對(duì)幾個(gè)不等式問(wèn)題進(jìn)行推廣

1、對(duì)幾個(gè)不等式問(wèn)題進(jìn)行推廣i陽(yáng)凌云，劉伶(湖南工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，湖南 株洲412007)摘 要：應(yīng)用一個(gè)分式型雙向不等式定理,探討了國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽和不同書刊屮提及的有關(guān)不 等式的證明，并對(duì)其進(jìn)行了適當(dāng)推廣.關(guān)鍵詞：雙向不等式；應(yīng)用；推廣1引言陽(yáng)凌云教授提出并證明21 了如下一般形式的分式型雙向不等式定理： 對(duì)任意，>0, i = l,2，:n,貝!)當(dāng)0 wa w0 + 1w1 時(shí)，有當(dāng) 0 + 1wqw 0或 1w0 + 1wg 或 qwo、02 0 時(shí)，有(n 屮n 右如 34-(2)(n 、0 /=!7當(dāng)a = fi=0或q = o、0二一 1 或a=、p = 0時(shí)，、(2

2、)式均取；當(dāng)qho、0ho,且0二。一 1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a嚴(yán) g (k>0 ),仃)、式均取“二”； 當(dāng)q h0、0h0,且0ha-1 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a =a2 = = %,勺=e 二=仇， 、(2)式均取“二”.本文旨在利用、式潛在的應(yīng)用功能，探討國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽和不同書刊中提及的有關(guān) 不等式的證明，并對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)推廣.2 (1)、(2)式的應(yīng)用為揭示(1)、(2)式的豐富內(nèi)涵，充分挖掘其潛在的應(yīng)用功能，我們將対(1)、(2)式的變 元，0作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，同時(shí)對(duì)其指數(shù)億0作適當(dāng)?shù)淖冃?，以提高解題技巧，拓寬命題范圍.例 1 若pi r+ (i = l,2,/),求證< “2“e卩內(nèi)wz工 p

3、ij /=丿/=|/=|作者簡(jiǎn)介：陽(yáng)凌云(1947j,男，湖南湘潭人，湖南工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系教授，主要從事函數(shù)論 與數(shù)學(xué)教育理論的教學(xué)與研究；劉伶(1985-),女，湖南湘鄉(xiāng)人，湖南工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專業(yè) 2003級(jí)學(xué)生.現(xiàn)將此問(wèn)題推廣成如下命題命題 1 若 p（ ,xt g r+ （i = 1,2, ,/?）, m 2 或加wo,求證（n、川n“k /=!丿i=i=1當(dāng)m = 2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)州二七= = £時(shí)，（3）式取"二”；當(dāng)m>2或加w0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x = x2 = = %, p = #2 =p”時(shí)，式取"= 證明 由條件 pi ,x

4、z e r+, m2 2 或加 wo （即 1 w0 + 1 wa 或awo、0mo）, 應(yīng)用（2 ）式，則有工pg/=1/=! pinza1=1 z pixi /=! )mw嚴(yán)££(曠呼)/=1 /=|根據(jù)（2）式等號(hào)成立的條件，易知：當(dāng)m = 2時(shí)（即0 = a-1情形）,當(dāng)且僅當(dāng)旺=勺= = £時(shí)，（3）式取“二”；當(dāng) m > 2或加 w 0 時(shí)（即 0 h a -1 情形）,當(dāng)且僅當(dāng) x, =x2 = - =, px = p2 = -= pn時(shí)，（3）式取“二”.例2 （第36屆國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的推廣）設(shè)a,b,cw rj且cibc = 1,

