復(fù)變函數(shù)第二章-2 (1)

1、1 2.3 2.3 初等函數(shù)初等函數(shù)2 對于復(fù)數(shù)對于復(fù)數(shù) ，稱，稱iyxz)sin(cosexpyiyezewxz為為指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)。n對于任意的實(shí)數(shù)對于任意的實(shí)數(shù) y 有有 , cossiniyeyiy即，即，歐拉歐拉(Euler)公式公式。l指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 在全平面上有定義在全平面上有定義。zew 定義定義u等價(jià)于：等價(jià)于：, 2, 1, 02)Arg(kkyeeezxzl指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 在全平面上解析在全平面上解析，且且 。l復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)復(fù)變量的指數(shù)函數(shù) 是實(shí)變量指數(shù)函數(shù)是實(shí)變量指數(shù)函數(shù) 在復(fù)平面上在復(fù)平面上的解析拓廣。的解析拓廣。當(dāng)當(dāng)y=0時(shí)，有時(shí)，有 。2.3.1 2.3.

2、1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xzee zexe()zzee zew 3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) u指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)的非零性非零性，即總有，即總有由于由于 ，所以，總有，所以，總有 。0zeu加法定理加法定理： 111,zxiy222.zxiy由定義有由定義有)sin(cos)sin(cos22112121yiyeyiyeeexxzz)sin()cos(212121yyiyyexx21zze即即1212zzzzeee0ze0 xzee1212zzzzeee設(shè)設(shè)證證4l從歐拉公式可知，對于任意整數(shù)從歐拉公式可知，對于任意整數(shù)k有有1)2sin()2cos(2kikeik再由指數(shù)運(yùn)算法則得到再由指數(shù)運(yùn)

3、算法則得到12z zzk izeeeeu復(fù)變量指數(shù)函數(shù)復(fù)變量指數(shù)函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 趨向趨向 時(shí)沒有極限。時(shí)沒有極限。zez因?yàn)?，?dāng)因?yàn)椋?dāng)z沿實(shí)軸正向趨向于沿實(shí)軸正向趨向于 時(shí)時(shí),有有0limlimzxzxz xee 而當(dāng)而當(dāng)z沿實(shí)軸負(fù)向趨向于沿實(shí)軸負(fù)向趨向于 時(shí)，有時(shí)，有u周期性周期性：指數(shù)函數(shù)是：指數(shù)函數(shù)是以以2ki為周期為周期的周期函數(shù)的周期函數(shù).因此，因此，z趨向趨向時(shí)的極限不存在。時(shí)的極限不存在。證證0limlim0 xxzxzzee5【例【例2.15】 計(jì)算計(jì)算 和和 的值。的值。解解: 根據(jù)指數(shù)定義根據(jù)指數(shù)定義334(cossin)44ieei 4/1expi144exp1/4iie3

4、4ie 14cossin44ei322()22ei33112222eei14112ei6【例【例 2.16】利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示計(jì)算】利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示計(jì)算 。31)212(ii解解 因?yàn)橐驗(yàn)?113(arctan )23arctan225125iiieie . 2 , 1 , 0k故所求之值有故所求之值有3個(gè)，即個(gè)，即 ， 及及ie6ie65ie23,22i3,22ii。, 也就是也就是1113(2)(arctanarctan2)322ikiee72.3.2 2.3.2 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)復(fù)變量的對數(shù)函數(shù)也是定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。復(fù)變量的對數(shù)函數(shù)也是定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。定義定義 滿足方程滿

