三角函數(shù)誘導公式

1、2. 2k2. 2k（kZkZ）與）與的三角函數(shù)的三角函數(shù)之間的關(guān)系是什么？之間的關(guān)系是什么？公式一：公式一： sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ3.3.你能求你能求sin750sin750和和sin930sin930的值嗎？的值嗎？對比對比sinsin，coscos，tantan的值，的值，的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角函數(shù)有什么關(guān)的三角函數(shù)有什么關(guān)系？系？該公式有什么特點，如何記憶？該公式有什么特點，如何記憶？ 公式二：公式二： tan)tan(cos)cos(sin)sin( 公式三：公式三： tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考思考3 3：

2、根據(jù)三角函數(shù)定義，根據(jù)三角函數(shù)定義，的三角的三角函數(shù)與函數(shù)與的三角函數(shù)有什么關(guān)系？的三角函數(shù)有什么關(guān)系？y y的終邊的終邊xo o- -的終邊的終邊P(x,yP(x,y) )P(x,-yP(x,-y) )思考：利用思考：利用( ()，結(jié)合，結(jié)合公式二、三，你能得到什么結(jié)論？公式二、三，你能得到什么結(jié)論？ 公式四：公式四： tan)tan(cos)cos(sin)sin( 2k2k（kZkZ），），的三角函數(shù)值，等于的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)的同名函數(shù)值，再放上原函數(shù)的象限符號值，再放上原函數(shù)的象限符號. . 思考：思考：公式一四都叫做誘導公式，他公式一四都叫做誘導公式，他們分別反映了們分別反

3、映了2k2k（kZkZ），），的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你能概括一下這四組函數(shù)之間的關(guān)系，你能概括一下這四組公式的共同特點和規(guī)律嗎？公式的共同特點和規(guī)律嗎？ 函數(shù)同名，象限定號！函數(shù)同名，象限定號！ 2.2.以誘導公式一四為基礎(chǔ)，還可以以誘導公式一四為基礎(chǔ)，還可以產(chǎn)生一些派生公式，產(chǎn)生一些派生公式，如如sinsin（22）= =sinsin， sinsin（33）=sin=sin等等. .1.1.誘導公式都是恒等式，即在等式有意誘導公式都是恒等式，即在等式有意義時恒成立義時恒成立. .利用誘導公式一四，可以求任意角利用誘導公式一四，可以求任意角的三角函數(shù)，其基本思路是

4、：的三角函數(shù)，其基本思路是：這是一種化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想這是一種化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想. .任意負角的任意負角的三角函數(shù)三角函數(shù)任意正角的任意正角的三角函數(shù)三角函數(shù)0 022的角的角的三角函數(shù)的三角函數(shù)銳角的三角銳角的三角函數(shù)函數(shù)思考：設(shè)角思考：設(shè)角的終邊與單位圓的交點為的終邊與單位圓的交點為P P1 1（x x，y y），則），則 的終邊與單位的終邊與單位圓的交點為圓的交點為P P2 2（y y，x x），根據(jù)三角函數(shù)），根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能獲得哪些結(jié)論？的定義，你能獲得哪些結(jié)論？2的終邊的終邊P P1 1(x(x，y)y)Oxy的終邊的終邊2P P2 2(y(y，x)x) 公式五：公式五

5、： sin)2cos(cos)2sin(思考：根據(jù)相關(guān)誘導公式推導，思考：根據(jù)相關(guān)誘導公式推導， ， 分別等于什么？分別等于什么？)2sin()2cos( 公式六：公式六： sin)2cos(cos)2sin(思考：思考： 與與 有什么內(nèi)在聯(lián)系？有什么內(nèi)在聯(lián)系？22)2(2思考：思考：誘導公式可統(tǒng)一為誘導公式可統(tǒng)一為的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之間的關(guān)系，的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你有什么辦法記住這些公式？你有什么辦法記住這些公式？)Zk(2k奇變偶不變，符號看象限奇變偶不變，符號看象限.例例 化簡：化簡：)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()

