兩類抽象函數(shù)的周期性與對稱性探究

1、    兩類抽象函數(shù)的周期性與對稱性探究    徐永賢【摘要】抽象函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，也是高考的熱點，特別是抽象函數(shù)中的周期型抽象函數(shù)和對稱型抽象函數(shù)問題，是絕大多數(shù)學(xué)生最困惑、最難以解決的問題，因此，熟練掌握這兩類抽象函數(shù)是非常重要的.【關(guān)鍵詞】周期型;對稱型;抽象函數(shù)在日常學(xué)習(xí)中，抽象函數(shù)是經(jīng)常困擾學(xué)生學(xué)好函數(shù)的攔路虎，要想學(xué)好抽象函數(shù)就得熟練掌握兩種類型的抽象函數(shù)：周期型抽象函數(shù)和對稱型抽象函數(shù)，下面就這兩類抽象函數(shù)做一些探究，供大家參考學(xué)習(xí).一、周期型抽象函數(shù)（一）f（x）=f（x+t）型周期函數(shù)周期函數(shù)定義：對于函數(shù)f（x），如果存在

2、一個非零常數(shù)t，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+t）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)t叫作這個函數(shù)的周期.例1設(shè)f（x）是定義在r上的偶函數(shù)，圖像關(guān)于x=1對稱，任給的x1，x20，12都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2）且f（1）=a>0.求證：f（x）是周期函數(shù).證明f（x）的圖像關(guān)于x=1對稱，f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），xr.又由f（x）是偶函數(shù)知f（-x）=f（x），xr，f（-x）=f（2-x），xr，將上式中-x以x代換得f（x）=f（x+2），f（x）是r上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期.（二）f（x+a）=

3、f（b+x）型周期函數(shù)若f（x+a）=f（b+x），則函數(shù)f（x）的周期為t=|b-a|.證明令x=x-a，則f（x）=f（x+b-a）.例2偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x0，1時，f（x）=x2，則關(guān)于x的方程f（x）=110x在0，103 上根的個數(shù)是（）a.1個b.2個c.3個d.4個解由已知條件f（x-1）=f（x+1）得周期為t=2，又在x0，1時，f（x）=x2，且f（x）是偶函數(shù)，f（x）=x2，x-1，1，f103=f103-4=f-23=f23，由圖知f（x）=110x在0，3上根的個數(shù)是3個，y=1103=11000<f23=49，f（x）=11

4、0x在3，103上根的個數(shù)是0個.故關(guān)于x的方程f（x）=110x在0，103上根的個數(shù)是3個.因此，選c.（三）f（x+a）=-f（x+b）型周期函數(shù)若f（x+a）=-f（x+b），則函數(shù)f（x）的周期t=2|b-a|.證明令x=x-a，f（x）=-f（x+b-a）.令x=x-b，f（x+a-b）=-f（x）.由得-fx+（a-b）=-fx+（b-a），fx+（a-b）=fx+（b-a），t=2|b-a|.例3設(shè)f（x）是定義在r上的函數(shù)，對任意的xr均有f（x）+f（x+2）=0，當-1<x1時f（x）=2x-1，求當1<x3時，f（x）的解析式.解由任意的xr有f（x）=-f

5、（x+2），得t=2|2-0|=4.設(shè)x（1，3，則（x-2）（-1，1，于是f（x-2）=f（x-2+4）=f（x+2）=-f（x），f（x）=-f（x-2）=-2（x-2）-1=-2x+5，故當1<x3時，f（x）=-2x+5.二、對稱型抽象函數(shù)f（a+x）=f（b-x）（或f（2a-x）=f（x）或f（2a+x）=f（-x）型對稱函數(shù) 若f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)f（x）圖像的對稱軸為x=a+b2. 若f（2a-x）=f（x），則函數(shù)f（x）圖像的對稱軸為x=a. 若f（2a+x）=f（-x），則函數(shù)f（x）圖像的對稱軸為x=a.下面僅對結(jié)論進行證明，可類似證明.證明要證函數(shù)f（x）圖像的對稱軸為x=a+b2成立，只需證fa+b2+x=fa+b2-x.令x=b-a2+x，代入f（a+x）=f（b-x），則fa+b2+x=fa+b2-x.抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)，必須靈活把握兩類函數(shù)中a，b的不同取值，以及注意函數(shù)f（x）前正負號的差異，并通過不斷的學(xué)習(xí)積累，對抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)才能達到事半功倍的效果.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2018年18期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的其它文章創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，提高教學(xué)效率初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)