5、足方程 的函數(shù)的函數(shù) ，稱為，稱為對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)。) 0( zzew)(zfw 記作記作 。Lnwz令令 ， ，則，則irez ivuwiivuree所以所以uer ，kv20, 1, 2,k （）。即即lnur，kv20, 1, 2,k （）。由于由于 ，而，而 zr 是是z的輻角，故恰有的輻角，故恰有Argzv LnlnArgwzziz，. 0z，故有，故有80, 1, 2,k （）其中：其中：l 是通常正數(shù)是通常正數(shù) 的自然對數(shù)。的自然對數(shù)。 l對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 為為多值函數(shù)多值函數(shù)。并且。并且每兩個(gè)值相差每兩個(gè)值相差 的整數(shù)倍的整數(shù)倍。 u如果規(guī)定如果規(guī)定 取主值取主值 ，就得，就得

6、 的一個(gè)單值的一個(gè)單值 “分支分支”，記作，記作 ，把它稱為，把它稱為 的的主值主值。 故故因此，因此， 可表示為可表示為Lnzl對于每一個(gè)固定的對于每一個(gè)固定的k, 上式為一單值函數(shù)上式為一單值函數(shù), 稱為稱為 的的一個(gè)分支一個(gè)分支。 Lnzl當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 的主值的主值 ，這就是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)。，這就是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)。 LnlnArgwzziz，. 0zzlnzLnwzi2ArgzzargzlnLnzLnz0 xzxzlnlnLnzlnlnargzzizikzz2lnLn9【例【例2.17】 求求 , 及它們相對應(yīng)的主值。及它們相對應(yīng)的主值。Ln( 1)解解: 1)因?yàn)橐驗(yàn)長n( 1)ln1(

7、2)(21)ikki【例【例 2.18】求】求 。Ln(23 ) i解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?313i3arg(23 )arctan2i 所以所以13Ln(23 )ln13(arctan2)22iik2Ln主值為：主值為： i ) 1ln(2) （k=0,1,2, ） ik22ln2Ln主值為：主值為： 2ln，故，故11 , arg( 1)(k=0,1,2, )(k=0,1,2, )10【例【例2.19】計(jì)算】計(jì)算 及及l(fā)n( 23 ) i 解解 根據(jù)定義，根據(jù)定義，)32arg(32ln)32(iiiiLn)23arctan(13ln31iln( 23 ) i lniiiii2arg1lnln11

8、u遇到的三種對數(shù)函數(shù)遇到的三種對數(shù)函數(shù):1) 實(shí)變量的對數(shù)函數(shù)實(shí)變量的對數(shù)函數(shù) 。它對一切正數(shù)它對一切正數(shù)x有定義，且是單值的；有定義，且是單值的；2) 復(fù)變量的對數(shù)函數(shù)復(fù)變量的對數(shù)函數(shù) Lnz 。它對于一切不為它對于一切不為0的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)z有定義，且每個(gè)有定義，且每個(gè)z對應(yīng)無窮多值；對應(yīng)無窮多值； 3) 復(fù)變量對數(shù)函數(shù)的主值復(fù)變量對數(shù)函數(shù)的主值 。zln 它對于一切不為它對于一切不為0的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)z有定義，且為單值，即取有定義，且為單值，即取Lnz 無窮多值中的一個(gè)，其虛部等于無窮多值中的一個(gè)，其虛部等于z的主輻角。特別，當(dāng)?shù)闹鬏椊?。特別，當(dāng)z為正為正實(shí)數(shù)時(shí)，主值實(shí)數(shù)時(shí)，主值lnz恰與實(shí)數(shù)的

9、對數(shù)相一致。恰與實(shí)數(shù)的對數(shù)相一致。 利用輻角的相應(yīng)性質(zhì)，容易驗(yàn)證，對數(shù)函數(shù)具有下列性質(zhì)。利用輻角的相應(yīng)性質(zhì)，容易驗(yàn)證，對數(shù)函數(shù)具有下列性質(zhì)。ln x12u對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：(1) (1) 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)1 212Ln()LnLnz zzz1122Ln()LnLnzzzzl注意：注意：LnLnnznz1LnLnnzzn其中其中n為大于為大于1的整數(shù)。的整數(shù)。不成立不成立（） （） 13【例如】【例如】2222LnLnln222ln220, 1, 2,izr erikrikk , 2, 1, 042ln22ln2Ln2111kkirkirz可見，可見， 的值比的值比2Lnz的值多。

