國家綜合實(shí)力的數(shù)學(xué)模型

1、2005年美、日、法、德、中國的國家綜合實(shí)力分析組員：梅茜茜 王佐奉 李丹摘要一個(gè)國家的國際地位及其處理和解決國際事務(wù)的能力，主要就是看它的綜合國力。綜合國力包括政治力、經(jīng)濟(jì)力、科技力、國防力、文教力、外交力、資源力等個(gè)方面.，其中經(jīng)濟(jì)力和科技力已經(jīng)成為決定因素。本文定量與定性相結(jié)合，設(shè)定了五個(gè)指標(biāo)，分別為：經(jīng)濟(jì)力、科技力、軍事力、資源力、社會(huì)發(fā)展。通過這五個(gè)指標(biāo)來建立層次分析模型對(duì)美國、日本、法國、德國、中國這五國的國家綜合實(shí)力進(jìn)行分析。綜合國力的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)，是一個(gè)非常復(fù)雜的問題。這是因?yàn)閲κ且粋€(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，它是由許多確定的和不確定的要素決定的，實(shí)際上很難全面、準(zhǔn)確地考慮到。該模型可融合通

2、過相互比較確定各指標(biāo)對(duì)于國家綜合實(shí)力的權(quán)重，以及五個(gè)國家對(duì)于每個(gè)指標(biāo)的權(quán)重。這些權(quán)重在人的思維過程中通常是定性的，而層次分析模型能給出得到權(quán)重的定量方法。將這些不易被量測(cè)的問題進(jìn)行定性分析與定量計(jì)算結(jié)合起來。該模型將對(duì)象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策。將通過一致性檢驗(yàn)來判斷所設(shè)定的成對(duì)比較矩陣的不一致程度是否在容許范圍內(nèi)，由組合權(quán)向量來最終得出國家綜合實(shí)力排名。評(píng)價(jià)結(jié)果得五國國家綜合實(shí)力排名為：美國、日本、法國、德國、中國。關(guān)鍵詞：層次分析法；一致性檢驗(yàn)；權(quán)向量 1. 問題重述當(dāng)今世界，國家間的經(jīng)濟(jì)摩擦、外交斗爭(zhēng)和軍事對(duì)抗等，歸根到底，也都是綜合國力的競(jìng)爭(zhēng)。綜合國力的評(píng)

3、價(jià)和預(yù)測(cè)，是一個(gè)非常復(fù)雜的問題。問題一：設(shè)定合適的指標(biāo)來衡量國家綜合實(shí)力。問題二：根據(jù)所提出的指標(biāo)建立能對(duì)美、日、法、德、中這五大國的國家綜合實(shí)力進(jìn)行分析判斷的數(shù)學(xué)模型。2. 問題的提出與分析一個(gè)國家的國際地位及其處理和解決國際事務(wù)的能力，主要就是看它的綜合國力。當(dāng)今世界，國家間的經(jīng)濟(jì)摩擦、外交斗爭(zhēng)和軍事對(duì)抗等，歸根到底，也都是綜合國力的競(jìng)爭(zhēng)。綜合國力的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)，是一個(gè)非常復(fù)雜的問題。這是因?yàn)閲κ且粋€(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，它是由許多確定的和不確定的要素決定的，實(shí)際上很難全面、準(zhǔn)確地考慮到。綜合國力是指一個(gè)主權(quán)國家生存和發(fā)展所擁有的全部實(shí)力及國際影響力的合力。它包括政治力、經(jīng)濟(jì)力、科技力、國防力、文教

4、力、外交力、資源力等個(gè)方面. 其中經(jīng)濟(jì)力和科技力已經(jīng)成為決定因素。綜合來說，現(xiàn)在一個(gè)國家的國民收入水平、軍事力量、科技水平、社會(huì)穩(wěn)定、對(duì)外貿(mào)易水平都能反映一個(gè)國家的綜合國力。因此，本論文從經(jīng)濟(jì)力、科技力、軍事力、資源力、社會(huì)發(fā)展這五個(gè)指標(biāo)來衡量國家綜合實(shí)力。涉及到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、人文等因素的決策問題時(shí)，這些因素通常不易定量地量測(cè)，我們?cè)噲D通過層次分析法將這些不易被量測(cè)的問題進(jìn)行定性分析與定量計(jì)算結(jié)合起來。將國家綜合實(shí)力視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，即系統(tǒng)分析。 本文設(shè)計(jì)了五個(gè)指標(biāo)，建立國家綜合實(shí)力分析的層次結(jié)構(gòu)。根據(jù)美國運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一