6、cos(-sin(20y=1y1-1y= -1正弦函數(shù)正弦函數(shù) y=sin x(xRy=sin x(xR) ) 的圖象的圖象定義域為定義域為R）（Zk2k）（Zkk2xy1-1472352232223225237242x2x值域為值域為-1,1的周期為，）（2), 00sinTRxAxAy 性質(zhì)二：周期性性質(zhì)二：周期性)0,(2sinkZkkxy的周期正弦函數(shù)2T正弦函數(shù)正弦函數(shù) y=sinxy=sinx 的單調(diào)性和奇偶性的單調(diào)性和奇偶性）（，減區(qū)間：Zkkk22322）（，增區(qū)間：Zkkk22221. sin、cos、tan的幾何意義的幾何意義. oxy11PMAT正弦線正弦線MP余弦線余弦

7、線OM正切線正切線AT想一想想一想?三角三角問題問題幾何幾何問題問題正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1) 列表列表(2) 描點描點(3) 連線連線632326567342335611202123012123212300212312,0,sinxxy2.用用描點法作出函數(shù)圖象的主要步驟是怎樣的？描點法作出函數(shù)圖象的主要步驟是怎樣的？-223xy0211-xy正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)2 1 函數(shù)函數(shù)2,0,sinxxy圖象的幾何作法圖象的幾何作法oxy-11-1-1oA作法作法: (1) 等分等分3232656734233561126(

8、2) 作正弦線作正弦線(3) 平移平移61P1M/1p(4) 連線連線 正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)因為終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以因為終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=sinx的圖象在的圖象在， 與與y=sinx,x0,2的圖象相同的圖象相同2,4 ,0 ,2,2,0,4,22 正弦曲線正弦曲線xy-1-12o462463余弦曲線（平移得到）余弦曲線（平移得到）余弦曲線（幾何作法）余弦曲線（幾何作法） 正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)與與x軸的軸的交點交點)0 ,0(

9、)0 ,()0 ,2(圖象的圖象的最高點最高點圖象的圖象的最低點最低點) 1,(23與與x軸的軸的交點交點)0 ,(2) 0 ,(23圖象的圖象的最高點最高點)1 ,0() 1 ,2(圖象的圖象的最低點最低點) 1,( 4 關(guān)鍵五點關(guān)鍵五點 (五點作圖法五點作圖法)2oxy-11-13232656734233561126-oxy-11-13232656734233561126) 1 ,2(簡圖作法簡圖作法(1) 列表列表(列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點坐標列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點坐標)(3) 連線連線(用光滑的曲線順次連結(jié)五個點用光滑的曲線順次連結(jié)五個點)(2) 描點描點(定出五個關(guān)鍵點

10、定出五個關(guān)鍵點)正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)例例1畫出下列函數(shù)的簡圖畫出下列函數(shù)的簡圖（1）y=sinx+1, x0,2列表列表描點作圖描點作圖-2223211-xyo-xxsin1sinx101010210102232（2）y=cosx , x0,2解解:（1）2 , 0,sin1xxy2 , 0,sinxxy2-22311xyo-(2)xxcosxcos0223210-101-1010-12 , 0,cosxxy2 , 0 ,cosxxy 正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)y-1-12o46246)cos(cosxxysin()sin(

11、)22xx由于由于所以余弦函數(shù)所以余弦函數(shù)Rxxy,cos與函數(shù)與函數(shù)Rxxy),2sin(是同一個函數(shù)；是同一個函數(shù)；y=sinx圖象左移圖象左移 便得到的便得到的 圖象圖象2 余弦函數(shù)的圖像可以通過正弦曲線向左平移余弦函數(shù)的圖像可以通過正弦曲線向左平移 個單位長度個單位長度而得到而得到 2s in ()2yx正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)-1-oxy-111o3232656734233561126余弦函數(shù)余弦函數(shù)2 , 0,cosxxy的圖象的圖象-1-oxy-1121oA32326567342335611261P1M/1py正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性

12、質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)l1M1Q2M (1) 等分等分作法：作法：(2) 作余弦線作余弦線(3) 豎立、平移豎立、平移(4) 連線連線2Qyx-1-oxy-1121oA32326567342335611261P1M/1pyoxy-11-1-1o3232656734233561126正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)因為終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以因為終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=cosx的圖象在的圖象在， 與與y=cosx,x0,2的圖象相同的圖象相同2,4 ,0 ,2,2 , 0,4 ,2余弦曲線余弦曲線2o46246xy-1-1 例例.用五點法作出下列

