自動(dòng)控制理論：4-4 系統(tǒng)性能分析

1、Thursday, November 25, 202114.4 系統(tǒng)性能分析系統(tǒng)性能分析 Thursday, November 25, 20212 閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)位置對(duì)時(shí)間響應(yīng)性能的影響，可總結(jié)如下：1、穩(wěn)定性。 如果閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，即穩(wěn)定只與閉環(huán)極點(diǎn)位置有關(guān)，而與閉環(huán)零點(diǎn)位置無(wú)關(guān)。2、運(yùn)動(dòng)形式。 如果閉環(huán)系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，且閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一定是單調(diào)的； 如果閉環(huán)極點(diǎn)均為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一般是振蕩的。3、超調(diào)量。 超調(diào)量主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率 并與其它閉環(huán)零、極點(diǎn)接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度有關(guān)。Thursday, November 25,

2、202134、調(diào)節(jié)時(shí)間。 調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)數(shù)絕對(duì)值1=n，如果實(shí)數(shù)極點(diǎn)距虛軸最近，并且它附近沒(méi)有實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于該實(shí)數(shù)極點(diǎn)的模值。5、實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)影響。 零點(diǎn)減小系統(tǒng)阻尼，使峰值時(shí)間提前，超調(diào)量增大；極點(diǎn)增加系統(tǒng)阻尼，使峰值時(shí)間滯后，超調(diào)量減小。它們的作用，隨著其本身接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度而加強(qiáng)。6、偶極子及其處理。 如果零、極點(diǎn)之間的距離比它們本身模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則它們就構(gòu)成了偶極子。遠(yuǎn)離原點(diǎn)的偶極子，其影響可略；接近原點(diǎn)的偶極子，其影響必須考慮。7、主導(dǎo)極點(diǎn)。 在s平面上，最靠近虛軸而附近又無(wú)閉環(huán)零點(diǎn)的一些閉環(huán)極點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)性能影響最大，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)

3、，凡比主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部大6倍以上的其他閉環(huán)零、極點(diǎn)，其影響均可忽略。 例1:某單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：Thursday, November 25, 20214（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡草圖；（2）用根軌跡法確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的Kg值范圍；（3）用根軌跡法確定使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)不出現(xiàn)超調(diào)的Kg最大取值。解 ： （1）閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 Thursday, November 25, 20215Thursday, November 25, 20216Thursday, November 25, 20217Thursday, November 25, 20218Thursday, November 25,

4、20219Thursday, November 25, 202110Thursday, November 25, 202111Thursday, November 25, 202112Thursday, November 25, 202113Thursday, November 25, 202114Thursday, November 25, 202115Thursday, November 25, 202116 利用根軌跡，可以對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正v 由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)的位置；v 分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；v 分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；v 根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參

5、數(shù)；v 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。Thursday, November 25, 202117一、 條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析 例4-11：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：) 14 . 1)(6)(4()42()(22sssssssksGgk試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) 的區(qū)值范圍。gk 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：0，-4，-6， ，零點(diǎn)：714. 07 . 0j732. 11j 實(shí)軸上根軌跡區(qū)間： 0 , 4),6,( 漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)：13. 3324 . 164mnzpii,3) 12(mnk傾角：解根據(jù)繪制根軌跡的步驟，可得：046Thursday, November 25, 202118 分離角（點(diǎn)）：2d22)(,

6、42)(2ssNsssNssssssD246 .43394 .11)(2345242 .871176 .455)(234sssssD3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50 sgdk 的最大值為9.375，這時(shí)s=-2.5，是近似分離點(diǎn)。gdk由：dsgdsNsDksDsNsDsN|)()(0)()()()(可以求得分離點(diǎn)。近似求法：分離點(diǎn)在-4，0之間。Thursday, November 25, 202119 入射角：1032 與虛軸的交點(diǎn)（略）。這時(shí)的增益值：195,64,14gpk64gk64gk14gk14g

