(整理版)20192020學(xué)年浙江省寧波市六校高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019-2020學(xué)年浙江省寧波市六校高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .命題p： "a=" 2"是命題q : 直線ax+3y - 1=0與直線6x+4y - 3=0垂直”成立的（）A .充要條件B .充分非必要條件C.必要非充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判 斷即可.解：若 直線ax+3y1=0與直線6x+4y 3=0垂直”，貝U 6a+3 X4=0,解得a=- 2,故p是q成立的充要條件，故選A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.222.已知雙曲線 C：L 1,雙曲線

2、C的離心率為（）169D.B.4U 3【答案】D【解析】 利用已知條件，求解 a、c,即可得出雙曲線的離心率 【詳解】22雙曲線C : y 1,可得a 4, c 班6 9 5 ,169 c 5所以雙曲線的離心率為：e -.a 4故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的離心率，一般計(jì)算出a、b、-的值或者通過三者之間的等量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3 .設(shè)、是三個(gè)不重合的平面，m、n是兩條不重合的直線，則下列說法正確的是（）A.若 ， ，則 /B.若 ，m，則 mD.若 m/ , n/,則 m/n【答案】C【解析】根據(jù)空間中線面平行或垂直的判定定理與性質(zhì)定理逐一判斷每

3、個(gè)選項(xiàng)即可【詳解】對于A,若 ，則或與相交，即A錯誤;對于B,若m/ ，則m或m 或m與相交，即B錯誤;第6頁共16頁/ ，即C正確;對于C,若m, m ,由線面垂直的性質(zhì)定理可知,則m/n或m與n相交或異面，即 D錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系和面面位置關(guān)系的判斷，一般結(jié)合空間中平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，或者利用常見的幾何體模型進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4 .命題p: a 1”是命題q：函數(shù)f x ax cosx在R上是單調(diào)遞增”成立的( )A .充要條件B .充分不必要條件C .必要不充分條件D .既不充分也不必要條件【答案】B【解析】利用導(dǎo)數(shù)法求出f

4、 X ax cosx為R上的增函數(shù)等價(jià)命題，進(jìn)而根據(jù)集合的包含關(guān)系即可判斷.【詳解】Q f x ax cosx, f x a sinx,若函數(shù)y f x在R上單調(diào)遞增，則f x 0在R上恒成立，即a sin x max 1.由于 a a 1 a a 1 ,故命題p: a 1”是命題q:函數(shù)f x ax cosx在r上是單調(diào)遞增”成立的充分不必要條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時(shí)也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不等式恒成立問題，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題5 .過點(diǎn)2,1且傾斜角比直線 y x 1的傾斜角小一的直線方程是（）4a. x 2b. y

5、1c. x 1d. y 2【答案】A【解析】 先由題意求出直線的傾斜角，再根據(jù)此直線過點(diǎn) 2,1 ,可得它的方程.【詳解】3直線y x 1的斜率為 1,傾斜角為 一，故比它的傾斜角小 一的直線的傾斜角為442再根據(jù)此直線過點(diǎn)2,1 ,故要求的直線的方程為 x 2.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解，涉及直線的傾斜角的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6.直線y kx 3與圓x 3y 2 2 4相交于M、N兩點(diǎn)，若MN 2J3,則k的取值范圍是（）B.4，0C.D.【解析】 根據(jù)MN 2由，由弦長公式得，圓心到直線的距離小于或等于得關(guān)于k的不等式，即可求得結(jié)論Q MN2，3,設(shè)圓心到直線ykx

6、 3的距離為d ,則dMN21,3k 2 33 一 38k k -0,斛得 一 k 0.44故選：B.本題考查利用弦長求直線斜率的取值范圍,般轉(zhuǎn)化為弦心距進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題7,已知實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)zx 2y 3的最小值x 1x3ay4a.3 為3 ,則正實(shí)數(shù)a的值為(2B. 3C. 2D. 1【解析】作出不等式組所表示的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用直線斜率的幾何意義以及數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可目標(biāo)函數(shù)x 2y 3x 1則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)D( 1, 1)連線的斜率,若目標(biāo)函數(shù)zx 2y 3,_ ,3的最小值為232k的最小值是3 ,21，一

