案例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用

1、案例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用【摘要】在應(yīng)用型人才的培養(yǎng)過程中，案例教學(xué) 有著極其重要的作用。尤其在髙等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，案例教學(xué) 法能更好地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決實際問題的能力。在 課堂中如何運用好案例教學(xué)值得我們探討?！娟P(guān)鍵詞】案例教學(xué)；高等數(shù)學(xué)所謂案例教學(xué)，就是教育者根據(jù)一定的教育目的，以 案例為基本教學(xué)材料，將學(xué)習(xí)者引進(jìn)教育實踐的情境中， 通過師生之間、學(xué)生之間的多向互動、平等對話和積極研討 等形式，提高學(xué)習(xí)者面對復(fù)雜教學(xué)情境的決策能力和行動 能力的一系列教學(xué)方式的總和。案例教學(xué)真正作為一種教學(xué)方法的形成和運用發(fā)生于 20世紀(jì)初美國哈佛大學(xué)的醫(yī)學(xué)院和法學(xué)院，之后案例教學(xué)法 開始被應(yīng)用于管理

2、課程的教學(xué)中，在哈佛大學(xué)高年級的綜合 性管理課程中，有些教授甚至把案例教學(xué)作為主要的教學(xué)方 法。隨著案例教學(xué)法在法學(xué)、軍事學(xué)、社會學(xué)和教育學(xué)等各 個領(lǐng)域各個學(xué)科教學(xué)中的廣泛應(yīng)用，其內(nèi)容、方法和經(jīng)驗也 越來越豐富和完善。尤其是哈佛大學(xué)商學(xué)院案例教學(xué)法的成 功運用和實施，培養(yǎng)出了大批杰出的工商界人才，使得案例 教學(xué)法成為一種風(fēng)靡全球的、被認(rèn)為是代表未來教育方向的 先進(jìn)教學(xué)模式。高等數(shù)學(xué)是工科，理科，經(jīng)管類各專業(yè)核心課程之一， 是最重要的一門基礎(chǔ)課，對各專業(yè)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有著至 關(guān)重要的作用.但由于高等數(shù)學(xué)的抽象性和邏輯性使許多 大學(xué)生對它望而卻步，加上高等數(shù)學(xué)研究問題的手法與初 等數(shù)學(xué)不同，使許多

3、學(xué)生不易入門，從而學(xué)生對學(xué)習(xí)高等 數(shù)學(xué)的興趣大大降低。要激發(fā)學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣， 關(guān)鍵要做到兩點，一是很自然的引進(jìn)一些數(shù)學(xué)概念，最好從 平時生活中找到概念的原型；二是要知道數(shù)學(xué)中的基本概 念，定理在現(xiàn)實中怎么用。而案例教學(xué)就強調(diào)了這兩點在教 學(xué)中的應(yīng)用。所以在在教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)匾肱c課堂知識相 關(guān)的簡單'數(shù)學(xué)模型案例”，是行之有效的方法。案例教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中主要有以下幾個步驟。1. 提出問題。在引進(jìn)某個概念的時候，一定先從一個 簡單的例子入手，這樣不會使概念出來的太突兀。從案例入 手提出的概念，使之成為有源之水，接受起來很自然，對概 念理解也相對深刻。例如在講定積分的定義

4、的時候，我們可 以先從如何求由連續(xù)曲線，圍成的曲邊梯形的面積入手。2. 分析問題。如何求曲邊梯形的面積沒有現(xiàn)成的公式 可用，這是一個未知的問題，如何把這樣的問題轉(zhuǎn)化為已知 的問題，是問題的關(guān)鍵。我們知道，矩形的面積是底乘以高, 而曲邊梯形與矩形的區(qū)別在于高的變化。如果我們把底分成 一些小區(qū)間，得到一些小曲邊梯形，可以近似看成小矩形， 從而算出面積近似值。分割越細(xì)，則近似值與真實值越接近, 從而可以通過極限求出曲邊梯形的面積。3. 解決問題。分析完問題以后，引進(jìn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號。 從而可以得到曲邊梯形面積的表達(dá)式為這是通過一個例子 給出了定積分的定義，還要把具體問題中的定義一般化。4問題一般化。再

5、舉出一個求路程的問題，其求解思 路與求面積一樣，把求解過程一般化，就可以得到定積分的 定義。5應(yīng)用。給出定積分的定義以后，可以看一下定積分的 應(yīng)用，例如如何用定積分求經(jīng)濟問題中的收益流的現(xiàn)值與將 來值，如何用定積分求解物理中的變力做功問題，液體壓力 問題等等。在講授高等數(shù)學(xué)中的經(jīng)典的定理的時候也可以運用案 例教學(xué)，用得好的話，可以使定理生動形象，會給學(xué)生留下 深刻印象，例如我們在講授零點存在性定理的時候就可以很 好的利用案例教學(xué)法。1提出問題。對任意給定的一個凸多邊形，能不能找到 一條直線，把這個凸多邊形分成面積相等的兩部分。2分析問題。剛看到這個問題的時候覺著無從下手，我 們可以先考慮正方形

