高二數(shù)學教案212《演繹推理》(新人教A版選修12)

1、2.1.2 演繹推理( 教師用書獨具) 三維目標1知識與技能(1) 讓學生知道演繹推理的含義，以及演繹推理與合情推理的聯(lián)系與差異(2) 能運用演繹推理的基本方法“三段論”進行一些簡單的推理2過程與方法(1) 結合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，引出演繹推理的概念(2) 通過對實際例子的分析，從中概括出演繹推理的推理過程(3) 通過一些證明題的實例，讓學生體會“三段論”的推理形式3情感、態(tài)度與價值觀讓學生體會演繹推理的邏輯推理美，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學研究的過程，感受數(shù)學的魅力，進而激發(fā)自身的求知欲了解演繹推理在數(shù)學證明中的重要地位和日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的思維習慣重點難點重點：了

2、解演繹推理的含義，理解合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系，能利用“三段論”進行簡單的推理難點：利用三段論證明一些實際問題通過比較合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系，加深學生對概念的理解，在演繹推理的應用中要注意大前提、小前提的應用方法與技巧，注意推理形式的正確性可將常見的證明題型分類研究，探究每種題型的特點，總結證明方法的特征，學以致用使所證問題化難為易( 教師用書獨具) 教學建議建議本課運用自學指導法，通過創(chuàng)設問題情境，引導學生自學探究演繹推理與合情推理的區(qū)別與聯(lián)系，了解演繹推理的作用和應用方式方法教師指導重點應放在“三段論”的理解與應用上，師生共同研討大前提、小前提、結論之間的關系，幫助學生分析大

3、前提、小前提的作用及應用方法，引導學生挖掘證明過程包含的推理思路，明確演繹推理的基本過程，總結規(guī)律方法，使學生能舉一反三、觸類旁通本部分的練習題不在“多”，而在“精”，關鍵在理解教學流程創(chuàng)設問題情境，引出問題，引導學生認識演繹推理的概念，了解演繹推理與合情推理的區(qū)別與聯(lián)系利用填一填的形式，使學生自主學習本節(jié)基礎知識，并反饋了解，對理解有困難的概念加以講解引導學生在學習基礎知識的基礎上完成例題1， 總結三段論的特點 通過變式訓練，總結此類問題易犯的錯誤師生共同分析探究例題2 的證明方法：找出大前提、小前提，利用三段論給出證明引導學生完成互動探究完成當堂雙基達標，鞏固所學知識及應用方法并進行反饋矯

4、正歸納整理，進行課堂小結，整體認識本節(jié)所學知識，強調(diào)重點內(nèi)容和規(guī)律方法學生自主完成例題3 變式訓練，老師抽查完成情況，對出現(xiàn)問題及時指導讓學生自主分析例題3，老師適當點撥解題思路，學生分組討論給出解法老師組織解法展示引導學生總結解題規(guī)律課標解讀1. 理解演繹推理的意義( 重點 ) 2. 掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理( 難點 ) 3. 了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系. 演繹推理【問題導思】看下面兩個問題：(1) 一切奇數(shù)都不能被2 整除， (22 0121) 是奇數(shù)，所以(22 0121) 不能被 2 整除；(2) 兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意直線必平行于

5、另一個平面，如果直線a是其中一個平面內(nèi)的一條直線，那么a平行于另一個平面1這兩個問題中的第一句都說的是什么？【提示】都說的是一般原理2第二句又說的是什么？【提示】都說的是特殊示例3第三句呢？【提示】由一般原理對特殊示例作出判斷1演繹推理(1) 含義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論的推理(2) 特點：由一般到特殊的推理2三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理m是p小前提所研究的特殊情況s是m結論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷s是p把演繹推理寫成三段論形式將下列推理寫成“三段論”的形式：(1) 向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2) 矩形的對角線相等，正方