10、的值多。2Lnz另外，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，另外，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)， 的自變量的自變量z可取負(fù)實(shí)數(shù)，而可取負(fù)實(shí)數(shù)，而2Lnz 2Lnz的自變量的自變量z只能取正實(shí)數(shù)只能取正實(shí)數(shù)，所以不正確。所以不正確。 同樣有：同樣有：zzLn21Ln，因?yàn)?，因?yàn)閦zLn2Ln214(2) (2) 解析性解析性l主值主值w=lnz，在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面上是解析的，在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面上是解析的，且且 1(ln )zz 因?yàn)橐驗(yàn)?lnlnarg(arg).wzzizzzdwdedzzdw11ln 其中，其中， 除原點(diǎn)外在其他點(diǎn)都是連續(xù)的，而除原點(diǎn)外在其他點(diǎn)都是連續(xù)的，而argz在原在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù)。點(diǎn)與

11、負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù)。 在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi) 處處連續(xù)。處處連續(xù)。 ln z 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)的反函數(shù)內(nèi)的反函數(shù)w=lnz是單值是單值的。由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知的。由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知 ln zwezzvarg 因此，因此，lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。15l 又由于又由于 （k為整數(shù)），因此為整數(shù)），因此: Lnz的的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解析，并且有相同的導(dǎo)數(shù)值。析，并且有相同的導(dǎo)數(shù)值。 今后，我們應(yīng)用對數(shù)函數(shù)時(shí)，都是指它在除去原點(diǎn)今后，我們應(yīng)用對數(shù)函數(shù)時(shí)，都是指它在除

12、去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)的某一單值分支。及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)的某一單值分支。Lnln2zzk i16【例【例2.20】 求下列函數(shù)在復(fù)平面上的可導(dǎo)和解析點(diǎn)集求下列函數(shù)在復(fù)平面上的可導(dǎo)和解析點(diǎn)集.解：解： 由對數(shù)函數(shù)的解析特征可得，除滿足以下方程的點(diǎn)集外，由對數(shù)函數(shù)的解析特征可得，除滿足以下方程的點(diǎn)集外， f(z)在復(fù)平面上的其它區(qū)域解析，在復(fù)平面上的其它區(qū)域解析， 0)241Re(ziand 0)241Im(zi即即 021 xand 024y可得：可得： 21xand 2y因此，因此，f(z)在復(fù)平面上除去在復(fù)平面上除去 的其它區(qū)域內(nèi)解析。的其它區(qū)域內(nèi)解析。221yx)241ln()(zizf17

13、2.2.3 2.2.3 冪函數(shù)冪函數(shù)定義定義 函數(shù)函數(shù) 規(guī)定為規(guī)定為awzLnaazze（a為復(fù)常數(shù)，為復(fù)常數(shù)， ），）， 0z稱為復(fù)變量的稱為復(fù)變量的冪函數(shù)冪函數(shù)。還規(guī)定還規(guī)定：當(dāng)：當(dāng)a為正實(shí)數(shù)且為正實(shí)數(shù)且z=0時(shí)，時(shí)， 。0az（由于（由于 是多值函數(shù)，所以是多值函數(shù)，所以 一般也是多值函數(shù)。）一般也是多值函數(shù)。）LnzLnazeu冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)：1) 冪函數(shù)冪函數(shù) 是是多值函數(shù)多值函數(shù)。az184) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0a 00 Ln01zzee3) 當(dāng)當(dāng) （n為正整數(shù)）時(shí)，為正整數(shù)）時(shí)，11Lnznnze0,1,1kn（）是一個(gè)是一個(gè)n值函數(shù)值函數(shù)；1anarg21zkinnze

