浙江省臺州市新橋中學2020-2021學年高三上學期12月階段性考試數(shù)學試題

1、2020年12月新橋中學高三年級第一學期數(shù)學一、單項選擇題（下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請選出正確的選.本 題有10個小題，每小題5分，共50分）1. i是虛數(shù)單位,；+ 上，+ 上二等于（）U-/J （1-D2 （1 + 02A. i B. / C. 1 D. 02 .設圓/+一4工-5 二 0的弦A3的中點為尸（3,1）,則直線A8的方程是（）A. x+y -4 = 0B. x y 2 = 0C. x y 4 = 0D x + y -2 = 03 .正三棱柱ABC-A14cl內接于半徑為2的球，若d, 3兩點的球而距離為產，則正三棱柱的體積為（ ）A. 4 B. 8 C.

2、 12 D. 864 .如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色 可供選擇，則不同的著色方法共有（）種.5 .長度為4的線段A3的兩個端點在拋物線了二犬上移動，試求線段A3的中點”到x軸距離的最小值為（）7157A. 3 B. - C. D.- 2446 .設等差數(shù)列”的前項為s“，若S“二7, Sin = /7（W / «）,則與+=（）A.加+ B. （? + ）C. m n D. 2ni + n7 .已知曲線y = x + lnx在點（1,1）處的切線與曲線y="/+（4 + 2）X+l相切，則=（）A. 4 B. 2

3、C. -2 D. 88 .已知人,尸2是橢圓和雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（A.2>/3C. 3 D. 29 .已知。>0,函數(shù)/*） = '，+ 2at + dx4°若關于x的方程"） = "恰有2個互異的實數(shù)解, 一廠 + 2ax - 2a.x> 0則Q的取值范圍是()A. (8,+00) B. (0.4) C. (4,8) D. (4.6)10 .已知X,y£R+,滿足2x+y = l,則x + J,d + V的最小值為()二、不定項選擇題（下面每小題給出的四個選項

4、中，至少兩個是正確的，請選出正確的選 項，漏選、錯選不給分，本題有4個小題，每小題5分，共20分）11 .給出下列選項中，能成為xy充分條件的是（）A. A72 > yt2B. （x,'）是曲線/一）產一寸二1上的點1 1 Ac. -<-<0D.（x,y）是雙曲線 /一）二1上的點12.已知函數(shù)x） = 2sin 2”? +1,則下列說法正確的是（）A. / f-x =2-B.f -X的圖象關于直線尤=：對付稱 ；4c.若0<%<當<、，則/（%）</（超）d.若為,七，, 則/（4）+/（&）>/（七）13.下列說法正確的是（）

5、A.若x, y > 0 > x+ y = 2 t則2,+2'的最大值為4B.若x < -，則函數(shù)y = 2xh的最大值為一 122x 1C.若x, y >0 x+y + xy = 3，則八丁的最小值為1D.函數(shù)），= _的最小值為9 sirrx cos x14.已知>/?之2,貝ij （）1711A. b2 <3b a B a +1/ > a2b + ab2C. ab> a + b D. h> + 2 ab a b三、填空題（本題有4個小題，每小題5分，共20分.）15 .設向量7,坂滿足伍+B上廂，a-b=>/6 ,則“./

6、；=.16 .若WN且為奇數(shù)，則6"+6”1匕+ 6C；i-l被8除，所得的余數(shù)是.17 .已知數(shù)列"J滿足0+2%+ /?%=4 害，"eN",數(shù)列4的通項為.18 .已知不等式ln（x - l） （ + 2»工人一2恒成立，則生口的最小值為.4 + 2四、解答題（本題有5個小題，每題12分，共60分.）19 .已知ANC的內角X, B, C的對邊分別為a, b, c,若角,4, B, C成等差數(shù)列，且b ="（1）求ABC的外接圓直徑：（2）求。+。的取值范圍.20 .如圖，在多面體ABCOEF中，底面A8CQ是邊長為2的菱形，N

