算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) - 高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材(第2講)

1、高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材（第2講） 一、本講進(jìn)度 6.2 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)二、本講主要內(nèi)容基本不等式：a，b>0時(shí)，的運(yùn)用。三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、本節(jié)給出的兩個(gè)基本不等式為：a，bR時(shí)，a2+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”號(hào)成立）；a，b0時(shí)，a+b2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”號(hào)成立）。這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)完全一致，但適用范圍不同。若在非負(fù)實(shí)數(shù)范圍之內(nèi) ，兩個(gè)公式均成立，此時(shí)應(yīng)根據(jù)題目的條件和結(jié)論選用合適的公式及公式的變形：ab，ab。對(duì)不等式ab，還有更一般的表達(dá)式：|ab|。由高一學(xué)習(xí)可知，稱為a，b的等差中項(xiàng)，稱為a，b的等比中項(xiàng)，故算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理又可敘述為：“兩個(gè)正數(shù)的等

2、比中項(xiàng)不大于它們的等差中項(xiàng)”。同學(xué)們可在二元基本不等式的基礎(chǔ)上類(lèi)比推出三元基本不等式：當(dāng)a，b，c>0時(shí)，a+b+c，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立，乃至n元基本不等式；當(dāng)ai>0（i=1，2，n）時(shí)，a1+a2+an。二元基本不等式的其它表達(dá)形式也應(yīng)記?。寒?dāng)a>0，b>0時(shí)，2，a+2等。當(dāng)字母范圍為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，有時(shí)可利用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為正實(shí)數(shù)情形，如a<0時(shí)，可得到a+-2?；静坏仁街械淖帜竌，b可代表多項(xiàng)式。2、利用二元基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值是高中求函數(shù)最值的主要方法之一。在高一已學(xué)過(guò)了用單調(diào)性求函數(shù)最大值或最小值。利用二元基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，其

3、條件為“一正二定三等”，“一正”指的是在正實(shí)數(shù)集合內(nèi)，“二定”指的是解析式各因式的和或積為定值（常數(shù)），“三等”指的是等號(hào)條件能夠成立。利用基本不等式求函數(shù)最值的方法使用范圍較廣泛，既可適用于已學(xué)過(guò)的二次函數(shù)，又可適用于分式函數(shù)，高次函數(shù)，無(wú)理函數(shù)。利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，可能上面的三個(gè)條件不一定滿足，此時(shí)不能認(rèn)為該函數(shù)不存在最值，因?yàn)橥ㄟ^(guò)化歸思想和初等變形手段可以使條件得到滿足。常用的初等變形手段有均勻裂項(xiàng)，增減項(xiàng)，配系數(shù)等。在利用基本不等式求最值時(shí)，若不能直接得到結(jié)論，應(yīng)考慮與間接法的解題思路連用，如通過(guò)解不等式的途徑。一般說(shuō)來(lái)，和式形式存在最小值，湊積為常數(shù)；積的形式存在最大值，湊和

4、為常數(shù)。四、典型例題例1、已知a>1，0<b<1，求證：logab+logba-2。解題思路分析：由對(duì)數(shù)函數(shù)可知：，logba<0，因此由的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)聯(lián)想到用基本不等式去縮小，但條件顯然不滿足，應(yīng)利用相反數(shù)的概念去轉(zhuǎn)化。 logab<0 -logab>0 2=2 logab+-2即 logab+logba-2當(dāng)且僅當(dāng)，loga2b=1，logab=-1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)ab=1。例2、已知x，y，z均為正數(shù)，且xyz(x+y+z)=1，求證：(x+y)(y+z)2。解題思路分析：這是一個(gè)含條件的不等式的證明，欲證不等式的右邊為常數(shù)2，聯(lián)想到二元基本不等式及條件

5、等式中的“1”。下面關(guān)鍵是湊出因式xyz和x+y+z。對(duì)因式(x+y)(y+z)展開(kāi)重組即可。(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。將y(x+y+z)，xz分別看成是兩個(gè)因式，得用二元基本不等式： y(x+y+z)+xz=2=2=2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立講評(píng)：通過(guò)本題的證明，同學(xué)們應(yīng)該知道基本不等式中的a，b不僅指數(shù)、字母、單項(xiàng)式，還指多項(xiàng)式，這是數(shù)學(xué)中的整體思想的一個(gè)體現(xiàn)。例3、（1）已知x>1，求3x+1的最小值； （2）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且=1，求的最大值； （3）已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x+2y=10，求函數(shù)W的最值； （4