7、“即k的最小值是0 11由斜率的意義知過 D的直線經(jīng)過B 3a,0時(shí)，直線的斜率k最小，此時(shí)k -,3a 1 4故選：D.解題時(shí)要結(jié)合非線性目標(biāo)函數(shù)本題考查利用線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù),的幾何意義尋找最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題8 .直三棱柱ABC ARG中，若 BAC 90 , AB AC AA ,則異面直線BA與ACi所成的角等于A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】【詳解】本試題主要考查異面直線所成的角問題，考查空間想象與計(jì)算能力. 延長BiAi到E,使AiE=AiBi,連結(jié)AE, ECi,則A

8、E/A1B, / EACi或其補(bǔ)角即為所求，由已知條件可得 AECi為正三角形，ECiB為60o ,故選C.9.曲線y e2x在點(diǎn)(4,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為A. 9e2B. 4e2C. 2e22【答案】Diix【解析】因?yàn)榍€V e2x,所以y-e2切線過點(diǎn)(4, e2)ye2 ' f (x) |x=4= e2,2切線方程為：y-e2= e2 (x-4), 2令y=0，得x=2 ,與x軸的交點(diǎn)為：(2, 0),令x=0, y=-e2,與y軸的交點(diǎn)為:(0, -e2), i曲線y e2x在點(diǎn)(4, e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積故選D.D.Is=2X2xpej

9、=e222I0.兩圓x y_22222ax a 4 0 和 x y 4by i 4b0恰有三條公切線，若i ia R, b R且ab 0 ,則一2 2的最小值為() a b_ iA. iB. 3C.-9【答案】AD.【解析】 試題分析：由題意得兩圓22(x a) y4與x2 (y 2b)2 y i相外切，即Ja2 4b2 2 i a2 4b2 9，所以第5頁共I6頁221(11)(a4b) 12 (22)5b2a2 b2992 a b21-5 2 941b 1，當(dāng)且僅 a22. 2當(dāng)a2=q時(shí)取等號，所以選a.b a【考點(diǎn)】兩圓位置關(guān)系，基本不等式求最值【易錯點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要

10、特別注意拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中 芷”（即條件要求中字母為正數(shù)）、定”（不等式的另一邊必須為定值）等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤二、填空題11.若直線11： x 2y 5 。和l2：mx y 5 。平行，則m的值為;這兩條平行線I與12之間的距離為.1 -【答案】-52【解析】由題意利用兩條直線平行的等價(jià)條件求得m的值，再利用兩條平行直線間的距離公式，求出平行線11與12之間的距離.【詳解】一 一m 15.1Q直線11 : x 2y 5 0和12 ： mx y 5 0平行，,求得m 一 .1252故 12：mx y 5 0,即 x 2y 10 0 ,|10

11、 5故兩條平行線11與12之間的距離為 I5 ,J 41 -故答案為：一；無.2 5【點(diǎn)睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，同時(shí)也考查了平行線間距離的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.過點(diǎn)P 1,石 作圓x2 y2 1的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A、B,則直線AB的方",uuu uuu程為; PA PB 【答案】x 、.3y 1 032【解析】求出PA的長，求出P為圓心，PA為半徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦 AB的方程；求出PA、PB的長以及夾角即可求解數(shù)量積【詳解】22圓x y 1的圓心為O 0,0 ,半徑為1,PA JOP12/點(diǎn) 2 1 展，以P1,J3為圓心，P

12、A為半徑的圓的方程為x 1 2 y J3 2 3,將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程x J3y 1 0 ,Q OP 2, OA 1, ?OAP 90°， OPA 30o,則 APB 600,uuu uuu uur uuu3PA PB PA PB cos600 -.3故答案為：x J3y 1 0;.2【點(diǎn)睛】本題考查切點(diǎn)弦方程的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用定義計(jì)算平面向量的數(shù)量積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2x y 2 013.已知實(shí)數(shù)x、y滿足x 2y 4 0,則J x 1 2F的最大值是,3x y 3 0最小值是.【答案】3 2L55【解析】 設(shè)z J x 1 27，則z的幾何意義是區(qū)

13、域內(nèi)的點(diǎn)x,y到定點(diǎn) 1,0的距離，結(jié)合圖象即可求最大值和最小值.s【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖第10頁共16頁2y 4 02X y 2 0,解得 B 0,2 ,同理解得 C 1,0 , A 2,3 .2第11頁共16頁y2 ,則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)x, y到定點(diǎn)D 1,0的距離,由圖象知AD的距離最大，此時(shí)22z22 1329 18,所以 z 3y/2D到直線BC的距離最小，此時(shí)D到直線2x0的距離22 1故答案為：3后；迪5本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)最值的求解,解題時(shí)要結(jié)合非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義尋找最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題14. 一個(gè)三棱錐的正視圖和