14、2) 當(dāng)當(dāng)a為正整數(shù)為正整數(shù)n時(shí)時(shí)是是一個(gè)單值函數(shù)一個(gè)單值函數(shù)；u冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)：zinnkziznznnezeezwarg2arglnLn195) 當(dāng)當(dāng)a為有理數(shù)為有理數(shù) （ 與與 為互質(zhì)的整數(shù)，為互質(zhì)的整數(shù)， ）時(shí)，）時(shí)，qppq0qLnln2ppppzzi kqqqqzee，k為整數(shù)。為整數(shù)。 由于由于p 與與q互質(zhì)，當(dāng)互質(zhì)，當(dāng)k取取0，1，q-1時(shí)，時(shí)，qpkiqpkiee1)2(2是是q個(gè)不同的值。但若個(gè)不同的值。但若k再取其他整數(shù)的值時(shí)，將重復(fù)出現(xiàn)上再取其他整數(shù)的值時(shí)，將重復(fù)出現(xiàn)上述述q個(gè)值之一，所以個(gè)值之一，所以 qpzw 是是q值函數(shù)，有值函數(shù)，有q個(gè)不同的分支個(gè)不同

15、的分支。u冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)：206) 當(dāng)當(dāng) 為無理數(shù)或復(fù)數(shù)（為無理數(shù)或復(fù)數(shù)（ ）時(shí)，）時(shí)， 是是無窮多值函數(shù)無窮多值函數(shù)。 aIm0a 例如：例如： )22(ln22ln22ln22lnkikkikee22(cosln2sinln2)kei0, 1, 2,k （） 由于由于Lnz的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的，因而不難知道析的，因而不難知道 的相應(yīng)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的相應(yīng)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)也是解析的。的復(fù)平面內(nèi)也是解析的。azw 7) 解析性解析性： 的的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)

16、軸的復(fù)平azw 面內(nèi)是解析的面內(nèi)是解析的。az1(1)Ln2(1)ln2(arg2 2)2iiiikeeu冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)：21【例【例2.21】 求求1) , 2) 的值的值.解：根據(jù)冪函數(shù)定義計(jì)算解：根據(jù)冪函數(shù)定義計(jì)算1)kiiiiee203ln3Ln33lnsin3lncos2iek(0, 1, 2,)k 2) ln1arg(1) 2Ln(1)1iiiiikiiiee )2lnsin2ln(cos)42(2ln)24()24(2lnieeekikkiii3ii122【例【例2.22】求】求 的模和主輻角。的模和主輻角。解：解： 1(1) ln1arg(1) 2(1)Ln(1)1i

17、iiiikiiiee )242(ln)242(ln)24(2ln)1(kikkiiee(0, 1, 2,)k iei222iii11223所以所以(ln22)(ln22)1442(ln22)(ln22)44(2)(ln22)44(2)(ln22)442 1222 22 2kikiikikkikkikiieeeeee(0,1,2,)k 因此因此 ： 的模為：的模為：iii112)24(22ke主輻角為：主輻角為： 42ln242.3.4 2.3.4 三角函數(shù)三角函數(shù)l歐拉公式將三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來，即歐拉公式將三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來，即yiyeiysincosyiyeiysincos可

18、得可得 1cos()2iyiyyee，)(21siniyiyeeiyl表明：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)來表示。表明：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)來表示。 若將這兩個(gè)等式右端的實(shí)數(shù)若將這兩個(gè)等式右端的實(shí)數(shù)y改為復(fù)數(shù)改為復(fù)數(shù)z，它們?nèi)杂幸饬x。，它們?nèi)杂幸饬x。因此就可以用它們來作為復(fù)變量的正弦和余弦函數(shù)的定義。因此就可以用它們來作為復(fù)變量的正弦和余弦函數(shù)的定義。 25定義定義 函數(shù)函數(shù) 與與 分別稱為復(fù)變量分別稱為復(fù)變量z的的余弦函數(shù)余弦函數(shù)與與正弦函數(shù)正弦函數(shù)。記作。記作 與與 ，即，即2izizeecos,2izizeezzcossin zieeiziz2ieeziziz2sin26u

