勾股定理的應(yīng)用實例解析

1、.第十一講 勾股定理與應(yīng)用時間：2005-9-9 16:11:00 來源：初中數(shù)學(xué)競賽 作者：佚名 在課內(nèi)我們學(xué)過了勾股定理及它的逆定理 勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2勾股定理逆定理 如果三角形三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的下面的證法1是歐幾里得證法證法1 如圖2-16所示在RtABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c2，a2，b2

2、下面證明，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和過C引CMBD，交AB于L，連接BG，CE因為AB=AE，AC=AG，CAE=BAG，所以ACEAGB(SAS)而所以 SAEML=b2 同理可證 SBLMD=a2 +得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2證法2 如圖2-17所示將RtABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB由作圖易知ADGGEHHFBABC，所以AG=GH=HB=AB=c，BAG=AGH=GHB=HBA=90

3、76;，因此，AGHB為邊長是c的正方形顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個全等的直角三角形(ABC，ADG，GEH，HFB)的面積和，即化簡得 a2+b2=c2證法3 如圖2-18在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EGCB延長線于G，自D作DKCB延長線于K，又作AF， DH分別垂直EG于F，H由作圖不難證明，下述各直角三角形均與RtABC全等：AFEEHDBKDACB設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面S=SABDE+2SABC， 另一方面S=SACGF+SHGKD+2SABC 由，所以 c2=a2+b2關(guān)于勾股定理，在我國古代還有很多

4、類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習(xí)題中展示其中一小部分，它們都以中國古代數(shù)學(xué)家的名字命名利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個更一般的結(jié)論定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍證 (1)設(shè)角C為銳角，如圖2-19所示作ADBC于D， 則CD就是AC在BC上的射影在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2， 在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2， 又BD2=(BC-CD)2， ，代入得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC

5、83;CD=AC2+BC2-2BC·CD，即c2=a2+b2-2a·CD (2)設(shè)角C為鈍角，如圖2-20所示過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2， 在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2， 又BD2=(BC+CD)2， 將，代入得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD，即c2=a2+b2+2a·cd 綜合，就是我們所需要的結(jié)論特別地，當(dāng)C=90°時，CD=0，上述結(jié)論正

6、是勾股定理的表述：c2=a2+b2因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)由廣勾股定理我們可以自然地推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系對于角的影響在ABC中，(1)若c2=a2+b2，則C=90°；(2)若c2a2+b2，則C90°；(3)若c2a2+b2，則C90°勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應(yīng)用例1 如圖2-21所示已知：在正方形ABCD中，BAC的平分線交BC于E，作EFAC于F，作FGAB于G求證：AB2=2FG2分析 注意到正方形的特性CAB=45°，所以

7、AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應(yīng)有AF=AB，這啟發(fā)我們?nèi)プC明ABEAFE證 因為AE是FAB的平分線，EFAF，又AE是AFE與ABE的公共邊，所以RtAFERtABE(AAS)，所以 AF=AB 在RtAGF中，因為FAG=45°，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2 由，得AB2=2FG2說明 事實上，在審題中，條件“AE平分BAC”及“EFAC于F”應(yīng)使我們意識到兩個直角三角形AFE與ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個直角三角形中，可以利用勾股定理進(jìn)行證明了例2 如圖2-22所示AM是ABC的BC邊上的中線

8、，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)證 過A引ADBC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi))由廣勾股定理，在ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD 在ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD +，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2) 如果設(shè)ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應(yīng)邊上的中線長分別為ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長的公式推論 ABC的中線長公式：說明 三角形的中線將三角形分為兩個三角形，其中一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形(除等腰三角形外)利用廣勾股定理恰好消去相反項，獲得中線公式，中的ma，mb，

9、mc分別表示a，b，c邊上的中線長例3 如圖2-23所示求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍分析 如圖2-23所示對角線中點連線PQ，可看作BDQ的中線，利用例2的結(jié)論，不難證明本題證 設(shè)四邊形ABCD對角線AC，BD中點分別是Q，P由例2，在BDQ中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2 在ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以在ACD中，QD是AC邊上的中線，所以將，代入得=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2說明 本題是例2的應(yīng)用善于將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，是人們解決問題的一種基本方法，即化未知為已知

10、的方法下面，我們再看兩個例題，說明這種轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用例4 如圖2-24所示已知ABC中，C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點求證：AD2+BE2=AB2+DE2分析 求證中所述的4條線段分別是4個直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手證 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍如圖2-25所示設(shè)直角三角形ABC中，C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線求證：4(AM2+BN2)=5AB2分析 由于

11、AM，BN，AB均可看作某個直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況即M，N分別是所在邊的中點，那么可直接利用例4的結(jié)論，使證明過程十分簡潔證 連接MN，利用例4的結(jié)論，我們有AM2+BN2=AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2 由于M，N是BC，AC的中點，所以所以 4MN2=AB2 由，4(AM2+BN2)=5AB2說明 在證明中，線段MN稱為ABC的中位線，以后會知道中位線的基本性質(zhì)：“MNAB且MN=圖2-26所示MN是ABC的一條中位線，設(shè)ABC的面積為S由于M，N分別是所在邊的中點，所以SACM=SBCN，兩邊減去公共部分CMN后得SAMN=SBMN，從而AB必與MN平行又SABM=高相同，而SABM=2SBMN，所以AB=2MN練習(xí)十一1用下面各圖驗證勾股定理(虛線代表輔助線)：(1)趙君卿圖(圖2-27)；(2)項名達(dá)圖(2-28)；(3)楊作枚圖(圖2-29)2已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內(nèi)的任意一點，求證：PA2+PC2=PB2+PD2(提示：應(yīng)分三種情形加以討論，P在矩形內(nèi)、P在矩形上、P在矩形外，均有這個結(jié)論)3由ABC內(nèi)