線性代數(shù)各章知識及脈絡(luò)圖.doc

1、一、行列式知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖概念性質(zhì)展開式計算證明應(yīng)用經(jīng)轉(zhuǎn)置行列式的值不變；某行有公因數(shù)k，可把k提到行列式外；某行所有元素都是兩個數(shù)的和，則可寫成兩個行列式之和；兩行互換行列式變號；某行的k倍加至另一行行列式的值不變；不同行、不同列的n個元素之積的代數(shù)和（按i行展開）（按j行展開）余子式、代數(shù)余子式給定（i,j）元的值未給定（i,j）元的值化三角形加邊法、爪型行列式；公式法特殊行列式、范德蒙德行列式；遞推、數(shù)學(xué)歸納法；等用行列式性質(zhì)計算；用矩陣性質(zhì)計算；用方陣的特征值；等克拉默法則；判斷方陣的可逆，利用伴隨幾種求逆矩陣；線性相關(guān)性的判定；求矩陣的秩，并判斷線性方程組的解存在情況；求方陣的特征值。

2、；0是方陣A的特征值；行列式行列式是線性代數(shù)中的重要工具，在求解線性方程組、求逆矩陣、判斷向量組的線性相關(guān)性、求矩陣的特征值、判斷二次型的正定性等方面都要用到本章的重點是應(yīng)用行列式的性質(zhì)和展開定理計算行列式行列式的計算除了利用性質(zhì)及展開定理外，還有三角化法、升階法、遞推法和數(shù)學(xué)歸納法等,計算方法多，技巧性強，這是難點所在要掌握好這些方法，首先必須具體分析所求行列式元素分布的規(guī)律，針對其特點采取適當?shù)姆椒?；其次是要注意總結(jié)、積累經(jīng)驗,不斷提高運算能力行列式的性質(zhì)【例】：已知531，252,234都是9的倍數(shù)，利用行列式的性質(zhì)（而不是展開）,證明也是9的倍數(shù)。解答:【例】：如果除最后一行外,從每一

3、行減去后面的一行，而從最后一行減去原先的第一行，問行列式值如何變化？解答:設(shè)原行列式為，則新的行列式為，特殊行列式1、(主）對角行列式、上(下）三角行列式2、（次）對角行列式、上（下)三角行列式3、分塊三角行列式形式簡記為：，4、范德蒙德行列式認識范德蒙德行列式可以將n階范德蒙德行列式看成式關(guān)于n個變量的函數(shù)，即.此種類型行列式具有如下三個特點：從列的角度看:第j列元素從上到下依次為同一個變量的零次冪、1次冪、n1次冪，；從行的角度看：第i行元素是從左往右依次為的i1次冪，從結(jié)果看:是關(guān)于變量的次齊次函數(shù)；而且該齊次函數(shù)可以分解為個一次因式之積，其中，即腳標大者與腳標小者之差。（說明：i可以取

4、值為，例當i取值為4時，j只可以取值為3、2、1，即區(qū)間中的每一個整數(shù)）當給定具體的范德蒙德行列式時，可能變量采用不同的名稱，或者是已經(jīng)賦予具體的值。參見“范德蒙德行列式專輯"認識余子式(Minor）和代數(shù)余子式(Algebraic Minor）,及其之間的關(guān)系的元的余子式和代數(shù)余子式，僅與位置有關(guān)，的取值如何并不影響其余子式和代數(shù)余子式的取值。，代數(shù)余子式即為帶符號的余子式。利用教材P21例13深入理解余子式和代數(shù)余子式及其關(guān)系?！纠浚阂阎?階行列式D中，第一行元素分別為1，2，0，-4；第三行的4個元素的余子式分別為：。求x的值。解答：，所以有，所以。【例】：1、設(shè)行列式的元素

5、為，行列式試證：,其中為在中的代數(shù)余子式。證明：把升階得到2、設(shè)，是在中的代數(shù)余子式,求證計算技巧：利用特殊行列式計算，利用公式求行列式值【例】：計算行列式令，加邊法專輯加邊法的應(yīng)用：通過升階獲得一些特殊的元素值,從而消去某些元素，使得行列式形式更加簡單且特殊，從而實現(xiàn)計算的簡化。此種方法其實是反向利用Laplace展開定理，看似復(fù)雜化，其實階數(shù)的增加反倒可以將行列式簡單化，更易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。同時應(yīng)當注意加邊的類型及加邊后行列式值不能改變。【例】：，其中解答：.解答：爪型行列式專輯爪型行列式形如:方法：將D的第i+1列乘以都加到第1列，得有些行列式經(jīng)過適當?shù)淖兓梢曰癁樾辛惺?再采用上述方法計算。