7、k195gk195gk由圖可知：當(dāng) 和 時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的（為什么？）；當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。140gk19564gk6414195ggkk和左圖是用Matlab工具繪制的。Thursday, November 25, 202120條件穩(wěn)定系統(tǒng)：參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)叫做條件穩(wěn)定系統(tǒng)。v 具有正反饋的環(huán)節(jié)。 下面的系統(tǒng)就是條件穩(wěn)定系統(tǒng)的例子：v 開(kāi)環(huán)非最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡必然有一部分在s的右半平面；Thursday, November 25, 202121例非最小相位系統(tǒng)： ，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的增益值。)2)(1()(ssksGgk解：根軌跡如右：有閉環(huán)

8、極點(diǎn)在右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然穩(wěn)定臨界點(diǎn)在原點(diǎn)。該點(diǎn)的增益臨界值為 。gpk閉環(huán)特征方程為： ，當(dāng)s=0時(shí)， ，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：022gkss2gpk2gkThursday, November 25, 202122二、瞬態(tài)性能分析和開(kāi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定 利用根軌跡可以清楚的看到開(kāi)環(huán)根軌跡增益或其他開(kāi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。以二階系統(tǒng)為例：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為)2()(2sssGnk閉環(huán)傳遞函數(shù)為2222)(nnnsss共軛極點(diǎn)為：nnjs22, 11在s平面上的分布如右圖：nnj21閉環(huán)極點(diǎn)的張角 為：1222cos,)()1(cosnnn所以 稱為阻尼

9、角。斜線稱為等阻尼線。Thursday, November 25, 202123 我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標(biāo)是超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。這些性能指標(biāo)和閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系如下：%100%100%21ctgee)(33為極點(diǎn)實(shí)部nst0306090%80604020 的關(guān)系如下圖和%若閉環(huán)極點(diǎn)落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：3%sctgte和nnj21Thursday, November 25, 202124上述結(jié)論也可應(yīng)用于具有主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)中。如下例：例4-12單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量 ，試確定開(kāi)環(huán)放大系數(shù)。)6)(4()(sssksGgk%18% 解

10、：首先畫(huà)出根軌跡如右。由圖可以看出：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為+j5,-j5，這時(shí)的臨界增益 當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 240gpk240gkABThursday, November 25, 202125下面計(jì)算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：%,100%1ctge當(dāng) 時(shí)解得： %18% 60 這是一個(gè)三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著 的增加，主導(dǎo)極點(diǎn)越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似計(jì)算。gk在根軌跡圖上畫(huà)兩條與實(shí)軸夾角為 的直線，與根軌跡交與A、B兩點(diǎn)。 則A、B兩點(diǎn)就是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，這時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量為18%。通過(guò)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定這時(shí)的根軌跡增益 ，進(jìn)而求得開(kāi)環(huán)放大系數(shù)k。60g

11、k046A123j設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為： ，則：j360 tg（1）相角條件為：3216412011tgtg（2）Thursday, November 25, 202126由(1)，(2)式解得：1 . 2, 2 . 1共軛主導(dǎo)極點(diǎn)為： 。1 . 22 . 12, 1js計(jì)算對(duì)應(yīng)的根軌跡增益。由幅值條件：1)6)(4(1 . 22 . 1jsgsssk解得：44gknjjmiiksTsksG11) 1() 1()(開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)以 的形式表示時(shí)，k稱為開(kāi)環(huán)放大系數(shù)。顯然 的關(guān)系為： ，式中 不計(jì)0極點(diǎn)。gkk與jigpzkkjp所以，開(kāi)環(huán)放大系數(shù)：83. 16444k 由于閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和，

12、所以另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為：6 . 73 pThursday, November 25, 202127特別提示特別提示：開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡形狀的影響是值得注意的。q 一般說(shuō)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s左半平面增加一個(gè)極點(diǎn)將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。) 1()(ssksGgk)2)(1()(sssksGgkThursday, November 25, 202128)3)(2)(1()(ssssksGgThursday, November 25, 202129q 若在開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個(gè)零點(diǎn)，則原根軌跡向左移動(dòng)。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間。) 1(2)(s

13、sssGk) 1() 12)(12()(ssjsjssGkThursday, November 25, 202130Matlab參考書(shū)推薦：q 現(xiàn)代控制工程，美Katsuhiko Ogats,盧伯英譯， 電子工業(yè)出版社q MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，歐陽(yáng)黎明著， 國(guó)防工業(yè)出版社三、用Matlab繪制根軌跡Thursday, November 25, 202131num=0 0 0 1;%開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分子系數(shù)，降冪排列den=1 3 2 0; %開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分母系數(shù)，降冪排列r=rlocus(num,den);例子系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試?yán)肕atlab畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡。)2)(1(1)(ss