5、種簡(jiǎn)單，靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法，建立層次分析模型。該模型可融合可通過相互比較確定各指標(biāo)對(duì)于國家綜合實(shí)力的權(quán)重，以及五個(gè)國家對(duì)于每個(gè)指標(biāo)的權(quán)重。這些權(quán)重在人的思維過程中通常是定性的，而層次分析模型能給出得到權(quán)重的定量方法。需要展開的工作如下：任務(wù)一：得出經(jīng)濟(jì)力、科技力、軍事力、資源力、社會(huì)發(fā)展對(duì)外貿(mào)易對(duì)國家綜合實(shí)力的權(quán)重。任務(wù)二：得出美、日、法、德、中這五大國分別對(duì)經(jīng)濟(jì)力、科技力、軍事力、資源力、社會(huì)發(fā)展的權(quán)重。任務(wù)三：建立層次分析模型。任務(wù)四：根據(jù)所建立的模型，對(duì)所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型求解。任務(wù)五：通過所給的模型求解結(jié)果對(duì)五個(gè)國家的國家綜合實(shí)力進(jìn)行分析。3. 模型的建立3.1模型的假設(shè)假設(shè)

6、一：除了經(jīng)濟(jì)力、科技力、軍事力、資源力、社會(huì)發(fā)展這五大指標(biāo)外。其他因素對(duì)國家綜合實(shí)力的影響不大，可忽略考慮。3.2符號(hào)說明表3-1 符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明P1,P2,P3,P4,P5分別為美、日、法、德、中C1,C2,C3,C4,C5分別為經(jīng)濟(jì)力、科技力、軍事力、資源力、社會(huì)發(fā)展A準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較矩陣方案層對(duì)準(zhǔn)則層的第k個(gè)準(zhǔn)則的成對(duì)比較陣表示對(duì)國家綜合實(shí)力的影響之比方案的優(yōu)越性的影響之比權(quán)向量最大特征根一致性指標(biāo)一致性率隨機(jī)一致性指標(biāo)3.3層次分析模型層次分析法(Analytic Hierarchy Process,簡(jiǎn)稱AHP)是對(duì)一些較為復(fù)雜，較為模糊的問題作出決策的簡(jiǎn)易方法。它特別適

7、用于那些難于完全定量分析的問題。它是美國運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一種簡(jiǎn)單，靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法。人們?cè)谶M(jìn)行社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個(gè)有相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡(jiǎn)潔而實(shí)用的建模方法。3.3.1建立層次結(jié)構(gòu)模型我們?cè)谏钊敕治鰧?shí)際問題的基礎(chǔ)上，運(yùn)用AHR進(jìn)行系統(tǒng)分析，將有關(guān)的各因素按照不同的屬性自上而下分解為三個(gè)層次，同一層的諸因素對(duì)上一層因素有影響，同時(shí)又支配下一層因素。最上層為目標(biāo)層，即國家綜合實(shí)力，最層為方案層，有P1,P2,P3,P4

8、,P5五個(gè)國家，中間層為準(zhǔn)則層，有C1,C2,C3,C4,C5五個(gè)準(zhǔn)則。用連線表明上一層因素與下一層因素的聯(lián)系：國家綜合實(shí)力軍事力科技力資源力社會(huì)穩(wěn)定美、日、法、德、中五國目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層經(jīng)濟(jì)力圖1 國家綜合實(shí)力分析的層次結(jié)構(gòu)這些指標(biāo)的設(shè)計(jì)原則：原則一：指標(biāo)要符合實(shí)際情況，在理論上與邏輯上要嚴(yán)謹(jǐn)、合理。 原則二：指標(biāo)之間最好界限分明，避免相互之間相關(guān)性比較大。 原則三：指標(biāo)要簡(jiǎn)要，但要統(tǒng)籌兼?zhèn)鋰揖C合實(shí)力的各個(gè)方面，同時(shí)使其在層次上相互有聯(lián)系。3.3.2構(gòu)造成對(duì)比較矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策這的心目中，他們各占有一定的比例。

