反常積分法課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 反常積分反常積分一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題 adxxf)( babdxxf)(lim一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim上述積分統(tǒng)稱為無(wú)窮限的反常積分上述積分統(tǒng)稱為無(wú)窮限的反常積分。例例1 1 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarc

2、tanlim bbarctanlim .22 例例2 2 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp1lnlnlim xx badxxf)(二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分(瑕積分瑕積分)( )( )f xaaf x若若 在在點(diǎn)點(diǎn) 的的任任一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)界界， 則則 稱稱為為的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn). .lim( )b

3、ttaf x dx badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(以上積分稱為以上積分稱為瑕積分瑕積分.例例4 4 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解).0(022 axadxa221lim,xaax axadx022022limttadxax 0lim arcsinttaxa lim arcsin0tata .2 證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq 101dxxq xxlnlim1ln0例例6 6 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx21limlnttdxxx 21(ln )l

4、imlnttdxx 21lim ln(ln )ttx 1lim ln(ln2)ln(ln )tt . 故原反常積分發(fā)散故原反常積分發(fā)散.例例7 7 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解.)1(3032 xdx1 x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn) 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx2301lim(1)ttdxx 3 3132)1(xdx2331lim(1)ttdxx , 233 3032)1(xdx).21(33 無(wú)界函數(shù)的反常積分（無(wú)界函數(shù)的反常積分（瑕積分瑕積分）無(wú)窮限的反常積分無(wú)窮限的反常積分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()

5、()(（注意注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)）：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)） badxxf)(三、小結(jié)三、小結(jié)思考題思考題積分積分 的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？ 101lndxxx思考題解答思考題解答積分積分 可能的瑕點(diǎn)是可能的瑕點(diǎn)是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕點(diǎn)不是瑕點(diǎn), 101lndxxx的瑕點(diǎn)是的瑕點(diǎn)是. 0 x一、一、 填空題：填空題：1 1、 廣義積分廣義積分 1pxdx當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)時(shí)發(fā)散；發(fā)散；2 2、 廣義積分廣義積分 10qxdx當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)發(fā)時(shí)發(fā)散；散；3 3、 廣義積分廣義積分 2)(ln

6、kxxdx在在_時(shí)收斂； 在時(shí)收斂； 在_ 時(shí)發(fā)散；時(shí)發(fā)散； 4 4、廣義積分、廣義積分 dxxx21=_=_；練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、發(fā)散；、發(fā)散； 5 5、1 1； 6 6、過(guò)點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)軸軸平平行行于于 yx的直的直線左邊線左邊, ,曲線曲線)(xfy 軸軸和和 x所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . .二、二、1 1、12 pp； 2 2、 ； 3 3、!n； 4 4、發(fā)散；、發(fā)散； 5 5、322； 6 6、0 0； 7 7、!)1(nn . .三、當(dāng)三、當(dāng)1 k時(shí)收斂于時(shí)收斂于kabk 1)(11； 當(dāng)當(dāng)1 k時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散. .四、四、 xxxxxdttfx