7、R4。= 60°四邊形8。£尸是矩8形，平面BDEF1平面ABCD, BF = 3, H是CF的中點.A（1）求直線與平而BOEr所成角的正弦值：（2）求二面角H BO C的大小.v2 y221 .當過點P（4,l）的動直線/與橢圓。：了+虧=1相交于兩個不同點43時，在線段A3上取點0,滿足IAQ|.|Q3I=IAQ|.|P3I證明：點?？傇谀扯ㄖ本€上，并求出此直線.22 .某單位計劃組織55名職工進行一種疾病的篩查，先到本單位醫(yī)務室進行血檢，血檢呈陽性者，再到 醫(yī)院作進一步檢測.已知隨機一人血檢呈陽性的概率為1%，且每個人血檢是否呈陽性相互獨立？（1）根據經驗，采用分組

8、檢測法可有效減少工作量，具體操作如下.將待檢人員隨機等分成若干組，先 將每組的血樣混在一起化驗，若結果呈陰性，則可斷定本組血樣全部為陰性，不必再化驗，若結果呈陽 性，則本組中至少有一人呈陽性，再逐個化驗，現(xiàn)有兩個分組方案：方案一：將55人分成11組，每組5人方案二：將55人分成5組，每組11人；試分析哪一個方案工作量最少？（2）若該疾病的患病率為0.4%,且患該疾病者血檢呈陽性的概率為99%.該單位有一職工血檢呈陽性， 求該職工確實患該疾病的概率,參考數(shù)據：0.99$ =0.951,0.99“ =0.895.23 .已知函數(shù)/（工）=/一（一2）工一山工，若方程f（x） = c有兩個不相等的實

9、數(shù)根王,，求證：>02020年12月新橋中學高三年級第一學期數(shù)學參考答案1. D 2. A3. B 4. C5. D 6. B 7. D 8. A 9. C 10. A11. ABC 12.BD 13. BD14. BC15. 116. 5718. 一1一619.由題意，2B = A + C = *B,故3 =外接圓直徑為。= 2R =3J = l. sin 3a + c = 27?sin A + 2/?sinC = sin A + sinC = sin A + sinAcos A = 5/3 sin | A +二2 乃 ，乃 5乃1. ( .八八其中OvAv ，故:<4 + ：&

10、lt;丁，；<§111 A + - <1. 3666 26因此，o + c = JJsin20. (1)取BC中點G,連接G, DG,作HM上而BDEF ,四邊形A3CQ是菱形，.AC_L8D.又平面BDEF1平而ABCD,平面BDEF c平而ABCD = BD ,且ACu平面ABCO，.4C1平面8。即，,：h是CF的中點，故c到平面BDEF距離h為H到平面BDEF距離的兩倍,v AC = 273,所以/",.G為8C中點，板HGI/FB,即G_L而8CQ,:.HG = -FB = - DG 二君，, DH =,222所以AHDM即為DH與平面BDEF所成角，

11、正r所以 sin/HDM =工=包, DH y/27直線DH與平面BDEF所成角的正弦值為與:(2)作GNLBD交BD于點N,連接HN,6，面88, GN LBD，所以NHNG即為二面角“一30 。的平而角,_3，：GN = - 0C =, /. tan 4HNG = -7 =也，即 AHNG = 60°»T，二面角，一/。一。的平面角為60,.(2)設4Cc3D =。，取E/7的中點。，連接。Q, .二四邊形BQE尸是矩形，。，。分別為8Q, £尸的中點，。/石。, 即1平面ABCD，:. ON 1平面ABCD,由AC_L8。，得03, OC, OQ兩兩垂直.，

12、以。為原點，OB, OC, OG所在直線分別為x軸，)，軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系. 底而ABCZ)是邊長為2的菱形，ZBAD = 60*, BF = 3,(I摳 4(0,-60), 8(1,0,0), D(-1,O,O),石(-1,0,3), F(l,0,3). C(0,V3,0), H ，¥ : AC上平面BDEF, 平而BDEF的法向量AC = (0,273,0).設直線加與平面8QE尸所成角為a , .麗= C，g3,.sina=lcos5S,X5l= 白任 =烏2 2 2'DH-AC7 /.直線加與平面8DEF所成角的正弦值為中.(2)解 2 ( 1 6 31