6、【例】:化為爪型行列式的方法:先采用加邊法加邊法與爪型行列式結(jié)合可以計算如下行列式值：范德蒙德行列式專輯，此4階行列式并非范德蒙德行列式,并非4個元素的零次至3次冪構(gòu)成。解法一：采用降階法，即利用行列式展開定理,逐步展開行列式?；蛘呓夥ǘ豪梅兜旅傻滦辛惺?但是首先對原行列式增加一行一列，使之成為5階范德蒙德行列式，其中(4，5）元素的余子式即是所求。按第5列展開，即根據(jù)范德蒙德行列式得其中(1）式與(2）式是的4次多項式的兩種表示方式，比較兩者的系數(shù)，于是得到的系數(shù)為所以【例】：計算行列式【例】：計算解答:將第1行的1倍加到第2行，再將第2行的1倍加到第3行，最后將第n1行的1倍加到第n行

7、，于是原行列式變換為【例】：計算解答：依次對每一行提出因子【例】：設(shè)，用范德蒙德行列式證明解答:給定行列式并非范德蒙德行列式,因此需要對其進行變換化為范德蒙德行列式。三角形行列式利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式進行計算。注意通?；癁橐韵聨最惾切涡辛惺?；爪形行列式最終將行列式化為三角形行列式計算。遞推法變換行列式為同類型得較低階行列式來表示，從而建立起遞推關(guān)系。【例】：計算行列式按第一行展開。【例】:計算三對角線行列式（即行列式的非零元素都在對角線上，以及與對角線“平行”的上、下兩條斜線上）解答：將按第1列展開得，建立遞推公式即得：，整理得遞推得到：,所以:，即得到遞推公式并依此公式遞推：數(shù)

8、學(xué)歸納法：教材習題一5(5）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1、當n1時，2、當n2時，3、假設(shè)對于n1階行列式命題成立，即那么按第一列展開Dn，將(1)式帶入(2)式，即可得Cramer法則線性方程組當時,該線性方程組稱為齊次線性方程組；當不全為零時，該線性方程組稱為非齊次線性方程組注意：Cramer法則只適用于解決方程個數(shù)未知量個數(shù)且的線性方程組；齊次線性方程組總有解，總是有零解。二、矩陣1。要求:1.理解矩陣的概念。2。了解單位矩陣，純量矩陣、對角矩陣，三角矩陣，對稱矩陣以及它們的基本性質(zhì).3.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)則。4.理解逆矩陣的概念，掌握矩陣可逆的充要條件,掌握可逆矩陣的性質(zhì)

9、.5。掌握矩陣的初等變換及用矩陣的初等變換求逆矩陣的方法.6.了解矩陣等價的概念7.理解矩陣秩的概念并掌握其求法.2。知識脈絡(luò)圖3。矩陣運算性質(zhì)矩陣加法運算規(guī)律：（都是同型矩陣）；矩陣數(shù)乘運算性質(zhì)：;；矩陣的乘法：運算性質(zhì):(假設(shè)下列運算有意義）；注意：一般情況下,不滿足交換律;沒有消去律；（若，則有）例如：則顯然，但.或例如：轉(zhuǎn)置矩陣運算性質(zhì)：；方陣的行列式運算性質(zhì):（均為n階方陣)；，且注意:中只有當均為n階方陣時才成立.若分別為型矩陣時，未必成立，；一般情況下伴隨矩陣n階方陣A與其伴隨矩陣時可交換的：運算性質(zhì)：（均為n階方陣）；;；;；若,則；若,則，n2.逆矩陣運算性質(zhì)：（均為n階可逆

10、方陣)若，則;；n階方陣A可逆的充分必要條件：n階方陣A可逆（即A是非奇異方陣）（即A是降秩方陣）A可以表達成若干個初等矩陣的乘積齊次線性方程組只有零解非齊次線性方程組只有唯一解求逆矩陣的方法：以下方法、適用于給定元素值的可逆方陣求逆伴隨矩陣求逆法，；初等變換法，或者 分塊對角矩陣求逆法（僅限于方陣的分塊矩陣是分塊對角矩陣）,利用，或者得到（習題二的15，19，20，21，22)若給出矩陣A滿足的關(guān)系式，要求與A有關(guān)的某個矩陣的逆矩陣，一般情況下，可以將給定的關(guān)系式等價的化簡為，或者的形式，從而證得可逆，并可以求出初等矩陣初等矩陣的逆矩陣仍然為初等矩陣,;分塊矩陣在對矩陣進行分塊運算時，要注意

