有關(guān)功率譜分析的相關(guān)總結(jié)

1、有關(guān)功率譜分析的相關(guān)總結(jié)譜是個(gè)很不嚴(yán)格的東西，常常指信號(hào)的fourier 變換，是一個(gè)時(shí)間平均（time average）概念 功率譜的概念是針對(duì)功率有限信號(hào)的(能量有限信號(hào)可用能量譜分析，能量有限的信號(hào)通常為能量信號(hào)，他們的傅里葉變換是收斂的)，所表現(xiàn)的是單位頻帶內(nèi)信號(hào)功率隨頻率的變換情況。 保留頻譜的幅度信息，但是丟掉了相位信息，所以頻譜不同的信號(hào)其功率譜是可能相同的。有兩個(gè)重要區(qū)別：1。功率譜是隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)平均概念，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是一個(gè)確定函數(shù)；而頻譜是隨機(jī)過程樣本的fourier 變換，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過程而言，頻譜也是一個(gè)“隨機(jī)過程” 。 （隨機(jī)過程有頻譜嗎？）（隨機(jī)的頻域序列）

2、2。功率概念和幅度概念的差別。 此外， 只能對(duì)寬平穩(wěn)的各態(tài)歷經(jīng)的二階矩過程談功率譜，其存在性取決于二階矩是否存在并且二階矩的fourier 變換收斂； 而頻譜的存在性僅僅取決于該隨機(jī)過程的該樣本的fourier 變換是否收斂。頻譜和功率譜的區(qū)別在于：（1）信號(hào)通常分為兩類：能量信號(hào)和功率信號(hào)；（2）一般來講，能量信號(hào)其傅氏變換收斂（即存在），而功率信號(hào)傅氏變換通常不收斂，當(dāng)然，若信號(hào)存在周期性，可引入特殊數(shù)學(xué)函數(shù)（delta）表征傅氏變換的這種非收斂性；（3）信號(hào)是信息的搭載工具，而信息與隨機(jī)性緊密相關(guān)，所以實(shí)際信號(hào)多為隨機(jī)信號(hào)，這類信號(hào)的特點(diǎn)是狀態(tài)隨機(jī)性隨時(shí)間無限延伸，能量無限。 換句話說，

3、 隨機(jī)信號(hào)大多屬于功率信號(hào)而非能量信號(hào)，它并不存在傅氏變換，亦即不存在頻譜；（4）若撇開搭載信息的有用與否，隨機(jī)信號(hào)又稱隨機(jī)過程，很多噪聲屬于特殊的隨機(jī)過程，它們的某些統(tǒng)計(jì)特性具有平穩(wěn)性，其均值和自相關(guān)函數(shù)具有平穩(wěn)性。對(duì)于這樣的隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)蛻化為一維確定函數(shù)，前人證明該確定相關(guān)函數(shù)存在傅氏變換；（5）能量信號(hào)頻譜通常既含有幅度也含有相位信息；幅度譜的平方（二次量綱）又叫能量譜，它描述了信號(hào)能量的頻域分布；功率信號(hào)的功率譜描述了信號(hào)功率隨頻率的分布特點(diǎn)，也已證明，信號(hào)功率譜恰好是其自相關(guān)函數(shù)的傅氏變換；（6）實(shí)際中我們獲得的往往僅僅是信號(hào)的一段支撐，此時(shí)即使信號(hào)為功率信號(hào)，截?cái)嘀笃涓凳?/p>

4、變換收斂，但此變換結(jié)果嚴(yán)格來講不屬于任何“譜”；（7）對(duì)于（ 6）中所述變換 若取其幅度平方，可作為信號(hào)功率譜的近似，是為經(jīng)典的“ 周期圖法 ” ；（8）fft 是 dft 的快速實(shí)現(xiàn)，dft 是 dtft 的頻域采樣，dtft 是 ft 的頻域延拓。人們不得已才利用dft 近似完成本屬于ft 的任務(wù)。若僅提fft，是非常不專業(yè)的。功率譜是個(gè)什么概念？它有單位嗎? 隨機(jī)信號(hào)是時(shí)域無限信號(hào)，不具備可積分條件，因此不能直接進(jìn)行傅氏變換。一般用具有統(tǒng)計(jì)特性的功率譜來作為譜分析的依據(jù)。功率譜與自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)傅氏變換對(duì)。功率譜具有單位頻率的平均功率量綱。所以標(biāo)準(zhǔn)叫法是功率譜密度。通過功率譜密度函數(shù)，可

