 答案： 1 8(2019 武漢調研 )已知 a，b

35、分別為橢圓x29y2b2 1(0b3)的左、右頂點， p，q 是橢圓上關于x 軸對稱的不同兩點，設直線ap，bq 的斜率分別為m，n，若點 a 到直線 y1mn x 的距離為1，則該橢圓的離心率為 _解析： 根據橢圓的標準方程x29y2b21(0b3)知橢圓的中心在原點，焦點在x 軸上， a(3,0)，b(3,0)，設p(x0， y0)， q(x0， y0)， 則x209y20b21， kap my0 x0 3， kbqny0 x03， mny20 x209b29， 1 mn9b23，直線 y1 mn x9b23x， 即9b2x3y 0.又點 a 到直線 y1mn x的距離為 1， |39b2|9b2939b218b21，解得 b2638， c2a2b298， ec2a21824. 答案：2