6、形是矩形，所以正方形的對角線相等；(3)0.332是有理數(shù)；(4)ysin x(xr) 是周期函數(shù)【思路探究】首先分析出每個題的大前提、小前提及結論，再寫成三段論的形式【自主解答】(1) 向量是既有大小又有方向的量，大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向結論(2) 每一個矩形的對角線都相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的對角線相等結論(3) 所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，大前提0332是循環(huán)小數(shù)，小前提0332是有理數(shù)結論(4) 三角函數(shù)是周期函數(shù)，大前提ysin x是三角函數(shù)，小前提ysin x是周期函數(shù)結論用三段論寫推理過程時，關鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個一

7、般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結合起來，揭示一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系有時可省略小前提，有時甚至也可大前提與小前提都省略在尋找大前提時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提指出下列推理中的錯誤，并分析產(chǎn)生錯誤的原因：(1) 整數(shù)是自然數(shù)，大前提3 是整數(shù)，小前提3 是自然數(shù)結論(2) 常數(shù)函數(shù)的導函數(shù)為0，大前提函數(shù)f(x) 的導函數(shù)為0，小前提f(x) 為常數(shù)函數(shù)結論(3) 無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，大前提13(0.333 33 ) 是無限不循環(huán)小數(shù)，小前提13是無理數(shù)結論【解】(1) 結論是錯誤的，原因是大前提錯誤自然數(shù)是非負整數(shù)(2) 結論是錯誤的，原因是推理形式錯誤大

8、前提指出的一般原理中結論為“導函數(shù)為0”，因此演繹推理的結論也應為“導函數(shù)為0”(3) 結論是錯誤的， 原因是小前提錯誤.13(0.333 33) 是循環(huán)小數(shù)而不是無限不循環(huán)小數(shù). 三段論在證明幾何問題中的應用圖 2 14 已知在梯形abcd中( 如圖 214) ，dcda，adbc. 求證：ac平分bcd.( 用三段論證明 ) 【思路探究】觀察圖形dcda? 12adbc? 13 2 3 【自主解答】等腰三角形兩底角相等，大前提adc是等腰三角形，1 和 2 是兩個底角，小前提 1 2. 結論兩條平行線被第三條直線截得的內(nèi)錯角相等，大前提1 和 3 是平行線ad、bc被ac截得的內(nèi)錯角，小前

9、提 1 3. 結論等于同一個角的兩個角相等，大前提2 1， 3 1，小前提 2 3，即ac平分bcd. 結論1三段論推理的根據(jù)，從集合的觀點來理解，就是：若集合m的所有元素都具有性質(zhì)p，s是m的子集，那么s中所有元素都具有性質(zhì)p. 2數(shù)學問題的解決和證明都蘊含著演繹推理，即一連串的三段論，關鍵是找到每一步推理的依據(jù)大前提、小前提，注意前一個推理的結論可作為下一個三段論的前提試用更簡潔的語言書寫本例的證明過程【解】在dac中，dadc， 1 2，又adbc， 1 3， 2 3，即ac平分bcd. 合情推理、演繹推理的綜合應用圖 2 15 如圖 215 所示，三棱錐abcd的三條側棱ab，ac，a

10、d兩兩互相垂直，o為點a在底面bcd上的射影(1) 求證：o為bcd的垂心；(2) 類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側面與底面間的一個關系，并給出證明【思路探究】(1) 利用線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化證明o為bcd的垂心(2) 先利用類比推理猜想出一個結論，再用演繹推理給出證明【自主解答】(1) abad，acad，ad平面abc，adbc，又ao平面bcd，aobc，且adaoa，bc平面aod，bcdo，同理可證cdbo，o為bcd的垂心(2) 猜想：s2abcs2acds2abds2bcd. 證明：連接do并延長交bc于e，連接ae，由(1) 知ad平面abc，ae? 平面abc，ad

11、ae，又aoed，ae2eoed，(12bcae)2(12bceo) (12bced) ，即s2abcsbocsbcd. 同理可證：s2acdscodsbcd，s2abdsbodsbcd. s2abcs2acds2abds bcd(s bocscodsbod) s bcdsbcds2bcd. 合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結論不一定正確但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結論一定正確( 前提和推理形式都正確的前提下) 二者結合可以利用合情推理去發(fā)現(xiàn)問題，然后用演繹推理進行論證已知命題：“若數(shù)列an是等比數(shù)列，且an0，則數(shù)列bnna1