5、以看出隨機(jī)信號(hào)的能量隨著頻率的分布情況。像白噪聲就是平行于w 軸，在 w 軸上方的一條直線。功率譜密度， 從名字分解來看就是說，觀察對(duì)象是功率，觀察域是譜域， 通常指頻域， 密度，就是指觀察對(duì)象在觀察域上的分布情況。一般我們講的功率譜密度都是針對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的， 由于平穩(wěn)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)一般不是絕對(duì)可積的，因此不能直接對(duì)它進(jìn)行傅立葉分析?？梢杂腥N辦法來重新定義譜密度，來克服上述困難。一是用相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換來定義譜密度；二是用 隨機(jī)過程的有限時(shí)間傅立葉變換來定義譜密度；三是用平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分解來定義譜密度。（對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程）三種定義方式對(duì)應(yīng)于不同的用處，首先第一種方式前提是平穩(wěn)隨機(jī)過

6、程不包含周期分量并且均值為零，這樣才能保證相關(guān)函數(shù)在時(shí)差趨向于無窮時(shí)衰減，光靠相關(guān)函數(shù)解決不了許多問題，要求太嚴(yán)格了； 對(duì)于第二種方式，雖然一個(gè) 平穩(wěn)隨機(jī)過程在無限時(shí)間上不能進(jìn)行傅立葉變換，但是對(duì)于有限區(qū)間， 傅立葉變換總是存在的，可以先架構(gòu)有限時(shí)間區(qū)間上的變換，在對(duì)時(shí)間區(qū)間取極限， 這個(gè)定義方式就是當(dāng)前快速傅立葉變換（fft）估計(jì)譜密度的依據(jù)；第三種方式是根據(jù)維納的廣義諧和分析理論：generalized harmonic analysis, acta math, 55(1930),117-258, 利用傅立葉 -斯蒂吉斯積分，對(duì)均方連續(xù)的零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程進(jìn)行重構(gòu)，在依靠正交性來建立的。另

7、外，對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有三種譜密度建立方法。 。 。功率譜密度的單位是g 的平方/頻率。就是就是函數(shù)幅值的均方根值與頻率之比。是對(duì)隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行分析的重要參數(shù)。功率譜密度的國際單位是什么? 如果是加速度功率譜密度，加速度的單位是m/s2, 那么，加速度功率譜密度的單位就是(m/s2)2/hz, 而 hz 的單位是1/s,經(jīng)過換算得到加速度功率譜密度的單位是m2/s3. 同理，如果是位移功率譜密度，它的單位就是m2*s, 如果是彎矩功率譜密度，單位就是(n*m)2*s 位移功率譜m2*s 速度功率譜m2/s 加速度功率譜m2/s3 在北理版信號(hào)與系統(tǒng)中，信號(hào)可以分成能量信號(hào)與功率信號(hào)，非周期能

8、量信號(hào)具有能量譜密度，是傅立葉變換的平方，功率信號(hào)具有功率譜密度，其與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅立葉變換對(duì)，等于傅立葉變換的平方/區(qū)間長(zhǎng)度。不能混淆。能量信號(hào)是沒有功率譜的。胡廣書老師的書上找到這么一段話，“隨機(jī)信號(hào)在時(shí)間上是無限的，在樣本上也是無窮多，因此隨機(jī)信號(hào)的能量是無限的，它應(yīng)是功率信號(hào)。 功率信號(hào)不滿足付里葉變換的絕對(duì)可積的條件， 因此其付里葉變換是不存在的。如確定性的正弦函數(shù)的付里葉變換是不存在，只有引入了沖激函數(shù)才求得其付里葉變換。因此，對(duì)隨機(jī)信號(hào)的頻譜分析，不再簡(jiǎn)單的是頻譜，而是功率譜?！敝芷谛盘?hào)是功率信號(hào)，但是周期信號(hào)可能是確定性信號(hào)，也可能是隨機(jī)信號(hào)，但是周期信號(hào)是存在功率譜密度的

9、。對(duì)于持續(xù)時(shí)間無限長(zhǎng)的隨機(jī)信號(hào)來說，也是存在功率譜密度的。一般來講， 對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，由于持續(xù)期時(shí)間無限長(zhǎng)，不滿足絕對(duì)可積與能量可積的條件，因此不存在傅立葉變換，所以我們只能研究其功率譜，因?yàn)闃颖竞瘮?shù)的功率畢竟是有限哦。對(duì)于確定性信號(hào)而言，里面存在能量信號(hào)，是沒有功率譜密度的，也存在功率信號(hào)，是有功率譜密度的。所以信號(hào)的頻譜與是否是確定性信號(hào)沒有必然聯(lián)系。以下論點(diǎn)來源于研學(xué)論壇，我認(rèn)為都存在一點(diǎn)問題，主要是表述上不是很準(zhǔn)確！頻譜是信號(hào)的傅立葉變換。它描述了信號(hào)在各個(gè)頻率上的分布大小。頻譜的平方(當(dāng)能量有限，平均功率為0 時(shí)稱為能量譜 )描述了信號(hào)能量在各個(gè)頻率上的分布大小。功率譜是針對(duì)隨機(jī)信號(hào)而