13、函數(shù)圖象用五點法作出下列函數(shù)圖象:解解:xsinx2sinx001-100020-20000 xo-1y1212-12-2-振幅變換振幅變換解解:2xsin2x001-100 x0001-100 x0 x-1oy1-周期變換周期變換解解:002-200 xxoy2-2y=sinx橫坐標變?yōu)樵瓉淼臋M坐標變?yōu)樵瓉淼目v坐標不變縱坐標不變y=sin2x向右平移向右平移 縱坐標變?yōu)樵瓉淼目v坐標變?yōu)樵瓉淼?倍倍橫坐標不變橫坐標不變例小結(jié)小結(jié): :1.對于函數(shù)對于函數(shù) y=Asin( x+ ) (A0, 0):A - 振幅振幅,- 周期周期,- 頻率頻率, x+ - 相位相位, - 初相初相.2.圖象的變換

14、圖象的變換:(1)伸縮變換伸縮變換振幅變換振幅變換周期變換周期變換(2)平移變換平移變換上下平移上下平移左右平移左右平移( - 形狀變換形狀變換)( - 位置變換位置變換)y=sinx向左向左( 0)或向右或向右( 0, 0) 的圖象可由的圖象可由y=sinx經(jīng)過如下變換得到經(jīng)過如下變換得到:y=Asin( x+ ) (A0, 0) 的圖象可由的圖象可由y=sinx經(jīng)過如下變換得到經(jīng)過如下變換得到:y=sinx向左向左( 0)或向右或向右( 0)或向右或向右( 0)平移平移 個單位個單位 y=sin (x+ ) =sin( x+ )yx sinyxsin()23 例1. 用兩種方法將函數(shù)的圖象

15、變換為函數(shù)的圖象。yxsin橫坐標縮短到原來的縱坐標不變12yxsin26向左平移個單位yxxsin ()sin()2623 解法1： yxsin向左平移個單位3yxsin()312橫坐標縮短到原來的縱坐標不變yxsin()23解法2： 例2. 用五點法作出函數(shù)yx223sin()的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 解：（1）列表x 6 12 3 712 56 23x 0 2 32 2 y 0 2 0 -2 0 （2）描點（3）用平滑的曲線順次連結(jié)各點所得圖象如圖所示：yAxsin()例3. 如圖是函數(shù)的圖象，確定A、 、的值。T 566()222Tyx22sin() 解：顯然A2 x 62260

16、 x ()3yx223sin() 解法1：由圖知當時，y0 故有所求函數(shù)解析式為yx 22sin6yx226sin ()yx223sin()3 解法2：由圖象可知將的圖象向左移 即得，即yx223sin()所求函數(shù)解析式為作法作法:(1) 等分：等分：(2) 作正切線作正切線(3) 平移平移(4) 連線連線把單位圓右半圓分成把單位圓右半圓分成8等份。等份。83488483，利用正切線畫出函數(shù)利用正切線畫出函數(shù) ， 的圖像的圖像: : xytan 22 ，x44288838320o正切曲線032是由通過點 且與 y 軸相互平行的直線隔開的無窮多支曲線組成(,0)()2kkZ漸進線漸進線 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)小結(jié)：正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)小結(jié)：正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 2 、 性質(zhì)性質(zhì):xy tan 象象向向左左、右右擴擴展展得得到到。再再利利用用周周期期性性把把該該段段圖圖的的圖圖象象，移移正正切切線線得得、正正切切曲曲線線是是先先利利用用平平)2,2(x, xtany1 定義域：Zk,k2x|x 值域： 周期性： 奇偶性： 在每一個開區(qū)間 ， 內(nèi)都是增增函數(shù)。( (- -+ + k k , ,+ + k k ) )2 22 2k kZ Z奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱。R(6)單調(diào)性：單調(diào)性：Z k,2kx (7)漸近線方程：漸近線方程： (5)