12、a2an(nn*) 也是等比數(shù)列”類比這一性質(zhì)，你能得到關于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結論【解】類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列 an是等差數(shù)列，則數(shù)列bna1a2ann也是等差數(shù)列證明如下：設等差數(shù)列 an 的公差為d，則bna1a2annna1nnd2na1d2(n 1) ，所以數(shù)列 bn 是以a1為首項，d2為公差的等差數(shù)列數(shù)形結合思想在演繹推理中的應用數(shù)形結合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機結合應用數(shù)形結合思想，就是充分考查

13、數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決若函數(shù)f(x) log2(x1) ，且cba0，則faa、fbb、fcc的大小關系是( ) a.faafbbfccb.fccfbbfaac.fbbfaafccdfaafccfbb【思路點撥】作出函數(shù)f(x) log2(x 1) 的圖象 找三點 (a，f(a) ，(b，f(b) ，(c，f(c) 結論的幾何意義結論【規(guī)范解答】作出函數(shù)f(x) log2(x 1)的圖象如圖所示，faa、fbb、fcc可看作三點與原點的連線的斜率由圖知a項正確【答案】a 運用數(shù)形結合思想

14、，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征本題巧妙地應用了直線的斜率的幾何意義，平凡中見神奇！1演繹推理是從一般性原理出發(fā)，推出某個特殊情況的推理方法；只要前提和推理形式正確，通過演繹推理得到的結論一定正確2在數(shù)學中，證明命題的正確性都要使用演繹推理，推理的一般模式是三段論，證題過程中常省略三段論的大前提1 正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x) sin(x21)是正弦函數(shù)， 因此f(x) sin(x21) 是奇函數(shù)以上推理 ( ) a結論正確b大前提不正確c小前提不正確d全不正確【解析】函數(shù)f(x) sin(x21) 不是正弦函數(shù)，故小前提不正確，故選c. 【答案】c 2三段論“只有船準時

15、起航，才能準時到達目的港，這艘船是準時到達目的港的，這艘船是準時起航的”中的小前提是( ) ab c d【解析】本題中為大前提，為小前提，為結論【答案】d 3“一切奇數(shù)都不能被2 整除， 35 不能被 2 整除，所以35 是奇數(shù)”把此演繹推理寫成三段論的形式為：大前提：_ 小前提：_ 結論：_ 【解析】根據(jù)題意可知，此三段論的大前提、小前提和結論分別為：不能被2 整除的整數(shù)是奇數(shù)；35 不能被 2 整除； 35 是奇數(shù)【答案】不能被 2 整除的整數(shù)是奇數(shù)35 不能被 2 整除35 是奇數(shù)4用三段論的形式寫出下列命題：(1)rt abc的內(nèi)角和為180；(2) 通項公式an2n3 的數(shù)列 an是

16、等差數(shù)列【解】(1) 三角形的內(nèi)角和是180，大前提rtabc是三角形，小前提rtabc的內(nèi)角和為180. 結論(2) 若n2時，anan1為常數(shù)，則an是等差數(shù)列，大前提an3n2，anan 13，小前提則an是等差數(shù)列結論一、選擇題1已知abc中，a30，b60，求證ab. 證明：a30，b60，ab，ab，畫線部分是演繹推理的( ) a大前提b小前提c結論d三段論【解析】結合三段論的特征可知，該證明過程省略了大前提“在同一個三角形中大角對大邊”，因此畫線部分是演繹推理的小前提【答案】b 2(2013三亞高二檢測 ) “指數(shù)函數(shù)yax(a0 且a1)是 r 上的增函數(shù)，而y(12)x是指數(shù)