11、分塊的合理，保證分塊矩陣運算由意義。一般情況下,分塊對角矩陣,；若方陣A可逆利用分塊矩陣表達方陣的行列式：例常用的幾種分塊方法設(shè)，則設(shè),則設(shè)，則對角矩陣對角矩陣，則；若可逆,則，.同階對角矩陣的和、數(shù)乘、乘積結(jié)果仍然是對角矩陣。對角矩陣左乘矩陣:，對角矩陣右乘矩陣：方陣的冪運算由A計算找出規(guī)律（例，習題二的8題）若A可以表示成,其中均為型矩陣，則可以利用矩陣乘法的結(jié)合律計算A的冪運算是一個數(shù)，所以當時,，則(例，習題二的23,24題)矩陣多項式設(shè)有的次多項式，將用階方陣替代時，就成為了矩陣多項式：（注意常數(shù)項被替代成）。它有如下性質(zhì)：1) 也是階方陣；2) 階方陣的兩個多項式總是可交換的（盡管

12、矩陣乘法不滿足交換律），即（因此，普通多項式的乘法規(guī)則與因式分解規(guī)則也適用于矩陣多項式，）；3) 若，則；4) 若時，則4。利用矩陣性質(zhì)計算行列式4。1求方陣的行列式值例1：設(shè)4階矩陣,其中均為4維列向量,且求解答：，注意一般情況下，因此利用行列式的性質(zhì)。，則 (注意此題中矩陣加法與行列式加法的區(qū)別）例2:設(shè)均為3維列向量，,已知求。解答：解法一、所以解法二、根據(jù)矩陣乘法,所以關(guān)于方陣的行列式值n階方陣A可逆（即A是非奇異方陣）（即A是滿秩方陣）A可以表達成若干個初等矩陣的乘積齊次線性方程組只有零解非齊次線性方程組只有唯一解A的n個特征值全不為0n階方陣A不可逆（即A是奇異方陣）（即A是降滿秩

13、方陣)A不可以表達成若干個初等矩陣的乘積齊次線性方程組有非零解非齊次線性方程組沒有解或者有無窮多解A的n個特征值中至少有一個為04。2有關(guān)伴隨矩陣n階方陣A與其伴隨矩陣時可交換的:. 4.3矩陣行和相等、列和相等矩陣各行元素之和相等設(shè)矩陣中,各行元素之和相等，即則:；若是階可逆方陣，則的各行元素之和也相等,為矩陣各列元素之和相等設(shè)矩陣中，各列元素之和相等，即則：若是階可逆方陣，則的各行元素之和也相等，為例：若是階可逆方陣,如果中各行元素之和是6，則的各行元素之和為。初等變換與初等矩陣矩陣的初等變換是矩陣的一個運算，而初等矩陣是對單位矩陣實施一次初等變換所得矩陣.教材第3章定理1就是利用初等矩陣

14、將初等變換與矩陣乘法聯(lián)系了起來.初等矩陣主要用于某些理論上的推導(dǎo)和證明。例如：利用初等行（列）變換求逆矩陣的方法就是利用初等矩陣理論推導(dǎo)得到（參見教材P6465）。矩陣的秩矩陣的秩是矩陣的一個重要、本質(zhì)的屬性。對于型矩陣全體可以根據(jù)其秩，即依據(jù)“矩陣的非零子式的最高階數(shù)”，將型矩陣全體劃分為個類。秩，由英語rank一詞譯來，原意表示排序、秩序。引入這個概念就是要在中建立一個大小秩序.對于秩的理解和把握應(yīng)貫穿于本課程的全部學(xué)習過程。，與A秩相同的矩陣可以構(gòu)成一個集合，在這個等價類集合中最好的“代表”就是A的等價標準形，它具有最簡單的形式。A的等價標準形的主要意義用于理論推導(dǎo). 行階梯型與行最簡型應(yīng)用歸納行階梯形:1、求矩陣的秩;2、求矩陣的列向量組的最大無關(guān)組行最簡形:1、求矩陣的秩；2、求矩陣的列向量組的最大無關(guān)組；3、求矩陣的列向量組的線性關(guān)系;4、求解線性方程組,求其基礎(chǔ)解系；5、當方陣A可逆時，將（ A，E )化為行最簡形求A的逆矩陣；6、當方陣A可逆時,將（ A，B )化為行最簡形求矩陣方程AXB的解；行最簡形矩陣的作用例如：第3章引例，其中是行最簡形矩陣,而不是行最簡形矩陣。但是在求解線性方程組時具有與行最簡形矩陣相似的功能.由寫出對應(yīng)的同解方程組，即但是這樣