2020屆江蘇省蘇州市高三數(shù)學(xué)過關(guān)題4數(shù)列1(教師版)

1、2020屆蘇州市高三數(shù)學(xué)過關(guān)題 4 數(shù)列(1)數(shù)列在高考填空題中通常以中檔題為主，主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式 的應(yīng)用以及等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)；解答題往往放在最后兩題的位置，通常從數(shù)列的基本性 質(zhì)入手，進(jìn)一步研究數(shù)列的通項(xiàng)與求和數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考命題的好素材， 是考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想、以及配對(duì)法、換元法、待定系數(shù)等基本 數(shù)學(xué)方法的有效載體，在高三數(shù)列復(fù)習(xí)中應(yīng)適當(dāng)關(guān)注.一、填空題1. (必修5 P44練習(xí)5改編)Sn為等差數(shù)列 an的前.項(xiàng)和.若a3 a5 a7 24 ,則Sg=答案72 .2. 在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a7

2、25 ,則 a2a8=.答案10 .3. 已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a a4 9 , a2a3 8 ,則a. =.答案an 2n1 .4. 已知等比數(shù)列an的公比為q ,若a5a115,a4a?6 ,則q .1 答案2或.25. (2019 南京、鹽城一模)已知等比數(shù)列 an為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn ,若a2 2 ,S3 7 ,則a5的值為.答案16 .6. 在等差數(shù)列 an中，已知S324, S1632 ,則氐 .答案24 .7. 若數(shù)列an前n項(xiàng)的和為Sn2n12 ,則數(shù)列和 的前n項(xiàng)的和Tn=.4答案(4n 1).38. 公差不為零的等差數(shù)列an中，若a1, a2, a5成

3、等比數(shù)列，則其公比為 .答案3 .9. 等比數(shù)列an共有奇數(shù)項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇 255 ,所有偶數(shù)項(xiàng)和 S偶126 ,末項(xiàng)是192,10.11.12.則首項(xiàng)a1答案3 .解析設(shè)等比數(shù)列 an共有因?yàn)镾奇=印a3 L故 255=-126 192 ,q2a1a2k 1q1 q2設(shè)等差數(shù)列 ana3a2k 1解之得b5b7答案19412k + 1(k N)項(xiàng),a2k 1= ( a2a4q255 ,可解得a13.,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,的值為解析由數(shù)列an ,b5b7b8b42b611asSnbn為等差數(shù)列得,2b62b62 11311 31941Sn是數(shù)列則 a2k 1 = 192,L a2k

4、)a2k 1=S偶 +a2k 1qTn ,若對(duì)任意自然數(shù)都n有-SnTn2a6a2b6b6 ；,故a90319b5 b7 bfe b4 411 ,an 1SnSn 1 ,則 Snan的前n項(xiàng)和,且a1解析由已知得an1 Sn I故數(shù)列已知常數(shù)SnSnSn 1 Sn ,兩邊同時(shí)除以Sn 11Sn ,得 SSI 1是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.(n 1) n . SnO,數(shù)列an與2an均為等比數(shù)列，且a104 ,則 a1也，則4n 3答案4 .解析數(shù)列an與2an均為等比數(shù)列,2 (2an)(2ani)(2an 1)且 an2an ian 1 ,得2an an 1 an 1 ,數(shù)列an也為等

5、差數(shù)列，數(shù)列an為非零常數(shù)列,則印 Bo 4 .13. 已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，其公比為-,若1 a1v a2v L V an 1000,則2n的最大值為.答案7 .33333解析由題知1 a1v a1- V a1( - )2 VLV a1(-)n 11000 ,其中a1,a1- ,a1( )2,L,2 22223a1 ( )n 1均為正整數(shù)，所以a1為2n 1的倍數(shù)，故當(dāng)a1 2n 1時(shí)，令3n-11000 ,得n7.214. (2019 蘇州期中)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 N 5n 1 ,數(shù)列b的通項(xiàng)公式為bn n2 ,若將數(shù)列an , b1中相同的項(xiàng)按從小到大的順序排列后