17、函數(shù)， 所以y(12)x是 r上的增函數(shù)”， 上述三段論推理過程中導致結論錯誤的是( ) a大前提b小前提c大、小前提d推理形式【解析】指數(shù)函數(shù)yax在a 1 時在 r上是增函數(shù)，當0a 1時，在 r上是減函數(shù)，故上述三段論的證明中“大前提”出錯【答案】a 3在不等邊三角形中，a為最大邊要想得到a為鈍角的結論，三邊a，b，c應滿足的條件是 ( ) aa2b2c2da2b2c2【解析】 cos ab2c2a22bc0，b2c2a2b2c2. 【答案】c 4下面幾種推理過程是演繹推理的是( ) a兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，因為a和b是兩條平行直線被第三條直線所截所得的同旁內(nèi)角，所以ab180b我

18、國地質(zhì)學家李四光發(fā)現(xiàn)中國松遼地區(qū)和中亞細亞的地質(zhì)結構類似，而中亞細亞有豐富的石油，由此，他推斷松遼平原也蘊藏著豐富的石油c由 633,8 35,10 37,12 57,14 77，得出結論：一個偶數(shù)( 大于4) 可以寫成兩個素數(shù)的和d在數(shù)列 an中，a1 1，an12(an11an1)(n2)，由此歸納出an 的通項公式【解析】b、c、d選項是合情推理，a選項是演繹推理【答案】a 5 “四邊形abcd是矩形，四邊形abcd的對角線相等 ”以上推理的大前提是( ) a正方形都是對角線相等的四邊形b矩形都是對角線相等的四邊形c等腰梯形都是對角線相等的四邊形d矩形都是對邊平行且相等的四邊形【解析】大

19、前提為矩形都是對角線相等的四邊形【答案】b 二、填空題6 在求函數(shù)ylog2x 2的定義域時， 第一步推理中大前提是“當a有意義時，a0”；小前提是“l(fā)og2x2有意義”；結論是_ 【解析】由 log2x20 得x4.【答案】“ylog2x2的定義域是 4 ， ) ”7已知推理：因為abc的三邊長依次為3,4,5 ，所以abc是直角三角形若將其恢復成完整的三段論，則大前提是_ 【解析】大前提：一條邊的平方等于其他兩條邊平方和的三角形是直角三角形；小前提：abc的三邊長依次為3,4,5 ，滿足 324252；結論：abc是直角三角形【答案】一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形圖

20、 2 16 8如圖 216 所示，因為四邊形abcd是平行四邊形，所以abcd，bcad. 又因為abc和cda的三邊對應相等，所以abccda. 上述推理的兩個步驟中應用的推理形式是_【答案】演繹推理三、解答題9把下列演繹推理寫成三段論的形式(1) 在一個標準大氣壓下， 水的沸點是100 ， 所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100 時，水會沸騰；(2) 一切奇數(shù)都不能被2 整除， (21001) 是奇數(shù)，所以(21001) 不能被 2 整除；(3) 三角函數(shù)都是周期函數(shù)，ytan 是三角函數(shù)，因此ytan 是周期函數(shù)【解】(1) 在一個標準大氣壓下，水的沸點是100 ，大前提在一個標準大氣壓

21、下把水加熱到100 ，小前提水會沸騰結論(2) 一切奇數(shù)都不能被2 整除，大前提(21001)是奇數(shù)，小前提(21001)不能被 2 整除結論(3) 三角函數(shù)都是周期函數(shù)，大前提ytan 是三角函數(shù)，小前提ytan 是周期函數(shù)結論10如圖21 7，d，e，f分別是bc，ca，ab上的點，bfda，deba，求證：edaf，寫出三段論形式的演繹推理圖 217 【證明】因為同位角相等，兩條直線平行，大前提bfd與a是同位角，且bfda，小前提所以fdae. 結論因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提deba，且fdae，小前提所以四邊形afde為平行四邊形結論因為平行四邊形的對邊相等，大前提ed和af為平行四邊形afde的對邊，小前提所以edaf. 結論11已知函數(shù)f(x) axbx，其中a0，b0，x(0 ， ) ，確定f(x) 的單調(diào)區(qū)間，并證明在每個單調(diào)區(qū)間上的增減性【解】設 0 x1x2，則f(x1) f(x2) (ax1bx1) (ax2bx2) (x2x1)(ax1x2b) 當 0 x10,0 x1x2b，f(x1) f(x2)0，即f(x1)f(x2)