14、側(cè)視圖及其尺寸如圖所示（均為直角三角形）,則該三棱錐的表面積為正視圖，該三棱錐的體積為【解析】由三視圖還原幾何體，求出各棱長，進(jìn)而求得表面積及體積由正視圖和側(cè)視圖可知，該三棱錐如圖所示,P且ABABAC ， PA平面則 S ABC1- 2 3 3, 2PC 710, PB /3, BC 卮第19頁共16頁由余弦定理得cos BCPBC2 PC2 PB25/22BC PC 10 'sin BCP .1 cos2 BCP7,210c1r 7S pbc BC PC sin BCP , 2237.，1所以，該三棱錐的表面積為S表1 3 9,體積為 V = 1 3 1.223故答案為：9; 1.

15、本題考查利用三視圖求幾何體的體積,解答的關(guān)鍵在于結(jié)合三視圖還原幾何體，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.ln x15.函數(shù)y 的單調(diào)增區(qū)間是 x【答案】(0 , e)【解析】函數(shù)的定義域?yàn)榍蠼獠坏仁統(tǒng)' 0可得:e,則函數(shù)ylnx的單調(diào)增區(qū)間是x0, e .16.在直角坐標(biāo)系平面內(nèi)，動直線l : ax0與動直線m:x ay 30相交于點(diǎn)M ,則點(diǎn)M的軌跡方程是23【答案】x 32【解析】由動直線l: axy 1 0過點(diǎn)A 0,1 ,動直線m:x ay 3 0過點(diǎn)B 3,0 ,且兩直線垂直，故兩直線的交點(diǎn)M是在以AB為直徑的圓上，即可求得點(diǎn)M的軌跡方程【詳解】動直線l: ax y 1 0過定點(diǎn)A

16、 0,1,動直線m: x ay 3 0過定點(diǎn)B 3,0 ,且兩直線垂直,故兩直線的交點(diǎn) M是在以AB為直徑的圓上,3 1,因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為 -,-,AB 聞, 2 222故以AB為直徑的圓的方程為 x By -5222故答案為:本題考查了動點(diǎn)軌跡方程的求解,求出兩直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo),以及根據(jù)兩直線垂直得出點(diǎn)M的位置是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題2217.設(shè)直線x 3y m 0 m 0與雙曲線與與1 a 0,b 0的兩條漸近線分 a2 b2別交于點(diǎn)A, B ,若點(diǎn)P m,0滿足PAPB ,則該雙曲線的離心率是【答案】【解析】x 3y或2試題分析：由雙曲線的方程可知，漸近線方

17、程為 y bx,分別與aam bm 、 am bm 、m 0 m 0 聯(lián)立，解得 A( , ), B(,),所以a 3b a 3b a 3b a 3bAB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(ma 2, 3mb 2), 因?yàn)辄c(diǎn) p(m，0)滿足 pa9b a 9b aPB ,所以3mb2.209b ama222 m9b a3,所以a 2b,所以c J5b ,所以e - a 2【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì).【方法點(diǎn)晴】 本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力， 本題的解得中

18、用雙曲線的漸近線與已知直線方程聯(lián)立，求解點(diǎn)A,B的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題.三、解答題x2218.已知橢圓2 y 1 aa直線l經(jīng)過點(diǎn)P 0,g交橢圓于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l平行于x軸時(shí)，AB 2.(1)求橢圓方程;(2)當(dāng)直線l的傾斜角時(shí)，求AB . 42(1) X21 ; (2) AB2.103程;(1)根據(jù)題意，求得 A和B的橫坐標(biāo)，由 AB2得a的值，即可求得橢圓方(2)求得直線 AB的方程，代入橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式即可求得(1)當(dāng)l平行于x軸時(shí)，AB 2 ,所以y/時(shí),即Xa.2a,2XB匕，所以AB2J2a 2,所以2橢圓的方程：x2(2)因?yàn)橹本€l的