13、一由(1),得BH = DB = (2,0,0). /設平面B。/的法向量為萬= (x,y,z),揚，+ 3z = 02x = 0令 z = l,得力=(0,-6,1),由ED 1平面ABCD,得平面BCD的法向量為ED = （0,0,-3）,則cos5,ED) = E幺=_1 hAED 2由圖可知二面角H 30 。為銳角,二二面角”一3。一C的平面角為60,.?7x" V"21.當過點P（4,l）動直線/與橢圓。：1 + 7 = 1相交于兩個不同點乂，8時，在線段A8上取點。，滿足14月1.1。34。1.1041,證明：點?？傇谀扯ㄖ本€上，并求出此直線.設A（X1,yJ,

14、B（X2，y2），Q（x，'），貝HAPIJF3UAQUQ8I均不為零，記4 =旗=_|, 40且又4 R B,。四點共線，從而引入向量彳萬二一九而，而二2萬所以4二一人守心針，尸鐺；從而4x = J1 一萬4x + 2y =x； -2)； -'+ 1-22 -1-A2=4,故點。總在2內+），-2 = 0上.| I P814 Ax1 % y方法2：將主條件I"3HAs加n二前二師又根據向量可知士、，M=士口；根據4（內,必）,3（,2）在橢圓上，所以1+21+22x+ y 2 = 0上.22. （1）解 設方案一種每組化驗的次數(shù)為X,則X可能的取值為1, 6所以P(

15、X =1) = 0.9妒=0.951, P(X =6)= 1-0.99=0.049,所以x的分布列為Y112P0.9510.049£X = lx 0.951 + 6 x 0.049 = 1.245方案一種每組的化驗次數(shù)期望為llx£X = llxl.245 = 13.695次設方案二種每組化驗的次數(shù)為f,則丫可能的取值為1, 12所以P(y = 1) = 099” =0.895, P(X=12) = l-0.99u =0.105,所以x的分布列為Y12P0.8950.105£¥ = 1x0.895+12x0.105 = 2.155方案一種每組的化驗次數(shù)期

16、望為5 xEX = llx2.155 = 10.775次因為13.695 >10.775,所以方案二工作量更小(2)解 設事件4血檢呈陽性；事件&患疾病由題意得P(A) = 0.01, P(B) = O.(XM. P(A I B) = 0.99 ,由天降愛麗得P(AB) = P(B)P(A B) = 0.004x0.99 p( A DP(8| A)= _ = 0.396,所以血檢呈陽性的人確實患病的概率為39.6%. 尸” 七壯一 、c /” 。(2x-a)(x+)23. 解： 方法一： /(x) = 2x-(o-2)-=XX顯然當。>0時，方程/(x) = c有兩個不相等

17、的實數(shù)根X, £，不妨設為 <，則05<色再，則有卜j-S -2)K-aln»=c ,2x； ( 一 2)小 一 a In x> = c兩式相減得(王一)(占+)一(。一2)(X -)-aln± = 0“In 土.?即（玉+占）_（。_2）- = 0, /' = （* + ）_（4_2）_-* X）2再 + X）aln 土土-1由兩式可得/ 3 =，1一上=也上一 22_2 x, -x2 Xj + x2 x _ x1 x2 乜 + y，比4>o令，=色(。,1),構造函數(shù),L1？(，)= _ ) -2，z(f)在 i £ (0,1)遞增，mt = lnr- < 機=0 t + A m(t)。在Z £ (0,1)恒成立，又因為0,西一 °故/'”乜0成立.方法二：fx) = 2x-(a-2)-=(2a-6/)Cv + 1) XX顯然當a 0時，方程/(x) = c有兩個不相等的實數(shù)根為，毛，不妨設演“，則0再q小，則有八：一"一2)-。"=0 , 2- x"(a-2)x,一alnx) =0兩式相減得(占一)(占 +x2)-(a-2)(xi-x2)-an- = 0"In