10、言，是隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)的離散傅立葉變換（注意自相關(guān)函數(shù)是確定性序列，離散信號(hào)本身是不存在離散傅立葉變換的）。它描述了隨機(jī)信號(hào)的功率在各個(gè)頻率上的分布大小，而不是能量分布大小。計(jì)算過程中， 都是通過樣本數(shù)據(jù)的快速傅立葉變換來計(jì)算。但不同的是， 信號(hào)的頻譜是復(fù)數(shù)，包含幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)，重復(fù)計(jì)算時(shí)的結(jié)果基本相同。而隨機(jī)信號(hào)的功率譜也可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行 fft，但必須計(jì)算模值的平方，因?yàn)楣β首V是實(shí)數(shù)。而且換一組樣本后，計(jì)算的結(jié)果略有不同， 因?yàn)殡S機(jī)信號(hào)的樣本取值不同。要得到真實(shí)的功率譜必須進(jìn)行多次平均，次數(shù)越多越好。功率譜可以從兩方面來定義，一個(gè)是樓主說的自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，另一個(gè)是時(shí)域信號(hào)傅氏

11、變換模平方然后除以時(shí)間長(zhǎng)度。第一種定義就是常說的維納辛欽定理，而第二種其實(shí)從能量譜密度來的。根據(jù)parseval 定理，信號(hào)傅氏變換模平方被定義為能量譜，即單位頻率范圍內(nèi)包含的信號(hào)能量。自然，能量跟功率有一個(gè)時(shí)間平均的關(guān)系，所以，能量譜密度在時(shí)間上平均就得到了功率譜。（這種說法不準(zhǔn)確）直接法：直接法又稱周期圖法，它是把隨機(jī)序列x(n)的 n 個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計(jì)算 x(n)的離散傅立葉變換，得x(k) ，然后再取其幅值的平方，并除以n，作為序列x(n)真實(shí)功率譜的估計(jì)。matlab 代碼：clear; fs=1000; %采樣頻率n=0:1/fs:1; %產(chǎn)生含有噪聲的序列x

12、n=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n); window=boxcar(length(xn); %矩形窗nfft=1024; pxx,f=periodogram(xn,window,nfft,fs); %直接法plot(f,10*log10(pxx); 050100150200250300350400450500-50-40-30-20-10010改進(jìn)的直接法：對(duì)于直接法的功率譜估計(jì)，當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度n 太大時(shí)，譜曲線起伏加劇，若n 太小，譜的分辨率又不好，因此需要改進(jìn)。1. bartlett 法bartlett 平均周期圖的方法是將n 點(diǎn)的有

13、限長(zhǎng)序列x(n)分段求周期圖再平均。matlab 代碼：clear; fs=1000; n=0:1/fs:1; xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n); nfft=1024; window=boxcar(length(n); % 矩形窗noverlap=0; % 數(shù)據(jù)無重疊p=0.9; %置信概率pxx,pxxc=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap,p); index=0:round(nfft/2-1); k=index*fs/nfft; plot_pxx=10*log10(pxx(index+1); plo

14、t_pxxc=10*log10(pxxc(index+1); figure(1) plot(k,plot_pxx); pause; figure(2) plot(k,plot_pxx plot_pxx-plot_pxxc plot_pxx+plot_pxxc); 050100150200250300350400450500-30-20-10010203040x: 99.61y: 30.992. welch 法welch 法對(duì) bartlett 法進(jìn)行了兩方面的修正，一是選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)w(n) ，并再周期圖計(jì)算前直接加進(jìn)去， 加窗的優(yōu)點(diǎn)是無論什么樣的窗函數(shù)均可使譜估計(jì)非負(fù)。二是在分段時(shí)， 可使

15、各段之間有重疊，這樣會(huì)使方差減小。matlab 代碼：clear; fs=1000; n=0:1/fs:1; xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n); nfft=1024; window=boxcar(100); % 矩形窗window1=hamming(100); % 漢明窗window2=blackman(100); %blackman窗noverlap=20; % 數(shù)據(jù)無重疊range=half; % 頻率間隔為 0 fs/2，只計(jì)算一半的頻率pxx,f=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,fs,range); pxx1,f=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,fs,range); pxx2,f=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,fs,range); plot_pxx=10*log10(pxx); plot_pxx1=10*log10(pxx1); plot_pxx2=10*log10(pxx2); figure