6、看作數(shù)列Cn ,則C6的值為解析設(shè)am bk ,則有5m 1 k2 ,即m (k 1)( k 1 ,因?yàn)閙是正整數(shù)，所以k 1或k 15是5的整數(shù)倍，設(shè)k 1 5t或k 1 5t即k 5t 1或k 5t 1 , 所以 k 4,6,9,11,14,16,19,21L ,所以 c6162256.二、解答題15.在公差為d的等差數(shù)列 an中，已知a1 10,且a1, 2a2 2, 5a3成等比數(shù)列.(1) 求 d, an ;(2) 若 d 0 ,求 Iajla21 I a31 Ianl .解析(1)由 a1,2a2 2,5a3成等比數(shù)列得 5a3 a1 (2a2 2)2 ,即 d2 3d 4 0,故

7、 d= 1 或 d=4 ,所以 an= n 11 或 an= 4n 6 .(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,因?yàn)?d 0,由(1)得 d=1, an= n 11 ,貝U121當(dāng) n 11 時(shí)，|內(nèi)| |a2| |a3| a. | Sn=- n2n ,22當(dāng) n 12時(shí)，IaIl |a2| 閏an 2S Sn=In221n 1102 21 2 21V.-nn,n 11綜上所述，a1 a21 |a3|Ianl2 21 221n n 110, n 122 216. (2018 全國高考I卷文科)已知數(shù)列 an滿足a1 1 , na. 1 2n 1 an ,設(shè)bn n . n(1) 求 b1, b2

8、, b3;(2) 判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3) 求an的通項(xiàng)公式.解析(1)由 nan 1 2n 1)可可得 an 1 =2(an .n將n 1代入得，a2 4a1 ,而a1 1 ,所以a2 4 .將n 2代入得，a3 3a2 ,所以，a3 12 .又由于 bn an ,從而 b1 1, b2 2, b3 4 .n(2) bn是首項(xiàng)為1 ,公比為2的等比數(shù)列證明如下：由 an 1=2an 可得：空 呂，即 bn1 2bn ,nn 1 n又 b110,故bn0,nN*,所以bLI2,nN*bn所以bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.(3) 由(2)可得 bn 色 2n 1 ,所

9、以 an n 2n 1.17.(2019 全國II 理科)已知數(shù)列nan和bn滿足a11 ,b10,4a.+13a.bn4,4bn+1 3bn an 4.(1)證明：an bn是等比數(shù)列，an bn是等差數(shù)列;(2)求an和bn的通項(xiàng)公式.18.1解析(1 )由題意得 4an+l+bnl) 2an+bn)，即 an+1 +bn 1(an+bn),21又因?yàn)閍1 b11,所以an bn是首項(xiàng)為1 ,公比為的等比數(shù)列.又因?yàn)閍1b1,所以anbn是首項(xiàng)為1 ,公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)可知an bn12n1,anbn2n 1 ,所以an1歹1n 7 bn12n1n .2由題意得 4 an+1

10、bn1)4 anbn)+8，即a.+1bn1a.bn+2，已知等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為AI，a3 5，A 36 數(shù)列 b的前n項(xiàng)和為Bn 2bn 1 (1 )求數(shù)列 an和bn的通項(xiàng)公式；,且(2)設(shè)Cnan bn ,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Sn .解析(1)設(shè)an的公差為d ,由a3 5 , Aa1 2d 536 ,得 6a115d36a11所以，所以an 2n 1 .d 2由Bn 2bn 1可知，當(dāng)n 1時(shí)，b1 ；當(dāng) n2 時(shí)，Bn-12bn-11 ,所以BnBn1202bn 1 ,從而bn2bn1(n2),又b11 ,所以乩2； n2),所以bn 1bn是等比數(shù)列，所以bn2n1221)

11、 2n1,(2)因?yàn)?Cn an bn ,所以 Cn (2nSnC1C2 L0 1Cn 1 23 222 L (2n 3) 2n 2(2nn-11) 2 ,2Sn1 213 225 23 L (2n3) 2n 1 (2n 1) 2n,所以Sn1 20n 1n 丄2 2(2n 1) 212n2 (2n 1) 2n ,所以 Sn (2n 3) 2n 3.19.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SI ,已知a1I2Sn12an 1n n2 * (n N ),n33(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù) n ,有1丄丄L1 7aa2a3an4解析(1)依題意，2S a21 1=a2