19、 性質(zhì)性質(zhì) （1） 及及 均為單值函數(shù)；均為單值函數(shù)； zcossin z（2） 及及 均為以均為以 為周期的函數(shù)；為周期的函數(shù)； zcossin z2（3） 為偶函數(shù)，為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)；為奇函數(shù)； zcossin z112122cos()coscossinsinzzzzzz（4）22121sincoscossin)sin(1zzzzzz1cossin22zz（5）（6） 解析性解析性 在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，且在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，且cos , sinzz(cos )sinzz (sin )coszz 27注意注意：域內(nèi)不再成立。域內(nèi)不再成立。例如例如，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， iyz )(2

20、1coscosyyeeiyz隨隨 而模而模 也無限增大。也無限增大。yiycos1) 在實(shí)數(shù)域內(nèi)成立的不等式在實(shí)數(shù)域內(nèi)成立的不等式 及及 在復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)2) 和和 都是無界的。都是無界的。1sinx1cosxzsinzcos3) 及及 不總是非負(fù)的，可能取任何復(fù)數(shù)值。不總是非負(fù)的，可能取任何復(fù)數(shù)值。 z2cosz2sin例如例如22( 3 )( 3 )3333 22()sin ( 3 )224iiiieeeeeeiii 就是一個(gè)負(fù)數(shù)。就是一個(gè)負(fù)數(shù)。 還可檢驗(yàn)還可檢驗(yàn) 是一個(gè)虛數(shù)。是一個(gè)虛數(shù)。 )1 (cos2i28u其他復(fù)變函數(shù)的三角函數(shù)的定義如下：其他復(fù)變函數(shù)的三角函數(shù)的定義如下：sintan

21、,coszzzcoscot,sinzzz1sec,coszz1csc.sinzz29 2.3.5 2.3.5 反三角函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù)作為三角函數(shù)的反函數(shù)定義如下反三角函數(shù)作為三角函數(shù)的反函數(shù)定義如下:定義定義 如果如果 , 則則 w 叫做復(fù)變量叫做復(fù)變量 z 的的反余弦函數(shù)反余弦函數(shù),zw cos記為記為 , 即即ArccoszArccoswzl將將 兩端同乘以兩端同乘以 , 得得)(21cosiwiweewziwe2122iwiweze或或012)(2iwiwzee于是有于是有 ，再由對數(shù)函數(shù)的定義即得，再由對數(shù)函數(shù)的定義即得12zzeiw2Ln(1)iwzz所以所以可見，可見，反余

22、弦函數(shù)反余弦函數(shù)是是多值函數(shù)多值函數(shù)。 2ArccosLn(1)zizz 30用同樣方法可定義反正弦函數(shù)用同樣方法可定義反正弦函數(shù) 及反正切函及反正切函 Arcsinz數(shù)數(shù) ，并且它們對應(yīng)的函數(shù)有如下關(guān)系：，并且它們對應(yīng)的函數(shù)有如下關(guān)系： Arctanz2ArcsinLn(1),ziizz ArctanLn.2iizziz它們均是多值的。它們均是多值的。31 2.3.6 2.3.6 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)定義定義 sh,2zzeezch,2zzeezth,zzzzeezeecthzzzzeezee分別稱作復(fù)變量分別稱作復(fù)變量 z 的的雙曲正弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)以雙曲正切函數(shù)以及及雙曲余切函數(shù)雙曲余切函數(shù)。 l雙曲函數(shù)與三角函數(shù)之間有如下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)之間有如下關(guān)系關(guān)系：chcosziz，zzisinishzzitanithzzicoticoth32u雙曲函數(shù)的特點(diǎn)：雙曲函