5、/7 n,求證111、311> d如 0 + c) 0+1 (c + q) c2*(d + b) 2*現(xiàn)將此問(wèn)題推廣成如下命題命題 2 設(shè) a,b,cw r* ,且 abc = l, 0 且 a m 20 + 1,求證111、3a“(b + c)“0“(c + * c“(a + /?)02“當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c=時(shí)，（4）式取“ = ” 證明 由條件，應(yīng)用（2 ）式，則有 1aa(b + cy+ ha(c + ay+ ca(ahy$ 30-(0屮(be + m2(bc + ca + ab)"仇)心(c嚴(yán)伽)心q00 + c)" b"(c +a)&quo

6、t; c"(a + b)"?20-a+lq20-a+l根據(jù)（2）式等號(hào)成立的條件，當(dāng)0w（o 0）-1即a$20 +1時(shí)，容易推出: 當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c = l時(shí)，（4）式取“ =2例3 （數(shù)學(xué)通報(bào)1990年8月號(hào)問(wèn)題668）151設(shè)“雄 rj 0<x,y,z<-,且a /lix a /uy a /z 3a /現(xiàn)將此問(wèn)題推廣成如下命題命題3設(shè)ovm，?！?v彳va,且工石=a，則;=|當(dāng)owqw0 + 1w1且卩21,卩0 0時(shí)，有u-xr+fxr.na+l.aaw :(5)當(dāng) 1 w0 + 1wq+0 或 q+0wo、0$0且1時(shí)，有+ +,町八屮7(

7、6)當(dāng) a=0. 0 = 且卩二 1, /= 0時(shí),（5）式取“二”;當(dāng)。=0、0 = 1且/>1,/< 0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)坷=x2 = = xn=-時(shí)，（5）式取“二”; n當(dāng)a = 、（3 = 0或。=0二0時(shí)，（5）、（6）式均取“二”；當(dāng)a ho、0ho時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x）=x2 = =兀“=仝時(shí),（5）、（6）式均取n證明 1、先證（5）式當(dāng)0 wqw0 + 1 w 1且卩三1 , / w 0時(shí)，應(yīng)用（1 ）式，貝i有nm.aa必-工瓊k /=1（只須注意：其屮*2/=1ra '=*r 與 0wo).nr2、次證（6）式當(dāng)1 w0 + 1 wa+0或a+0wo、020且卩

8、3 0,1時(shí)，應(yīng)用（2 ）式，則有(n(n、2-a< /=!7i /=!丿(n 、°+0三'-3+0)+1' 口 丿尸嚴(yán)0、卩（只須注意其中/=!(n i日 丿n7n7與 0$0).根據(jù)（1 ）、（2）式等號(hào)成立的條件，不難知道: 當(dāng) a二（）、0二_1 且卩二 1 ,卩二（）時(shí)，（5）式取“二”；當(dāng) a=0、0二一1 且/>1 ,卩<0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)%）=x. = . = x/?=-時(shí)，（5）式取“二”; n當(dāng)a=、/3=0或a=p=0時(shí),（5）、（6）式均取“二”；當(dāng)a ho、0工0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)西=x2 =£=纟時(shí),（5）、（6）式均取-

9、n參考文獻(xiàn)：11陽(yáng)凌云等著.數(shù)學(xué)素質(zhì)教育導(dǎo)論m.湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2005年，第227頁(yè).12陽(yáng)凌云.兩個(gè)分式型不等式的拓廣與深化j.株洲工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004, （2）,第4143頁(yè).3黃生順.利用判別式解決一類不等式問(wèn)題j.數(shù)學(xué)通報(bào)，1998, （7）,第14頁(yè).14蔣昌林.也談一類分式不等式的統(tǒng)一證明j.數(shù)學(xué)通報(bào)，2005, （5）,第62頁(yè).5劉寶文.證明不等式的一種方法j.數(shù)學(xué)通報(bào)，1998, （2）,第26-27頁(yè).popularization directed to several inequality questionsyang ling-yun ,liu-ling(department of mathematics & computer science, hunan university of technology zhuzhou hunan 412007,china)abstract： this paper applies a fraction bi-directional inequality theorem, carries on the discussion on inequality proof mentioned in some international mathematics compe