6、，正方形是可以做到的。做一條平行于 兩對邊的直線，直線從一邊開始平行移動，直線左邊的面積, 由零逐漸變大，到一半的位置時，直線左邊的面積與右邊的 面積相等，再繼續(xù)移動的話，左邊的面積逐漸變大，最后變 成整個正方形的面積，而直線右邊的面積是相反的過程。我 們把這兩個面積相減，當(dāng)差為零時，則直線平分正方形的面 積。類似的想法用到上述問題中，考慮一條豎直直線從左至 右掃過整個凸多邊形，則凸多邊形位于直線左邊的那部分面 積由0逐漸增大為整個凸多邊形的面積，直線右側(cè)的面積則 由最初的整個凸多邊形的面積逐漸變?yōu)?。它們的面積差有 負(fù)數(shù)變成正數(shù)，則應(yīng)該存在一個點，使面積差為零，也就是 存在一條直線平分凸多邊

7、形。3解決問題。引進(jìn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號，若把直線左側(cè)的面積記為，直線右側(cè)的面積記為，則隨著直線位置x在一個區(qū) 間a, b內(nèi)變化，的值由一個負(fù)數(shù)連續(xù)地變?yōu)榱艘粋€正數(shù), 它一定經(jīng)過了 一個零點，則在某一時刻一定有。4問題一般化。經(jīng)過分析，上述問題就轉(zhuǎn)化為一個連續(xù) 函數(shù)在有限閉區(qū)間上連續(xù)，且該函數(shù)在兩端點的函數(shù)值相 反，則該函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)部有零點。利用介值定理我們可以 證明出該定理。5應(yīng)用。給出該定理以后，可以利用它來證明方程解的 存在性，這些理論上的東西。還可以和實際生活聯(lián)系起來， 例如一塊邊界形狀任意的蛋糕，若在蛋糕上取一點，能否過 這點切一刀，使切下的2塊蛋糕面積相等？這些看似和數(shù)學(xué) 毫無關(guān)系的實

8、例，就這樣通過數(shù)學(xué)建模的手段轉(zhuǎn)化為零點存 在定理來解決，從而被當(dāng)堂所講的知識輕而易舉地解決了。 在高等數(shù)學(xué)中案例教學(xué)的優(yōu)點可以體會到以下幾點。1運用案例教學(xué)，能很自然引進(jìn)數(shù)學(xué)概念，可以使抽象 的數(shù)學(xué)概念具體化，使學(xué)生理解的概念是活生生的例子，從 而使學(xué)習(xí)高數(shù)的門檻降低，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn) 而有利于學(xué)生理解概念的本質(zhì)。2.運用案例教學(xué)，能使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)定理 在現(xiàn)實生活、工作中如何應(yīng)用。舉一些學(xué)生所熟悉的案例， 給學(xué)生造成身臨其境的感覺，加深感性認(rèn)識。引導(dǎo)學(xué)生理 論與實際的聯(lián)系中去理解知識，并運用知識去分析問題和 解決問題，使學(xué)生在一定程度上感覺到數(shù)學(xué)知識的用途， 從而可以激發(fā)

9、學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)，打下良好的 基礎(chǔ)。3使用好案例教學(xué)，要求教師要有扎實的理論功底和豐 富的實踐經(jīng)驗，這就需要老師在課下好好準(zhǔn)備案例，多想想 如何把數(shù)學(xué)概念應(yīng)用到實際問題中去，從而可以提高老師自 身的素養(yǎng)。從而達(dá)到教學(xué)互動、教學(xué)相長的效果。4. 案例教學(xué)的應(yīng)用為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)能起到良好的很 好的鋪墊作用，為專任老師更好的上專業(yè)課打下良好的基 礎(chǔ)。例如在運籌學(xué)中有最優(yōu)訂購模型時，我們在高數(shù)中的極 值問題中就可以順便講這個模型，得到經(jīng)濟批量公式。知道 這個模型的處理方式后，在運籌學(xué)中講解其他相似的模型的 時候就非常方便，學(xué)生接受起來就很容易。5. 案例教學(xué)有利于培養(yǎng)良好的師生關(guān)系，在傳統(tǒng)的教 學(xué)方式下，教師在課堂上講課，學(xué)生坐在下面聽，記筆記, 很少有交流與溝通。從而使老師與學(xué)生之間有隔閡，學(xué)生害 怕與老師交流，不利于老師教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)。而實行案例 教學(xué)，意味著師生之間有了更多的交流，意味著每個人都 有發(fā)表自己觀點、見解的機會和權(quán)利。這樣必然有助于培養(yǎng) 一種互相尊重，民主平等的