9、在確定影響莫因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，主要困難在于這些因素通常不易定量的測(cè)量，人們憑自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷。當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因?yàn)榭紤]不周，顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。Satty等人的做法，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對(duì)比，二是對(duì)比采用相對(duì)尺度，以盡可能地減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準(zhǔn)確度。 每次取兩個(gè)因素，以表示對(duì)國家綜合實(shí)力的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對(duì)比較矩陣：A , , = i,j=15容易看出，=1用同樣的方法構(gòu)造方案層對(duì)

10、準(zhǔn)則層的每一個(gè)準(zhǔn)則的成對(duì)比較陣，不妨設(shè)它們?yōu)椋? (k=1,2,3,4,5)是方案（美、中等五國）（經(jīng)濟(jì)力、科技力等）的優(yōu)越性的比較尺度。關(guān)于如何確定的值，Satty等建議引用數(shù)字19及其倒數(shù)作為尺度。下表列出了19尺度的含義：表 3-2 19尺度的含義尺度含義1的影響相同3的影響稍強(qiáng)5的影響強(qiáng)7的影響明顯強(qiáng)9的影響絕對(duì)的強(qiáng)2,4,6,8的影響之比在上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間1,1/2,1/9與的影響之比為上面的反函數(shù)3.3.3成對(duì)比較矩陣的最大特征根和特征向量的實(shí)用算法(即求權(quán)向量)眾所周知，用定義計(jì)算矩陣的特征很和特征向量是相當(dāng)困難的，另一方面，因?yàn)槌蓪?duì)比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的量化

11、結(jié)果，對(duì)它做精確計(jì)算是不必要的，所以完全可以用簡(jiǎn)便的近似方法計(jì)算其特征很和特征向量。本文使用和法來進(jìn)行計(jì)算。其計(jì)算步驟為：Step1:將A的每一列向量歸一化得Step2:對(duì)按行求和得Step3:將歸一化 ， 即為近似特征向量。Step4:計(jì)算 ，作為最大特征根的近似值。這個(gè)方法實(shí)際上是將A的列向量歸一化后去平均值，作為A的特征向量。因?yàn)楫?dāng)A為一致陣時(shí)它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不嚴(yán)重，則取A的列向量（歸一化后）的平均值作為近似特征向量是合理的。 用同樣的辦法來求得成對(duì)比較矩陣的權(quán)向量以及最大特征根(k=1,2,3,4,5)。3.3.4一致性檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣通常不是一致陣，但是

12、為了能用它的對(duì)應(yīng)于特征根的特征向量作為比較因素的權(quán)向量，現(xiàn)求出其不一致程度的容許范圍。當(dāng)比5(5是A的階數(shù))大得越多，A的不一致程度越嚴(yán)重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大。因而可以用-5數(shù)值的大小來衡量A的不一致程度。其步驟為：Step1：計(jì)算判斷成對(duì)比較矩陣一致性指標(biāo)CI： (5是A的階數(shù))Step2：計(jì)算一致性率CR：當(dāng)CR<0.1時(shí)認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。否則就認(rèn)為成對(duì)比較矩陣一致性太差，必須重新進(jìn)行兩兩比較判斷。這里RI是隨機(jī)一致性指標(biāo)，上面我們已經(jīng)指出當(dāng)比較的因素越多也就是兩兩比較矩陣維數(shù)越大時(shí)，判斷的一致性就越差，故應(yīng)放寬對(duì)高維兩兩

13、比較矩陣一致性的要求，于是就引入修正值RI表3-3 隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51用同樣的求得的一致性指標(biāo), (k=1,2,3,4,5) ，并判斷其是否一致性檢驗(yàn)。3.3.5計(jì)算組合權(quán)向量目標(biāo)層只有一個(gè)因素，準(zhǔn)則層和方案層分別有5,5個(gè)因素，記準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)向量，方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)向量分別為：以為列向量構(gòu)成矩陣則方案層對(duì)目標(biāo)層的組合權(quán)向量為3.3.6組合一致性檢驗(yàn)在應(yīng)用層次分析法作重大決策時(shí)，除了對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)之外，還常需要一致性檢驗(yàn)，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決