14、ssGk解打開(kāi)Matlab,創(chuàng)建一個(gè)m文件，輸入下列程序片段：執(zhí)行之，可得到根軌跡。Thursday, November 25, 202132例4-13已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍；（3）計(jì)算系統(tǒng)對(duì)于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。 331sssksG1365. 6732. 1 j732. 1 j解：（1）畫(huà)根軌跡：Thursday, November 25, 202133q 求出射角： ，得 。 該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點(diǎn)起始，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn) -1處；另兩條從原點(diǎn)以 的出射角起始，分別終止于-3和無(wú)窮零點(diǎn)處。121801k180,60160q 會(huì)合分離

15、點(diǎn)：由方程 得 解得 在根軌跡上，因此是會(huì)合點(diǎn)。 不在根軌跡上，舍去。 0sDsNsDsN0982 ss65. 242, 1s65. 61s35. 12sThursday, November 25, 202134q 求與虛軸交點(diǎn) 系統(tǒng)特征方程為 勞斯表為當(dāng) 時(shí)，由輔助方程 ，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 。（2）由勞斯表可知當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)含有三個(gè)積分環(huán)節(jié)，屬型系統(tǒng)，型系統(tǒng)對(duì)于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。03423kksksskskskksks3034341012343k032 kks3j43kThursday, November 25, 202135q 畫(huà)根軌跡 分離（會(huì)合）點(diǎn)分別為-

16、2.93和-17.07，分離（會(huì)合）角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。45例4-14已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計(jì)算當(dāng)增益k為何值時(shí)，系統(tǒng)的阻尼比 是 ，并求此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。 510sssksG21Thursday, November 25, 202136q當(dāng) 時(shí)，阻尼角 ，表示 角的直線為OB,其方程為 ，代入特征方程整理后得：令實(shí)部和虛部分別為零，有解得由圖可知當(dāng) 時(shí)直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比 ，特征根為 。 2245450521052kjkk0520105kkk5, 5k5k2

17、155jThursday, November 25, 202137q 對(duì)于分離點(diǎn) ，由幅值條件可知 對(duì)于會(huì)合點(diǎn) ，有 由根軌跡圖可知，當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過(guò)阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對(duì)不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，瞬態(tài)響應(yīng)又呈過(guò)阻尼狀態(tài)。93. 2858. 093. 21093. 2593. 21k07.1714.2907.17100 .17507.172k858. 00 k14.29858. 0 k k14.2945Thursday, November 25, 202138q 由坐標(biāo)原點(diǎn)作根軌跡圓的切線，此

18、切線就是直線OB，直線OB與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為 。55jThursday, November 25, 202139例4-15：設(shè)系統(tǒng)A和B有相同的被控對(duì)象，且有相同的根軌跡，如下圖所示。已知系統(tǒng)A有一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，系統(tǒng)B沒(méi)有閉環(huán)零點(diǎn)。試求系統(tǒng)A和B的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和它們所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)方塊圖。Thursday, November 25, 202140系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為： 211211211222sssksssksksssksDsksA 211212222sssksskskssksDksB 212sssksG 122sksssD解：由于兩系統(tǒng)

19、的根軌跡完全相同，因而它們對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁(yè)圖可知系統(tǒng)A和B的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：Thursday, November 25, 202141由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)為： 。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為： ，反饋通路傳遞函數(shù)為： 。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對(duì)象，因此，系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫(xiě)為： ，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。212sssk22ssk1s212ssks1s)2(2ssk)(sC)(sR圖(a) A系統(tǒng)1s)2(2ssk)(sC)(sR圖(b) B系統(tǒng) 根軌跡相同的系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)極點(diǎn)都相同，但閉環(huán)零點(diǎn)卻不一定相同。 Thursday, November 25, 202142例4-16:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。（1）寫(xiě)出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2）試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ瓜到y(tǒng)在任意K值時(shí)均處于穩(wěn)定的狀