12、 2 ,又 S= a1 = 1,故 a24 ,33(2)當(dāng)n 2時(shí)，由2 Snan1 21n n2(nN*)得n332Sn1322n*N)nan1 3nn邙n所以2Sn-1(n 1)an1(n1)3(n 1)22(n1)( n 2,n N*)33兩式相減，得 2an nan I (n 1) an(3n2 3n 1) (2n 1)-3 3整理得：(n 1) an nan I n( n 1)兩邊同除以n(n 1)得：旦旦n 1(n 2,n N*).n 1 n1 ,故數(shù)列n是首項(xiàng)為1 ,公差為n的等差數(shù)列,所以an 1n(n 1) 1n ,所以an(3)證明:當(dāng)n= 1時(shí),1當(dāng)n= 2時(shí),a2當(dāng)n

13、3時(shí),因?yàn)?an(n 1) n所以-a?an1 1 1 11 (11)(丄42331)(n綜上，對(duì)一切正整數(shù) n,有 丄 丄a a2a3 Lan20.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,且SnAan2Ban(1)若數(shù)列an為等差數(shù)列，且滿足a23,S525 ,求實(shí)數(shù)A, B, C的值;(2)若 AO,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.若數(shù)列滿足Cn1 ,試問：數(shù)列 Gn中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在,an求出所有滿足條件的項(xiàng);若不存在，請(qǐng)說明理由.an 2n.12n ,1所以 Gn+1-Gn (2n1 盯1 1 22n)(2n 2L)=( 2n 1 2L)、21 1CL )2n 1 0 ,所以數(shù)列Gn是遞增

14、數(shù)列,假設(shè)數(shù)列Gn中存在Gm, Gn, GP成等差數(shù)列,不妨設(shè)m n P ,則GmGnGP ,解析：(1)因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，且a23, S525,所以a1 d3 , 5a110d25 ,解得a11, d2,所以an 2n1,Sn2 n(an1)2=1an21 a1n2424所以A 1,B 1,C1424(2)因?yàn)锳 0,B2,C 2 ,所以Sn2 an當(dāng)n1時(shí)，；SIa12a12,所以a12.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1 (2an-2)-( 2an1-2)=2an2.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2 ,公比為2的等比數(shù)列，所以2an 1 ,所以 an 2an 1 ,1因?yàn)镚nan 一 2nan故 2

15、GnGmG P ,所以2( 2n -兩邊同時(shí)乘以又m n P所以數(shù)列 Cn中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列n)=(2m 2-)+(2p -IP)，: 2 22門得 2?n +1 + 22m nmnP所以2n-p為分?jǐn)?shù)，故上式左側(cè)為整數(shù)，右側(cè)為分?jǐn)?shù)，不成立,三、課本改編題(必修5 p57復(fù)習(xí)題5 (3)在等差數(shù)列an中，已知印1,d2,Sn2Sn24 ,求n .【改編題 1】在等差數(shù)列 an中，已知a 1 , S7 S5 24 ,求d . 解析因?yàn)?S7 S5 24 ，所以 a7 a6 2a1 11d 24，又因?yàn)?a1 1，所以 d 2. 說明 在等差數(shù)列問題中“和”與“項(xiàng)”的關(guān)系、向基本量轉(zhuǎn)化應(yīng)熟練掌

16、握.【改編題 2】若數(shù)列 an中,a12, a25, Sn 2Sn6n 7 ,求證：數(shù)列an 是等差數(shù)列 解析 因?yàn)?Sn 2 Sn 6n7所以當(dāng) n 2時(shí),Sn 1Sn 16(n1)7 6n1由 - 得：(Sn2Sn 1) (Sn -Sn 1)6(n 2)即 an 2ann2n6(n 2, n N*) .又由 S3 S1a2a3 6 1 7=13 ,a25 可得 a38 ,所以 a3 a1 8- 2=6 .故 an 2 an6對(duì) n N* 恒成立.所以 a2n+2a2n6 , a2n+1a2n- 16數(shù)列 a2n 1, a2n 都成公差為 6 的等差數(shù)列.所以 a2n1a16(n 1)=6n 4=3(2n1) 1 a