14、策依據(jù)。組合一致性檢驗(yàn)可逐層進(jìn)行。若第p層得一致性指標(biāo)為 (n為第p-1層因素的數(shù)目)，隨機(jī)一致性指標(biāo)為，定義則第p層的組合一致性比率為， p=3,4,s方案層對(duì)目標(biāo)層的組合一致性比率為當(dāng)<0.1時(shí)，才認(rèn)為整個(gè)層次的比較判斷通過一致性檢驗(yàn)。4層次分析模型的求解與分析4.1構(gòu)造成對(duì)比較矩陣表 4-1 2005年各國各指標(biāo)排名經(jīng)濟(jì)力科技力軍事力資源力社會(huì)發(fā)展美國325117181891547559日本21581111806216416法國1588994814201419德國1762854623191419德國1321512508483307構(gòu)造準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較矩陣：A=構(gòu)造方案層對(duì)于

15、準(zhǔn)則層的成對(duì)比較矩陣：B1= B2=B3= B4=B5=4.2計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)通過MATLAB計(jì)算得：成對(duì)比較矩陣A的最大特征根：=5.217準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)向量：一致性指標(biāo)：=0.054一致性檢驗(yàn)：=0.048 < 0.1由此可知：成對(duì)比較矩陣A的不一致程度在容許范圍內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。4.3計(jì)算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗(yàn)由第三層的成對(duì)比較矩陣計(jì)算出權(quán)向量，最大特征根和一致性指標(biāo)，結(jié)果列入下表：表 4-2k123450.3230.3310.4070.2800.2630.2140.2140.1740.1820.1960.1580.1940.1750.1240.198

16、0.1740.1620.1340.1180.1980.1310.0990.1200.2960.1465.0015.0065.0055.1485.00400.0020.0010.0040.00100.0010.0010.0320由此表可知：成對(duì)比較矩陣的不一致程度在容許范圍內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)向量為： 得=（0.330,0.220,0.175,0.163,0.133）=0.001=1.12方案層的組合一致性比率為：=0.001=0.049 < 0.1由此可知，該模型的整個(gè)層次的比較判斷通過一致性檢驗(yàn)。同時(shí)，前面所得到的組合權(quán)向量可以作為最終決策依據(jù)。4.4模型分

17、析由= 可知2005年美、中、法、德、日這五大國的國家綜合實(shí)力排名為：美國、日本、法國、德國、中國。5模型評(píng)價(jià)層次分析模型計(jì)算簡(jiǎn)便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題。如果時(shí)間充分，可以把指標(biāo)更加細(xì)化，找到跟多的數(shù)據(jù)，這樣得出的模型結(jié)果更加具有說服力。6.參考文獻(xiàn)1 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2003年2 王蓮芬 許樹柏，層次分析法引論，北京：中國人民大學(xué)出版社，1990年附錄代碼：Mywork.mclearclcA=1 2 2 4 1; %準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較矩陣 1/2 1 1 3 2; 1/2 1 1 3 2; 1/4

18、1/3 1/3 1 1/3; 1 1/2 1/2 3 1;n=size(A,1);r1,w1,cr1=rw(A)B1=1.00 1.51 2.05 1.85 2.46; %B1至B5是方案層對(duì)準(zhǔn)則層的成對(duì) 0.66 1.00 1.36 1.22 1.63; 比較矩陣 0.49 0.74 1.00 0.92 1.20; 0.54 0.82 1.09 1.00 1.33;0.41 0.61 0.83 0.75 1.00;B2=1.00 1.55 1.73 2.01 3.36; 0.65 1.00 1.12 1.30 2.17; 0.58 0.89 1.00 1.26 1.94; 0.50 0.77 0.79 1.00 1.67;0.30 0.46 0.52 0.60 1.00;B3=1.00 2.35 2.32 3.04 3.72; 0.43 1.00 0.99 1.29 1.59; 0.43 1.01 1.00 1.31 1.60; 0.33 0.78 0.76 1.00 1.23; 0.27 0.63 0.63 0.81 1.00;B4=1.00 0.81 2.72 2.86 1.13; 1.23 1.00 1.1