6、）已知x>0，求函數(shù)f(x)=4x+的最小值； （5）已知a>b>0，求函數(shù)y=a+的最小值； （6）求函數(shù)y=x(10-x)(14-3x)（0<x<）的最大值； （7）求函數(shù)y=sin2cos，(0，)的最值。解題思路分析：這一組練習(xí)主要介紹在利用基本不等式求最大值或最小值時(shí)，為滿足“一正二定三等”的條件所涉及的一些變形技巧。（1） 在分式的位置湊出分母x-1，在3x后面施加互逆運(yùn)算：±3原式=(3x-3)+3+1=3(x-1)+42=4+4 （2）因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)中y2前面的系數(shù)為 下將x，分別看成兩個(gè)因式

7、（3）若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，本題很簡(jiǎn)單 否則，這樣思考：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W>0，W2=3x+2y+2=10+(3x+2y)=20 W （4）函數(shù)式為和的形式，故考慮湊積為常數(shù)。分母為x的二次，為使積的結(jié)果在分式位置上出現(xiàn)x2，應(yīng)對(duì)4x均勻裂項(xiàng)，裂成兩項(xiàng)即可。 f(x)=2x+2x+ （5）本題思路同（1）： y=(a-b)+b+ （6）配x項(xiàng)前面系數(shù)為4，使得與后兩項(xiàng)和式中的x相消 y=(4x)(10-x)(14-3x) = （7）因式為積的形式，設(shè)法湊和為常數(shù)，注意到=1為常數(shù)，應(yīng)對(duì)

8、解析式平方。 y>0，y2= y例4、已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a=30，求函數(shù)y=的最小值。解題思路分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。、法一：，由a>0得，0<b<15令t=b=1，1<t<16，ab= =8 ab18 y當(dāng)且僅當(dāng)t=4，即b=3，a=6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已知得：30-ab=a+2

9、b a+2b 30-ab令 則 0，u ，ab18，y評(píng)注：在法一，通過(guò)消元得到一個(gè)分式函數(shù)，在分子（或分母）中含有二次式。這種類(lèi)型的函數(shù)一般都可轉(zhuǎn)化為型，從而用基本不等式求解。其處理方法，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)體會(huì)。實(shí)際上，一般含二次式的分式函數(shù)（a，b，c，m，n，p不全為零）均可用此方法求解。例5、已知函數(shù)（c為常數(shù)）最小值為m，求證：（1） 當(dāng)c1時(shí)，m=2；（2） 當(dāng)c>1時(shí)，m=。解題思路分析：分母與分子是一次與二次的關(guān)系，通過(guò)換元法可轉(zhuǎn)化為基本不等式型。令 ，則t， 2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立 當(dāng)c1時(shí)，1，t=1在函數(shù)定義域（，+）內(nèi)，ymin=2 當(dāng)c>1時(shí)，>1，

10、1,+)，等號(hào)條件不能成立，轉(zhuǎn)而用函數(shù)單調(diào)性求解。易證函數(shù)在，）上遞增 t=，x=0時(shí)，ymin=評(píng)論：求函數(shù)（a>0，b>0，xc，+），c>0）的最小值時(shí)，有下列結(jié)論（1） 若c，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，； （2）若c>，當(dāng)且僅當(dāng)x=c時(shí)，。例6、某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。解題思路分析：這是一道應(yīng)用題，一般說(shuō)來(lái)，涉及到“用料最省”、“造價(jià)最低”等實(shí)際

11、問(wèn)題時(shí)，考慮建立目標(biāo)函數(shù)，求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。在建立關(guān)于造價(jià)的目標(biāo)函數(shù)時(shí)，造價(jià)是由池外圈周壁，中間隔墻造價(jià)，池底造價(jià)三部分組成，造價(jià)均與墻壁長(zhǎng)度有關(guān)，應(yīng)設(shè)相關(guān)墻壁長(zhǎng)度為未知數(shù)。若設(shè)污水池長(zhǎng)為x米，則寬為（米）水池外圈周壁長(zhǎng)：（米）中間隔墻長(zhǎng)：（米）池底面積：200（米2）目標(biāo)函數(shù)： 五、同步練習(xí) （一）選擇題 1、設(shè)a，bR，且ab，a+b=2，則下列不等式成立的是（ ）A、 B、C、 D、3、若a，bR，且ab+bc+ca=1，則下列不等式成立的是（ ）A、a2+b2+c22 B、(a+b+c)23C、 D、a+b+c4、x>0，y>0，則下列不等式中等號(hào)不成立的是（ ）