19、斜率為所以直線 AB的方程為y設(shè) A x1, y1,B X2, y2 .聯(lián)立方程組J2，消去y,整理得3x2 2J2X10，則X1X2X1X2所以AB1 12 X1x2 2 4x1x2、 2所以AB2 .103本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了直線截橢圓所得弦長的計(jì)算,涉及韋達(dá)定理與弦長公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題19.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA，底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分別是線段 PA,PD,AB的中點(diǎn).求證：PB/平面 EFH;(2)求證:PDL平面 AHF.【答案】(1)見解析 (2)見解析【解析】 證明：: E、H分別是PA、AB

20、的中點(diǎn)，EH / PB.又EH?平面EFH,PB?平面EFH,PB/ 平面 EFH.(2) .PA，平面 ABCD, PAXAB.又AB ±AD,P/AH AD=A,AB，底面 PAD.又PD?平面 PAD,AB ±PD.RtA PAD 中,PA=AD=2,F 為 PD 的中點(diǎn)， AFXPD.又 AFn AB=A,AF ?平面 AHF,AB ?平面 AHF,PD,平面 AHF.3220.已知函數(shù) f x 2x 3 m 1 x 6mx 10mm R .(1)若m 0,求曲線y f x在x 1處的切線方程；(2)若m 0 ,且當(dāng)x 1,3時(shí)，f x 0恒成立，求m的取值范圍【答

21、案】(1) 12x y 7 0； (2) 0,2 .【解析】(1)先對函數(shù)y f x求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；(2)問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)y f x在區(qū)間 1,3上的最小值f x min ,求導(dǎo)后對實(shí)數(shù)m分m 3和0 m 3兩種情況討論，求出 f x min ,然后解不等式f xmin0,即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】3_ 22(1)當(dāng) m0時(shí)，fx 2x 3x , f x 6x 6x,由題意可得，f 15,切線斜率k f 112 ,故曲線y f x在x 1處的切線方程y 5 12 x 1 ,即12x y 7 0 ；2(2) f x 6x 6 m 1 x 6

22、m 6 x 1 x m .若m 3,則對任意的x 1,3 , f x 0,則函數(shù)y f x在 1,3上單調(diào)遞減，則只要f 335m 81 0, 81解可得，m 一 3,不合題意，舍去； 35若0 m 3,當(dāng) 1 x m時(shí)，f x 0,當(dāng) m x 3時(shí)，f x 0,故函數(shù)y f x在 1,m上單調(diào)遞減，在 m,3上單調(diào)遞增，3 _2故只要 fm m 3m 10m 0, Q m 0,解得 0 m 2.綜上可得，m的范圍為0,2 .【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為與函數(shù)最值相關(guān)的不等式求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.21 .

23、如圖，在等腰梯形 PDCB 中，PB 3, DC 1, PD BC J2，AD PB , 將 PAD沿AD折起，使平面 PAD 平面ABCD.(1)若M是側(cè)棱PB中點(diǎn)，求證：CM 平面PAD;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；叵.10【解析】（1）取PA的中點(diǎn)N ,連接MN、DN ,證明四邊形 MNDC為平行四邊形，可得出CM/DN ,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明CM 平面PAD；（2）先利用面面垂直的性質(zhì)定理得出PA 平面ABCD ,建立空間坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量，利用向量法即可求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.【詳解】（1）在梯形 PDC

24、B 中，PB 3, DC 1, pd BC 夜，AD PB ,AB 2, PA 1 , AD 1 ,取 PA 的中點(diǎn) N ,連接 MN、DN ,則 MN /AB/CD，且 MN CD 1 ,則四邊形MNDC為平行四邊形，CM /DN ,Q CM 平面 PAD , DN 平面 PAD , CM / 平面 PAD ;（2） PA AD ,平面 PAD 平面 ABCD,面 PAD I 面ABCD AD , PA 面PAD， PA 面 ABCD,IpJ、二Kc則 A 0,0,0,D 1,0,0 , B0,2,0uuuuuirl則 PB0,2,1,DC0,1,0,Er設(shè)平囿PCD的法向量為 n x, y

25、, z ,v uuvv DC y 0人,則由 v uuv，令x 1 ,v DP x z 0設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為，r uuu uuu rn pb貝U sincos PB, n口 uuun PB%,P 0,0,1 , C 1,1,0 , ur)P 1,0,1 , r則 z 1,即 n 1,0,1 ,11師V2反而10 .以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算線面角的正弦值,考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題222.已知拋物線C: y 2px焦點(diǎn)為F 2,0 ,且P m,0,Q m,n ,過p作斜率為(1)(2)小;(3)0的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn).uuu uu