第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性和間斷點

1、第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性和間斷點函數(shù)的連續(xù)性和間斷點2021-11-252差之毫厘，謬以千里差之毫厘，謬以千里出自出自禮記禮記經(jīng)解經(jīng)解開始時雖然相差很微小，結(jié)果開始時雖然相差很微小，結(jié)果卻會造成很大的謬誤卻會造成很大的謬誤 2021-11-253“差之毫厘，謬以千里差之毫厘，謬以千里” yfx 0 xx變變化化至至 ，0 xxx 稱稱為為自自變變量量增增量量 0fxfx變變化化至至， 0yfxfx 稱稱為為函函數(shù)數(shù)增增量量. .【問題問題】xy 若若，的的關(guān)關(guān)系系是是xy 我我們們方方便便用用掌掌握握的的信信息息嗎嗎？2021-11-254【理想狀態(tài)理想狀態(tài)

2、】xy 很很小小時時， 也也很很小小0lim=0 xy 0 xxx 0yfxfx 0limxx0 xy 時時，也也是是無無窮窮小小 0fxfx “差之毫厘，謬以毫厘差之毫厘，謬以毫厘”【函數(shù)圖像分析函數(shù)圖像分析】 00limxxfxfx 000limlimxxxxfxfxfx y0 x)(xfy 0 x 0fxx圖圖像像在在 附附近近可可“一一筆筆畫畫” 0fxx在在連連續(xù)續(xù) 2021-11-25【定義定義】 000000 limxxfxU xfxfxfxxxfxxfx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在有有定定義義，若若，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點點連連續(xù)續(xù)，或或稱稱是是的的 連連續(xù)續(xù)點點，否否則則稱稱是是的的間

3、間斷斷點點定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,若若, 0 , 0 使當(dāng)使當(dāng) |0 xx時時, ,恒有恒有,| )()(|0 xfxf那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù))(xf在點在點0 x處連續(xù)處連續(xù). .例例 試證函數(shù)試證函數(shù) 0, 00,1sin)(xxxxxf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).-0.1-0.050.050.1X-0.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.0750.1Y例例 )(xf是定義于是定義于,ba上的單調(diào)增加函數(shù)，上的單調(diào)增加函數(shù)，),(0bax 若若)(lim0 xfxx存在，存在，證明證明)(xf在在0 x連續(xù)連續(xù).【推廣推廣】單

4、側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)000lim( )()( );xxf xf xf xx 若若，稱稱在在處處左左連連續(xù)續(xù)點點000lim( )()( ).xxf xf xf xx 若若，稱稱在在處處右右連連續(xù)續(xù)點點00( )( ).f xxf xx函函數(shù)數(shù)在在處處函函數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù) 左左連連續(xù)續(xù)且且右右連連續(xù)續(xù)例例 討論函數(shù)討論函數(shù) 1,410,10, 00,21)(2xxxxxxxxf在在0 x和和1 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性.例例 設(shè)設(shè),1, 22, 1,)2)(1()(4 xxxxxbaxxxf為使為使在在處連續(xù)，處連續(xù)，)(xf1 x與與應(yīng)如何取值？應(yīng)如何取值？ab【推廣推廣】區(qū)間連續(xù)區(qū)間連續(xù) ( )(,

5、),f xa bf xa b若若在在內(nèi)內(nèi)每每一一點點都都連連在在續(xù)續(xù)，稱稱連連續(xù)續(xù)；( )( )f xxaf xxb且且在在右右連連續(xù)續(xù)，在在左左連連續(xù)續(xù)， ,.fxa b稱稱在在上上連連續(xù)續(xù)例例 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin 在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).),( x【考慮考慮】以下四個函數(shù)在以下四個函數(shù)在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性0 x sin01100 xxfxxxx 【考慮考慮】以下四個函數(shù)在以下四個函數(shù)在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性0 x 1020010 xxfxxxx 【考慮考慮】以下四個函數(shù)在以下四個函數(shù)在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性0 x 1sin0300 xfxxx 【考慮考慮】以下四個函數(shù)在以下四

6、個函數(shù)在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性0 x 4 fxx 【發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)】連連續(xù)續(xù)總總是是相相似似的的“一一筆筆畫畫”間間斷斷各各有有各各的的不不同同【間斷點分類間斷點分類】oxy112 000limlimxxxxfxfxfx 如如果果改改變變函函數(shù)數(shù)在在此此點點的的定定義義間間斷斷點點可可以以變變成成連連續(xù)續(xù)點點稱稱這這樣樣的的間間斷斷點點為為可可去去間間斷斷點點【間斷點分類間斷點分類】oxy 00limlimxxxxfxfx 稱稱這這樣樣的的間間斷斷點點為為跳跳躍躍間間斷斷點點可可去去間間斷斷點點跳跳躍躍間間斷斷點點和和的的左左右右極極限限都都存存在在，稱稱這這樣樣的的間間斷斷點點為為 第第一一類類間

7、間斷斷點點. .【間斷點分類間斷點分類】00( ),( ).f xxxf x如如果果在在點點處處的的左左、右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存第第在在 則則稱稱點點為為函函數(shù)數(shù)二二類類間間斷斷點點的的例例如如，左左右右極極限限至至少少有有一一個個是是無無窮窮大大，oyx0 x稱稱這這樣樣的的間間斷斷點點為為無無窮窮間間斷斷點點【間斷點分類間斷點分類】第第二二類類間間斷斷點點例例如如， 0 xxfx時時，總總是是不不停停的的振振蕩蕩，oyx稱稱這這樣樣的的間間斷斷點點為為振振蕩蕩間間斷斷點點o1x2x3xyx xfy 判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型: :注：注：一個函數(shù)的間斷點也可能有無窮多個一個函數(shù)的間斷點也可能有無窮多個.狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù))(xDy , 0, 1 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xx在定義域在定義域R內(nèi)每一點處都間斷，內(nèi)每一點處都間斷， 且都是第二類且都是第二類間斷點間斷點.例例 求下列函數(shù)的間斷點，求下列函數(shù)的間斷點，可去間