《近世代數(shù)》考試卷

1、xx 師范大學(xué)05 級(jí)近世代數(shù)考試卷(xx學(xué)年第二學(xué)期 )考試類別考試使用學(xué)生數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)xx 級(jí) 初陽(yáng)綜合理科xx 級(jí)考試時(shí)間150分鐘出卷時(shí)間xx 年6月 10日說明 ：考生應(yīng)將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理。一、選擇題 ( 每小題 2 分，共 20 分 )1設(shè) A a，b，c ，在下列運(yùn)算表所給出的A 的代數(shù)運(yùn)算中， 不滿足結(jié)合律的是()。a b ca b ca b ca b ca a a aa a b ca c b ba a b cA b a a aB b a b cC b a a cD b b c ac a a ac a b cc b c cc c a b2設(shè) A，B 是兩個(gè)集

2、合， 且， ，那么，| 2A×B | ()。| A |4|B |3A 12B 48C 64D813設(shè)S 是一個(gè)半群，那么，在下列關(guān)于半群S 的敘述中，正確的是()。A S 必定有左單位元eL 或者有右單位元eRB S 中消去律必定成立C如果 S 是一個(gè)交換半群，那么，S 一定存在單位元D如果 S 至少有兩個(gè)不同的左單位元，那么，S 必定沒有右單位元4設(shè) G1，G2 是兩個(gè)循環(huán)群，且G1 (a)，G2 (b)，那么，下列結(jié)論成立的是()。A 必存在G1 到 G2 的同態(tài)映射fB 必存在G1 到 G2 的同態(tài)滿射fC必存在G1 到 G2 的同態(tài)單射fD 必存在G1 到 G2 的同構(gòu)映射f

3、大學(xué)數(shù)學(xué)5設(shè) G 是一個(gè)群， H1， H2 是 G 的兩個(gè)子群，在下列各式中一定成立的是 ()。H H1BH H H1H2A H121 2H H1H2DH H H1CH121 16設(shè) G 是一個(gè)有限群，H 是 G 的一個(gè)不變子群，在下列敘述中，正確的是 ()。A 1a， b G，有 aba HB a H，bG，有 aba1 HCa G，bH ，有 aba1 HD如果 aH bH，則 ab1 b1a7設(shè) R 是一個(gè)環(huán)， a，b R，n Z ，在下列等式恒成立的是()。A n(ab) (na)b a(nb)B (a b)2 a2 2ab b2C (ab)2 a2b2D (a b)( ab) a2

4、b28設(shè) Z 15是以 15 為模的剩余類環(huán)， 那么，Z 15的子環(huán)共有 () 個(gè)。A 2B 4C 6D159設(shè) R 是一個(gè)環(huán)， X 是環(huán) R 的一個(gè)非空子集， X 表示由子集 X 生成的子環(huán)， ( X )表示由子集 X 生成的理想，那么，下列集合之間的關(guān)系一定成立的是()。AX(X)BX(X)CX(X)DX (X)10設(shè) R 是一個(gè)環(huán)， I 是 R 的一個(gè)理想，在下列關(guān)于環(huán)的敘述中，正確的是()。A 如果 I 是 R 的一個(gè)素理想，則I 必定是 R 的一個(gè)極大理想B 如果 I 是 R 的一個(gè)極大理想，則I 必定是 R 的一個(gè)素理想C如果 R 是一個(gè)無零因子環(huán)，則零理想0 是 R 的一個(gè)素理想

5、D如果 R 是一個(gè)無零因子環(huán)，則零理想0 是 R 的一個(gè)極大理想大學(xué)數(shù)學(xué)二、填空題( 空格 2 分，共 24 分。答題時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào))1設(shè)集合 A a，b，c ，記 A× A 為 A 與 A 的積集合， 2A 為 A 的冪集合。那么， A× A， 2A。2設(shè) A 1 ， 2，3， 4 ，S 1 分類 S 所確定的等價(jià)關(guān)系 E，2 ， 3 ， 4 ，那么，由集合A 的(寫成 A× A 的子集的形式)。3設(shè) G 是一個(gè)不可交換群，那么，G 最少含有個(gè)元素，試給出一個(gè)你所熟悉的最小的不可交換群：。4設(shè) 3 次對(duì)稱群 S3(1) ， (12)， (13)， (23)， (1

6、23) ， (132) ，子群 H (1) ， (23) ，那么， S3 的兩個(gè)左陪集(12)H 與(13)H 的積 (12) H(13) H，且求 S3 關(guān)于子群 H 的左陪集分解。5記以 30 為模的剩余類加群 Z 30 0 ， 1 ， 2 ， ， 29 ，以 10為模的剩余類加群Z10 0， 1 ，2 ， ， 9 ，作群同態(tài)映射：f： Z30 Z10， k2k，k Z 30，那么，同態(tài)映射f 的象 Im f ，f 的同態(tài)核 Ker f 。6設(shè) R 是一個(gè)環(huán)， a R，記 (a) 為由元素a 生成的主理想。當(dāng)R 是一個(gè)有單位元的環(huán)時(shí)， 則 (a)；當(dāng) R 是交換環(huán)時(shí)，則 (a)；7設(shè) R

7、是一個(gè)環(huán)， I，K 是 R 的兩個(gè)理想， 那么， (IK ) / I。三、計(jì)算題( 每小題 8 分，共 16 分 。要求寫出計(jì)算的過程或計(jì)算的理由)1在 7 次對(duì)稱群 S7 中計(jì)算：(1) 將 (1357) 1 (345) (1357) 表示成若干個(gè)互不相交的循環(huán)置換之積；(2)設(shè) k 是一個(gè)自然數(shù)，計(jì)算：(1357) 1 (345) (1357) k。大學(xué)數(shù)學(xué)2設(shè) Z12 為以 12 為模的剩余類環(huán)，(1) 求出 Z12 的所有理想；(2) 試給出 Z 12 的所有極大理想與素理想。四、證明題( 每小題 10 分，共 40 分 )1設(shè) G1， G2 是兩個(gè)群，記GG1× G2 (

8、a， b) | aG1， bG2 ，規(guī)定 G 的代數(shù)運(yùn)算“”：(a，b)(c， d) (ac， bd)，(a， b)， (c， d)G。(1) 驗(yàn)證 G 關(guān)于代數(shù)運(yùn)算“”作成一個(gè)群；(2)如果 G1，G2 分別為 m，n 階的循環(huán)群，證明G 是 mn 階的循環(huán)群。2設(shè) G 是一個(gè)群， H 是 G 的一個(gè)不變子群，規(guī)定商集合G / H 的運(yùn)算：(aH)(bH)( ab)H，aH ，bH G / H，證明：以上所規(guī)定的代數(shù)運(yùn)算是合理的，即與代表元的取法無關(guān)。3設(shè)Z p a b p | a， b Z ， p 為某個(gè)固定的素?cái)?shù) ，驗(yàn)證 Z p 關(guān)于數(shù)的加法與乘法作成一個(gè)整環(huán)。4設(shè) R x 為實(shí)數(shù)域 R 上的一元多項(xiàng)環(huán)， p(x)為 R x上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式。(1) 證明：由多項(xiàng)式 p(x)生成的理想 (p(x) 是 R x上的一個(gè)極大理想。(2)