12、A、2 B、4C、4 D、5、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（ ）A、（x0） B、（1<x<10）C、y=3x+3-x（xR） D、（0<x<）6、x，yR，x+y=5，則3x+3y最小值是（ ）A、10 B、 C、 D、7、已知x>1，y>1，lgx+lgy=4，則lgx·lgy的最大值是（ ）A、2 B、 C、 D、48、設(shè)a>0，b>0，ab，則下列各式中最小的是（ ）A、 B、 C、 D、9、函數(shù)，x（0，的最小值是（ ）A、2 B、 C、 D、不存在10、已知x>0，y>0，x+y4，則下列不等式成立的是（ ）A、

13、 B、1 C、2 D、1 （二）填空題11、若x<0，當(dāng)x=_時(shí)，的最小值是_。12、若x>0，當(dāng)x=_時(shí)，的最大值是_。13、0<x<時(shí)，當(dāng)x=_ 時(shí)，的最大值是_。14、若x>3，當(dāng)x=_時(shí)，最小值是_。15、若x（0，當(dāng)x=_時(shí)，有_值是_。 （三）解答題16、正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證：(1-a)(1-b)(1-c)8abc。17、已知a>0，b>0，ab-(a+b)=1，求a+b的最小值。18、若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值。19、已知a>b>c，nN+，且恒成立，求n的最大值。20、某房屋開(kāi)發(fā)公司用100萬(wàn)元

14、購(gòu)得一塊土地，該地可以建造每層1000m2的樓房，樓房的總建筑面積（即各層面積之和）每平方米平均建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整幢樓房每平方米建筑費(fèi)用提高5%。已知建筑5層樓房時(shí)，每平方米建筑費(fèi)用為400元，公司打算造一幢高于5層的樓房，為了使該樓房每平方和的平均綜合費(fèi)用最低（綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和），公司應(yīng)把樓層建成幾層？六、參考答案 （一）選擇題1、B。 ab，a>0，b>0，ab<，=1，>1。2、B。 由a>b>0得，。3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)=3(ab

15、+bc+ca)=3。4、A。 令t=，則t2，在2，+）上遞增，即，不能取到最小值2。5、C。 ，當(dāng)且僅當(dāng)，x=0時(shí)等號(hào)成立。6、D。 >0，>0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取得最小值。7、D。 x>y>1，lgx>0，lgy>0，lgx·lgy=，當(dāng)且僅當(dāng)lgx=lgy=2，x=y=100時(shí)等號(hào)成立。8、A。 比較分母a+b，大小即可。a+b>,。9、C。 令t=sinx，t（0，在（0，上遞減，即時(shí)，。10、B。 x>0，y>0時(shí)，。 （二）填空題11、 x<0，-x>0，y=4-2x-，當(dāng)且僅當(dāng)-2x=，x2=，x=（舍

16、正）時(shí)，等號(hào)成立。12、 x>0，當(dāng)且僅當(dāng)x=，x2=2，x=（舍負(fù)）時(shí)，等號(hào)成立。13、 0<x<，1-4x>0，y，當(dāng)且僅當(dāng)4x=1-4x，x=時(shí)等號(hào)成立。14、 4，5 x>3，x-3>0，+3+3=5，當(dāng)且僅當(dāng) (x-3)2=1，x=4，或x=2（舍）時(shí)等號(hào)成立。15、 （三）解答題16、證明： a+b+c=1 1-a=b+c，1-b=a+c，1-c=a=b a>0，b>0，c>0 b+c2>0 a+c2>0 a+b2>0將上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)8abc即 (1-a)(1-b)(1-c)8a

17、bc17、解： a>0，b>0 ab又 ab=a+b+1 a+b+1令 t=a+b t2-4t-40 t2(1+)，或t2(1-)（舍） ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1+時(shí)等號(hào)成立。評(píng)注：本題亦可用消元思想求解。由 ab-(a+b)=1得：+b a+b=1+b=(b-1)+ a>0，b>0 b>1 (b-1)+ a+b，當(dāng)且僅當(dāng)b=1+，a=1+時(shí)等號(hào)成立。18、解：設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，則條件為，目標(biāo)函數(shù)為S=，求S的最大值。令 ab=t則 a+b，a2+b22ab=2t， a+b+ S，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，取得最大值。19、解： a-c>0 a令 則 nyn(y)min a-c=(a-b)+(b-c) 4 ymin=4 n4又 nN+ nmax=420、解；設(shè)該樓建成n層，則整幢樓每平方米的建筑費(fèi)用為400+400(x-5)×5%（元）又每平方米購(gòu)地費(fèi)用為（元）故每平方米的平均綜合費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，x2=50，x7時(shí)，y最小 大樓應(yīng)建成7層綜合費(fèi)用最低。七、附錄例2的解： (x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=y(x+y)+z+xz x>0，y>0，z>0 y(x+y=z)>0，xz>0 y(x+